考點04 全等三角形中的重要模型（解析版）

考點04全等三角形中的重要模型知識框架模型講解模型1、平移全等模型，如下圖：1．（2021·福建莆田市·九年級一模）如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，，下列3個條件：①；②；③，選出能推出的一個條件．已知：如圖，，___________（寫出一種情況即可）；求證：．【答案】①或③；見解析【分析】若選，由可得，由定理可得，利用三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)果；若選，由可得，可證得，利用全等三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)果．【詳解】.法一：若選①，證明如下：∵，∴．∵，∴．∴．法二：若選③，證明如下：∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．【點睛】本題只要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·云南昆明市·八年級期末）如圖：已知，且，求證：．【答案】見解析【分析】由AD=BE可求得AB=DE，再結(jié)合條件可證明△ABC≌△DEF．【詳解】證明：∵∴∴又∵∴在和中∴（SAS）【點睛】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．3．（2021·廣西百色市·八年級期末）如圖，已知點是的中點，∥，且．（1）求證：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ACD≌△CBE；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ACD，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到∠B=∠ACD．【詳解】（1）∵C是AB的中點，∴AC＝CB，∵CD//BE，∴，在△ACD和△CBE中，，∴；（2）∵，∴，又∵，∴．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ACD≌△CBE．4．（2021·四川瀘州市·九年級月考）如圖，AB//CD，AB=CD點E、F在BC上，且BF=CE．（1）求證：△ABE≌△DCF（2）求證:AE//DF．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得，，然后問題可得證；（2）由（1）可得，則有，然后問題可得證．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴，∵BF=CE，∴，∴，∵AB=CD，∴（SAS）；（2）由（1）可得：，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5.（2021?襄城區(qū)期末）如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A＝∠D，AB∥DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學(xué)的發(fā)言，甲說：添加AB＝DE；乙說：添加AC∥DF；丙說：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三個同學(xué)說法正確的是；（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．【思路】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上條件∠A＝∠D，只需要添加一個能得出邊相等的條件即可證明兩個三角形全等，添加AC∥DF不能證明△ABC≌△DEF；（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【解答】解：（1）說法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；（2）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∠B=∠DEF，∴△ABC≌△DEF（模型2. 對稱（翻折）全等模型，如下圖：1．（2021·安徽九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形的對角線，相交于點O，，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①②③【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAO=∠DAO，∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，進而得出其它結(jié)論.【詳解】由△ABO≌△ADO得：AB=AD，∠AOB=∠AOD=90°，∴AC⊥BD∠BAC=∠DAC，又AC=AC，所以，有△ABC≌△ADC，∴CB=CD，所以，①②③正確．由已知條件得不到DA=DC，故④不正確．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法:SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解題的關(guān)鍵.2．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，已知，若要使得，則添加的一個條件不能是（）A．B．C．AB=DCD．AC=DB【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，BC＝CB，A、當(dāng)添加∠A＝∠D時，可利用“AAS”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意；B、當(dāng)添加時，可利用“ASA”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意；C、當(dāng)添加AB=DC時，利用“SSA”不能判斷△ABC≌△DCB，故此選項符合題意；D、當(dāng)添加AC=DB時，可利用“SAS”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．3．（2021·浙江金華市·八年級期末）在數(shù)學(xué)課上，林老師在黑板上畫出如圖所示的圖形（其中點B、F、C、E在同一直線上），并寫出四個條件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．請你從這四個條件中選出三個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題，并給予證明．題設(shè)：；結(jié)論：．（均填寫序號）證明：【答案】①②③；④；證明過程見解析；【分析】根據(jù)三個不同的情況進行討論分析即可；【詳解】情況一：題設(shè)①②③，結(jié)論④；∵BF=EC，∴，即，在△ABC和△DEF中，，∴，∴；情況二：題設(shè)①③④，結(jié)論③；在△ABC和△DEF中，，∴，∴，∴，即；情況三：題設(shè)②③④，結(jié)論①；∵，∴，即，在△ABC和△DEF中，，∴，∴；故答案為：①②③；④．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．4．（2021·西安市·陜西師大附中九年級二模）如圖，在中，點，分別是、邊上的點，，，與相交于點，求證：．【答案】見詳解；【分析】依題意，BD=CE，∠ABE=∠ACD，∠BFD=∠CFE，可得△BDF≌△CEF，可得DF=EF，BF=CF；可得CD=BE，可得△ABE≌△ACD，即可；【詳解】由題知：BD=CE，∠ABE=∠ACD，又∠BFD和∠CFE為對頂角，∴∠BFD=∠CFE；在△BDF和△CEF中，∴△BDF≌△CEF（AAS）；∴DF=EF，BF=CF；又CD=DF+CF，BE=BF+EF；∴CD=BE；在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS）；∴AB=AC；【點睛】本題主要考查對頂角相等、用AAS證明全等及其性質(zhì)，熟練構(gòu)造出全等的三角形是關(guān)鍵；5．