2023-2024學年天津市南開中學濱海生態(tài)城學校高一數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

2023-2024學年天津市南開中學濱海生態(tài)城學校高一數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．函數(shù)f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是()A. B.±C.0或1 D.2．已知冪函數(shù)，在上單調遞增.設，，，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)在[2，8]上單調遞減，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.4．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.5．已知是關于x的一元二次不等式的解集，則的最小值為（）A. B.C. D.6．已知，則A.2 B.7C. D.67．若，則的值是（）A. B.C. D.18．設，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.10．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（）A B.C. D.11．我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也可用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如通過函數(shù)的解析式可判斷其在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.12．已知非空集合，則滿足條件的集合的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．化簡________.14．已知角的終邊經過點，則的值等于______.15．函數(shù)f（x）=log2（x2-5），則f（3）=______16．設則__________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知，且是第四象限角.（1）求和的值；（2）求的值；18．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期和在上的值域；(2)若，求的值19．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；（2）在所給坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間的圖象（只作圖不寫過程）．20．已知圓，點是直線上的一動點，過點作圓的切線，切點為.(1)當切線的長度為時，求線段PM長度.(2)若的外接圓為圓，試問：當在直線上運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；(3)求線段長度的最小值21．甲乙兩人用兩顆質地均勻的骰子（各面依次標有數(shù)字1、2、3、4、5、6的正方體）做游戲，規(guī)則如下：若擲出的兩顆骰子點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則由原投擲人繼續(xù)投擲，否則由對方接著投擲．第一次由甲投擲（1）求第二次仍由甲投擲的概率；（2）求游戲前4次中乙投擲的次數(shù)為2的概率22．已知圓：，（1）若過定點的直線與圓相切，求直線的方程；（2）若過定點且傾斜角為30°的直線與圓相交于，兩點，求線段的中點的坐標；（3）問是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，且以為直徑的圓經過原點？若存在，請寫出求直線的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、A【解析】根據(jù)函數(shù)值為2，分類討論即可.【詳解】若f(x)＝2，①x≤－1時，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2時，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2時，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).綜上，x＝.故選：A.2、A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的概念以及冪函數(shù)的單調性求出，在根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性得到，根據(jù)冪函數(shù)的單調性得到，再結合偶函數(shù)可得答案.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得或，當時，，此時滿足在上單調遞增，當時，，此時在上單調遞減，不合題意.所以.因為，，，且，所以，因為在上單調遞增，所以，又因為為偶函數(shù)，所以，所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：掌握冪函數(shù)的概念和性質、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性是解題關鍵.3、C【解析】利用二次函數(shù)的單調性可得答案.【詳解】因為函數(shù)的對稱軸為所以要使函數(shù)在[2，8]上單調遞減，則有，即故選：C4、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.5、C【解析】由題知，，，則可得，則，利用基本不等式“1”的妙用來求出最小值.【詳解】由題知是關于x的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，則有，，，所以，且是兩個不同的正數(shù)，則有，當且僅當時，等號成立，故的最小值是.故選：C6、A【解析】先由函數(shù)解析式求出，從而，由此能求出結果【詳解】，，，故選A【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)解不等式，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.當出現(xiàn)的形式時，應從內到外依次求值7、D【解析】由求出a、b，表示出，進而求出的值.詳解】由,.故選：D8、A【解析】解不等式，再判斷不等式解集的包含關系即可.【詳解】由得，由得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.9、A【解析】先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除；再根據(jù)當時，，排除得到答案.