（2021·河南南陽市·八年級期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O，（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）78°【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可證明Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得∠ABC＝39°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°．∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．【點睛】本題主要考查直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇徐州市·八年級期末）已知：如圖，點C是線段AB的中點，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求證：（1）△ADC≌△BEC；（2）DA=EB．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ADC≌△BEC即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵點C是線段AB的中點，∴CA＝CB，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）∵△ADC≌△BEC，∴DA＝EB．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．模型3. 旋轉(zhuǎn)全等模型，如下圖：1．（2021·河北滄州市·八年級期末）如圖，△ABC和△AED共頂點A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E．BC交AD于M，DE交AC于N，甲說：“一定有△ABC≌△AED．”乙說：“△ABM≌△AEN．”那么（）A．甲、乙都對 B．甲、乙都不對 C．甲對、乙不對 D．甲不對、乙對【答案】A【分析】利用AAS判定△ABC≌△AED，則可得到AB=AE，再利用ASA判定△ABM≌△AEN．【詳解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，∴∠BAC＝∠EAD，在△BAC和△EAD中，,∴△BAC≌△EAD，∴甲說的正確；∵△BAC≌△EAD（AAS），∴AB=AE，在△BAM和△EAN中，,∴△BAM≌△EAN（ASA），∴乙說的正確；故選A．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)題目的特點，補充適當(dāng)條件，活用判定定理是解題的關(guān)鍵．2.（2021?渝水區(qū)校級期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【解題思路】根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS證明△ABD與△ACE全等，進而解答即可．【解答過程】證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．3．（2020·福建廈門市·廈門雙十中學(xué)八年級月考）已知：如圖，C為線段BE上一點，AB//DC，AB=EC，BC=CD．求證：∠A=∠E．【答案】見詳解【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ECD，即可得出答案．【詳解】證明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴∠A＝∠E（全等三角形的對應(yīng)角相等）．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期末）如圖，，求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直得到，求出，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)交于，交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換即可；【詳解】證明：，，，，，在和中，，；如圖，設(shè)交于，交于，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確證明是解題的關(guān)鍵．5．（2021·四川廣元市·九年級期末）如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）【分析】（1）先利用已知條件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可證△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；（2）通過觀察可知△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠AMB．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∴；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）由（1）知，，∴．【點睛】本題利用了全等三角形的判定、性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等式的性質(zhì)等．6.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【思路】（1）延長BD交CE于F，易證△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據(jù)∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解題；（2）延長BD交CE于F，易證∠BAD＝∠EAC，即可證明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據(jù)∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解題．【解答】證明：（1）延長BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD∠EAC=∠DAB∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延長BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AD=AE∠BAD=∠EAC∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．7．（2021·湖北武漢市·八年級期末）如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；（3）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進而可知∠CFA【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：將直線CE與AB的交點記為點O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴CE⊥BD．（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，∴兩個三角形面積相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°-∴∠CFA=∠DFC=【點睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；模型4、半角全等模型【解題技巧】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.1．（2021·全國九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于點B，AD⊥CD于點D，E、F分別是CB、CD上的點，且∠EAF＝70°，下列說法正確的是__．（填寫正確的序號）①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．【答案】③⑤⑥【分析】延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，根據(jù)全等三角形的判定定理求出△ADF≌△ABG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，求出∠FAE＝∠EAG＝70°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△FAE≌△GAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，再進行判斷即可．【詳解】解：延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，∵AB⊥CB，AD⊥CD，∴∠D＝∠ABG＝90°，在△ADF和△ABG中，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，∴∠FAE＝∠EAG＝70°，在△FAE和△GAE中，∴△FAE≌△GAE（SAS），∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正確，④錯誤；∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正確；∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正確；根據(jù)已知不能推出△ADF≌△ABE，故①錯誤，②錯誤；故答案為：③⑤⑥．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定定理，角平分線的定義，三角形的三邊關(guān)系定理，垂直定義等知識點，能靈活運用全等三角形的判定和性質(zhì)定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2020·武漢市六中位育中學(xué)八年級）（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見證明；（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD，證明見詳解．【分析】（1）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM．先證明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再證明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，進行線段代換，問題得證；（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．先證明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再證明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，進行線段代換即可證明EF＝BE﹣FD．【詳解】解：（1）證明：如圖，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF∠BAD，∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．證明：如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE與△AFE中，，∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考壓軸題．3．（2020·河南新鄉(xiāng)市·八年級期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當(dāng)∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）AE+CF＝EF，證明見解析；（3）AE﹣CF＝EF，證明見解析【分析】（1）利用SAS定理證明△ABE≌△CBF；（2）延長DC至點K，使CK＝AE，連接BK，分別證明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；（3）延長DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的證明方法解答．【詳解】（1）證明：在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：AE+CF＝EF，理由如下：延長DC至點K，使CK＝AE，連接BK，在△BAE與△BCK中，，∴△BAE≌△BCK（SAS），∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FBC+∠ABE＝60°，∴∠FBC+∠KBC＝60°，∴∠KBF＝∠FBE＝60°，在△KBF與△EBF中，，∴△KBF≌△EBF（SAS），∴KF＝EF，∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；（3）解：AE﹣CF＝EF，理由如下：延長DC至G，使CG＝AE，由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△GBF≌△EBF，∴EF＝GF，∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4.（2020·江陰市夏港中學(xué)八年級月考）（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結(jié)論：________________．（2）探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠BAD．上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）方法應(yīng)用：如圖3，E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動點，連接AE、AF，并且始終保持∠EAF=45°，連接EF并延長與AD的延長線交于點G，說明AG=EG．（正方形四邊相等，四個角均為90°）【答案】（1）EF=BE+FD，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）將△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADG，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGD，可得EF=FG即可；（2）如圖2，將△ADF順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，使得AD與AB重合，即△ADF≌△ABG；然后再證△EAG≌△EAF，可得GE=EF，再根據(jù)線段的和差即可解答；（3）將△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADH，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADH，然后再證△EAF≌△HAF可得∠H=∠AEF，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠EAG=∠H，即，∠EAG=∠AEF，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：(1)EF=BE+FD，理由如下：如圖1，將△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADG，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADG（SAS）∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=60°，∠BAD=120°∵∠EAF=∠BAD∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°∴∠EAF=∠GAF在△AEF和△GAF中AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=FG∴FG=DG+DF=BE+DF∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF；（2）證明：如圖2，將△ADF順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，使得AD與AB重合∴△ADF≌△ABG∴∠FAG=∠BAD，AF=AG，DF=GB∵∠EAF=BAD∴∠EAF=∠EAG.