【詳解】，偶函數(shù)，排除；當時，，排除故選【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，通過函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點可以排除選項快速得到答案.10、B【解析】根據(jù)題意可得出關于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由于函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，有，解得.因此，函數(shù)的定義域是.故選：B.11、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的符號及函數(shù)的零點即可判斷出選項.【詳解】當時，令，得或，且時，；時，，故排除選項B.因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，故排除選項C；因為時，函數(shù)無意義，故排除選項D；故選：A12、C【解析】由題意可知，集合為集合的子集，求出集合，利用集合的子集個數(shù)公式可求得結果.【詳解】，所以滿足條件的集合可以為，共3個,故選：C.【點睛】本題考查集合子集個數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎題.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】觀察到，故可以考慮直接用輔助角公式進行運算.【詳解】故答案為：.14、【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義求出、的值，由此可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.15、2【解析】利用對數(shù)性質及運算法則直接求解【詳解】∵函數(shù)f（x）=log2（x2-5），∴f（3）=log2（9-5）=log24=2故答案為2【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題16、【解析】先求，再求的值.【詳解】由分段函數(shù)可知，.故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于基礎題型.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)象限和公式求出的正弦，再用倍角公式計算即可（2）求出角正切值，再展開，代入計算即可.【詳解】解：（1），由得，，又是第四象限角，，，，.（2）由（1）可知，，.18、（1）見解析；（2）【解析】（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式為f（x）＝，進而得到函數(shù)的周期與值域；（2）由(1)知，利用二倍角余弦公式可得所求.【詳解】(1)由已知，，，∴又，則所以的最小正周期為在時的值域為.(2)由(1)知，所以則【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質，考查三角函數(shù)的化簡求值，考查恒等變形能力，屬于中檔題.19、（1）最小正周期T＝π；單調遞減區(qū)間為（k∈Z）；（2）圖象見解析．【解析】（1）利用二倍角公式化簡函數(shù)，再根公式求函數(shù)的周期和單調遞減區(qū)間；（2）利用“五點法”畫出函數(shù)的圖象.【詳解】解：f（x）＝＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋）（1）∴函數(shù)f（x）的最小正周期T＝＝π，當2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，時，即2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z∴函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋π]（k∈Z）（2）圖象如下：20、（1）8（2）（3）【解析】（1）根據(jù)圓中切線長的性質得到；（2）設，經過A,P,M三點的圓N以MP為直徑，圓N的方程為化簡求值即可；（3）（Ⅲ）求出點M到直線AB的距離，利用勾股定理，即可求線段AB長度的最小值.解析：（1）由題意知，圓M的半徑r=4，圓心M(0，6)，設PA是圓的一條切線，(2)設，經過A,P,M三點的圓N以MP為直徑，圓心，半徑為得圓N的方程為即，有由，解得或圓過定點(3)圓N的方程，即①圓即②②-①得：圓M與圓N相交弦AB所在直線方程為：圓心M(0,6)到直線AB的距離弦長當時，線段AB長度有最小值.點睛：這個題目考查的是直線和圓的位置關系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結合來解決的，聯(lián)立的時候較少；再者在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；圓的問題經常應用的性質有垂徑定理的應用，切線長定理的應用.21、（1）（2）【解析】（1）由題意利用古典概型求概率的計算公式求得結果（2）游戲的前4次中乙投擲的次數(shù)為2，包含3種情況，根據(jù)獨立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式，可計算結果【小問1詳解】求第二次仍由甲投，說明第一次擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，所有的情況共有種，其中，擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)的情況有、、、、、，、、、、、，共計12種情況，故第二次仍由甲投擲的概率為【小問2詳解】由（1）可得擲出的兩顆骰子點數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為，所以兩顆骰子點數(shù)之和不為3的倍數(shù)的概率為，游戲的前4次中乙投擲的次數(shù)為2，可能乙投擲的次數(shù)為第二次第三次，則概率為，或第二次第四次，則概率為，或第三次第四次，則概率為，以上三個事件互斥，所以其概率為.22、（1）或（2）（3）存在，或【解析】（1）首先設直線的方程為：，與圓的方程聯(lián)立，令，即可求解的值；（2）設直線的方程為：，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示中點坐標；（3）方法一，設直線：，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示，即可求解；方法二，設圓系方程，利用圓心在直線，以及圓經