在△EAG和△EAF中∵AG=AF，∠EAF=∠EAG，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴GE=EF，∵GE=GB+BE=DF+BE∴EF=BE+FD；（3）如圖3，將△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADH，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADH∴AE=AH，∠BAE=∠DAH.∵∠EAF=45°，∠BAD=90°∵∠EAF=∠BAD∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°∴∠EAF=∠HAF在△AEF和△HAF中AE=AH，∠EAF=∠HAF，AF=AF∴△EAF≌△HAF（SAS）∴∠H=∠AEF∵∠EAF=90°，∠HAD=90°∴∠HAD+∠EAG=∠HAD+∠H∴∠EAG=∠H∵∠H=∠AEF∴∠EAG=∠AEF∴AG=EG．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)作出全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．5．（2020·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)八年級期中）在圖1、圖2，圖3中．點E、F分別是四邊形邊上的點；下面請你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問題．特例探索：（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個內(nèi)角均為直角），，延長至G，使．則__________．在圖2中，，，，，，；則__________．

歸納證明：（2）在圖3中，，．且，請你觀察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．實際應(yīng)用:（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當(dāng)兩公路同時開工后的第五天收工時，分別筑建到C、D處，經(jīng)測量．試求C與D兩處之間的距離．【答案】（1）5，2.5；（2）EF=BE+FD；（3）1650m．【分析】（1）先證明出△ABE△ADG，再根據(jù)∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出結(jié)果；延長CD到G，使BE=DG，連接AG，同理證明即可；（2）延長FD到G，使BE=DG，利用條件證明△ABE△ADG，再根據(jù)∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出結(jié)論；（3）依照結(jié)論（2），延長DB到E，使BE=AC，連接OE，通過求證△OAC△OBE和△OCD△OED得出CD=DE=BD+BE=BD+AC，代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】（1）∵BE=DG=2，∠B=∠ADG=90°，AB=AD；∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=3+2=5；延長CD到G，使BE=DG，連接AG，同理可證：△ABE△ADG，△AEF△AGF，∴EF=GD+DF=2.5；（2）延長FD到G，使BE=DG，∵BE=DG，∠B=∠ADG，AB=AD；∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=DF+BE；（3）分析可得（2）中結(jié)論仍然成立，延長DB到E，使BE=AC，連接OE，∵∠OAC=90°+20°=110°，∠DBE=180°-70°=110°，OA=OB,∴△OAC△OBE，∴OE=OC，即可證明△OCD△OED，∴CD=DE=BD+BE=BD+AC=（150+180）5=1650m．【點睛】此題屬于推理探究類綜合題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，有一定難度，主要總結(jié)該類題的規(guī)律解題即可．6．（2020·全國九年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，分別是上的點，且，則有結(jié)論成立；如圖2，在四邊形中，分別是上的點，且是的一半，那么結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明；不成立，請說明理由．若將中的條件改為：如圖3，在四邊形中，，延長到點，延長到點，使得仍然是的一半，則結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明【答案】（1）詳見解析；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為證明詳見解析【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)角的和差，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)、線段的和差即可得；（2）先根據(jù)角的和差、鄰補角的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后根據(jù)角的和差倍分得出，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)、線段的和差即可得．【詳解】（1）仍成立，證明如下：延長到，使，連接，，即，即；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為，證明如下：在上截取，使，連接，，即．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、角的和差倍分等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．7．（2021·山東東營市·七年級期末）(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，見解析【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；【詳解】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：

在△ABE和△ADG中，在△AEF和△AGF中，故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”構(gòu)造全等的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2020·武漢市六中位育中學(xué)八年級）（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見證明；（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD，證明見詳解．【分析】（1）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM．先證明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再證明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，進行線段代換，問題得證；（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．先證明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再證明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，進行線段代換即可證明EF＝BE﹣FD．【詳解】解：（1）證明：如圖，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF∠BAD，∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．證明：如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE與△AFE中，，∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考壓軸題．模型5、三垂直全等模型如圖：1．（2021·廣東中山市·八年級期末）如圖，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，則下列結(jié)論中正確的是（）A．E為BC中點 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE【答案】D【分析】首先利用HL定理證明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可一一判斷．【詳解】∵∠ACB＝∠CED＝90°在Rt△ABC與Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合題意，其他選項不符合題意故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握HL定理判定三角形全等是解題關(guān)鍵2．（2020·涿州市實驗中學(xué)八年級期中）在中，于點D，點E為AD上一點，連接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求證：；（2）若，則的度數(shù)為．【答案】（1）理由見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）由SAS證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，在與中，，∴；（2）∵，∴AD＝CD，∴是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，∴∠B＝∠CED＝67°，【點睛】本題考查了三角形全等的判定、幾何圖形中角度的計算、等腰直角三角形的性質(zhì)；關(guān)鍵在于熟練掌握證明三角形全的方式方法、運用等腰直角三角形的性質(zhì)．3．（2020·廣東省龍嶺初級中學(xué)初一期中）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請說明理由；（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請說明理由；（3）能否找到與AB+AD相等的線段，并說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）相等，理由如下∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，∴∠ECB＋∠ACD=90°，∠D＋∠ACD=90°∴∠D=∠ECB；（2）全等，理由如下在△ADC和△BCE中∴△ADC≌△BCE（3）能，BE和AC，理由如下∵△ADC≌△BCE∴AD=BC，AC=BE∵AC=AB＋BC∴AC=AB＋AD∴BE=AB＋AD4．（2020·河北省初三三模）如圖，和都是直角三角形，，，頂點在上，邊經(jīng)過點，點，在同側(cè)，．（1）求證：：（2）若，，，求的長．【答案】（1）證明：∵，，∴，．∴．又，，∴（AAS）．（2）由，得，．若，，則，，而，∴，∴．5．（2020·江西贛州市·八年級期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1），見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析【分析】（1）先用判斷出，得出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）理由如下：∵，，∴在和中∴，∴∵，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；（3）成立，理由如下：∵，，∴在和中，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．6.（2021?廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長線交∠BAE的平分線AF于點G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）【解題思路】（1）根據(jù)垂直得到直角三角形，由直角三角形兩銳角互余利用等量代換證明結(jié)論；（2）通過作FM∥AB∥CD可證∠DFA＝∠CDF+∠BAF，因為∠CDE+∠BAE＝90°和角平分線的定義可得∠F=12（∠CDE+∠（3）根據(jù)角平分線的定義得∠CEH＝∠DEH＝∠GEB＝∠BAG＝∠EAF，由于∠B＝90°，∠BAE+∠BEA＝90°，在△AEG中，可證得∠EAG+∠AEG＝90°，從而證得結(jié)論．【解答過程】（1）證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案為45°；過點F作FM∥AB，如圖，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF=12∠CDE，∠BAF=1∴∠CDF+∠BAF=12（∠BAE+∠CDE）＝∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH=12∠CED，∴∠BEG=1∵AF平分∠BAE，∴∠BAG=12∠BAE，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．7．（2020·浙江八年級單元測試）在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E，（1）當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，顯然有：（不必證明）；（2）當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)也可以解決問題；（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=BE-AD．【詳解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如圖3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之間的關(guān)系為DE=BE-AD．【點睛】此題需要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，也利用了直角三角形的性質(zhì)，是一個探究性題目，對于學(xué)生的能力要求比較高．模型6、一線三等角全等模型1）.一線三直角全等模型，如圖：1．（2021·廣西梧州市·八年級期末）如圖，在等腰直角三角形中，，點B在直線l上，過A作于D，過C作于E．下列給出四個結(jié)論：①；②與互余；③．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】證△ADB≌△BEC即可．【詳解】證明：∵，，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∵，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正確；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°，∴△ADB≌△BEC，∴，AD=BE，故①正確；DE=DB+BE=CE+AD，故③正確；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找到并證明全等三角形．2．（2021·河北邢臺市·邢臺三中八年級期末）如圖，兩座建筑物，相距160km，小月從點沿BC走向點C，行走ts后她到達點，此時她仰望兩座建筑物的頂點和，兩條視線的夾角正好為，且．已知建筑物的高為，小月行走的速度為，則小月行走的時間的值為（）A．100 B．80 C．60 D．50【答案】A【分析】首先證明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，進而可得EC=AB=60m，再求出BE的長，然后利用路程除以速度可得時間．【詳解】解：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC=AB=60m，∵BC=160m，∴BE=100m，∴小華走的時間是100÷1=100（s），故選：A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確判定△ABE≌△ECD．3．（2021·江蘇揚州市·八年級期末）如圖，，，且．（1）試說明：是等腰直角三角形；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA證明△BAE≌△CED，可證AE=DE，后利用∠BAE+∠BEA=90°，證明∠BEA+∠CED=90°，問題得證；（2）利用直角三角形的兩個銳角互余，求解即可．【詳解】（1）∵，，且，∴△BAE≌△CED，∴AE=DE，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）∵，，∴，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【點睛】本題考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定義，直角三角形的銳角互余的性質(zhì)，根據(jù)圖形，結(jié)合條件選擇對應(yīng)判定方法，根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造基本的計算等式是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）將的直角頂點置于直線上，，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．若，．求的面積．【答案】32【分析】根據(jù)AAS即可證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，得出，，所而，從而求出AD的長，則可得到的面積．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，在與中，∴∴，，∵，∴．．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)等知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·山東臨沂市·八年級期末）如圖，，，，，垂足分別為，，，求，求的長．【答案】．【分析】根據(jù)垂直定義求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根據(jù)等式性質(zhì)求出∠ACD＝∠CBE，根據(jù)AAS證明△BCE≌△CAD；根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD＝CE，BE＝CD，利用DE＝CE?CD，即可解答．【詳解】,又在和中,又,,．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明的三個條件．6．（2021·河南商丘市·九年級期末）如圖（1），已知中，，；是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于，于．（1）求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請給予證明．（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明；（4）根據(jù)以上的討論，請用簡潔的語言表達直線在不同位置時與，的位置關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）；（4）當(dāng)，在的同測時，；當(dāng)，在的異側(cè)時，若，則，若，則【分析】（1）在直角三角形中，由題中條件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，則有一個角及斜邊相等，則可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形對應(yīng)邊相等，進而通過線段之間的轉(zhuǎn)化，可得出結(jié)論；

（2）由題中條件同樣可得出△BAD≌△AEC，得出對應(yīng)線段相等，進而可得線段之間的關(guān)系；

（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．（4）利用（1）（2）（3）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°

又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC，∴BD=DE+CE

（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°

又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE

在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC∴BD=DE-CE，

（3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE=BD+CE，∴BD=DE-CE．（4）歸納：由（1）（2）（3）可知：當(dāng)B，C在AE的同側(cè)時，若BD>CE,則BD=DE+CE,若BD>CE,則BD=DE+CE,若BD<CE,則BD=CE-DE.

【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性質(zhì)，線段的和差，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2）.一線三等角與一組對應(yīng)邊相等全等模型，如圖：1．（2021·安徽馬鞍山市·八年級期末）如圖，已知在中，，，求證：．【答案】見解析．【分析】證明，為三角形的全等提供條件即可．【詳解】證明：，，，，，在和中，≌(ASA)．【點睛】本題考查了ASA證明三角形的全等，抓住題目的特點，補充全等需要的條件是解題的關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江大慶市·七年級期末）如圖，在中，，、、三點都在直線上，并且有，求證：．【答案】見解析【分析】首先根據(jù)等量代換得出，從而可證，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：設(shè)，∴，∴，∵在和中，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河南濮陽市·八年級期末）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）DE＝BD＋CE．理由見詳解【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ABD≌△CAE；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點都在直線m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）DE＝BD＋CE．理由如下：如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運用所學(xué)知識解決問題．4.（2021?歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如圖1，則BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如圖2，①中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【解題】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．【解答】解：（1）①如圖1，E點在F點的左側(cè)，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFCBC=AC，∴△BCE≌△CAF（∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時，同理可證EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案為＝，＝．②：①中兩個結(jié)論仍然成立；證明：如圖2，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFCBC=AC，∴△BCE≌△CAF（∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時，如圖3，同理可證EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；（2）EF＝BE+AF．理由是：如圖4，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．5．（2021·河南安陽市·八年級期末）（1）如圖1，已知中，，，直線l經(jīng)過點O，直線l，直線l，垂足分別為點C，D．依題意補全圖l，并寫出線段BC，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，C，O，D三點都在直線l上，并且有，請問（1）中結(jié)論是否成立?若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在中，，，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，請直接寫出點B的坐標(biāo)．【答案】（1）補全如圖所示見解析；；（2）成立，證明見解析；（3）點B的坐標(biāo)為．【分析】（1）依題意補全圖，易證△AOD≌△OBC，則有AD=CO，OD=BC，從而可得；（2）利用三角形內(nèi)角和易證，再證明，同（1）即可證明結(jié)論；（3）過B、C兩點作y軸垂線，構(gòu)造如（1）圖形，即可得三角形全等，再將線段關(guān)系即可求出點B坐標(biāo)．【詳解】（1）補全圖1如圖所示，；證明：∵，直線l，直線l，∴∠BCO=∠ODA=90°，∴∠BOC+∠OBC=90°，又∵，∴∠BOC+∠AOD=90°，∴∠OBC=∠AOD，在△AOD和△OBC中，∴△AOD≌△OBC（AAS）∴AD=CO，OD=BC，∵，∴．（2）成立．證明：如圖，∵，，∴在和中∴（AAS）∴，∴（3）點B的坐標(biāo)為．過程如下：過B、C兩點作y軸垂線，垂足分別為M、N，同理（1）可得，CN=AM，AN=MB，∵點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，∴CN=AM=3，ON=2，OA=1,∴MB=AN=ON-OA=1，OM=AM-OA=2，∵點B在第四象限，∴點B坐標(biāo)為：．【點睛】主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)變換，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．6．（2020·無錫市胡埭中學(xué)八年級月考）（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的直角頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點A，AB＝AC，在直線m上取兩點D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）證明見詳解，（2）∠BAC=，證法見詳解，（3）180o-，DE=EC-BD，證明見詳解．【分析】（1）根據(jù)已知首先證明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）補充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案；（3）180o-α，DE=CE-BD，根據(jù)已知首先證明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】證明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90o，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180o-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180o-α，數(shù)量關(guān)系為DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝

180o-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【點睛】點評：此題主要考查了三角形全等的證明，根據(jù)已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·河北滄州市·八年級期末）（1）如圖①，已知：中，，，直線m經(jīng)過點A，于D，于E，請?zhí)剿鳌?、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；（2）拓展：如圖2，將（1）中的條件改為：中，，D、A、E三點都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請問（1）中結(jié)論是否還成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長線交于點F，若，的面積是16，求與的面積之和．【答案】（1）；（2）成立，證明見詳解；（3）8．【分析】（1）通過題中的直角和垂直條件，可得到，然后證明△CAE≌△ABD，即得到，，然后通過等量代換即可得到結(jié)論；（2）同（1）中類似，先證明△CAE≌△ABD后得到對應(yīng)邊成比例即可；（3）證明△CAE≌△ABD，發(fā)現(xiàn)與的面積之和即為△ACF的面積，然后根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：（1），∵，∴，∵，，∴，∴，∴在△CAE和△ABD中，∴△CAE≌△ABD，∴，，∵，∴；（2）成立，∵，且，∴，在△ABD中，，∴，∴，在△CAE和△ABD中，∴△CAE≌△ABD，∴，，∵，∴；（3）如圖，過A作AH⊥BC于H，∵，且，在△ABD中，，∴，在△CAE和△ABD中，∴△CAE≌△ABD，∴△CAE與△ABD面積相同，∴與的面積之和即為△ACF的面積，△ABC的面積為，△ACF的面積為，∵，∴∴與的面積之和為8．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，是常見的“一線三等角”模型，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．模型6、手拉手全等模型1). 等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型eq\o\ac(○,1)如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.eq\o\ac(○,2)兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；1．（2020·河南許昌市·九年級期中）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：（2）如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【答案】問題發(fā)現(xiàn)：（1）；；拓展探究：（2）成立，理由見解析；拓展延伸：（3）【分析】問題發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；拓展探究：（2）依然用SAS證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得；【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：（1）如下圖，延長BD，交AE于點F，∵∴又∵∴（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CDB∵∴∴∴∴AE⊥BD，故答案為：，拓展探究：（2）成立．理由：如圖1，設(shè)與相交于點．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，有2個形狀相同的圖形，有一個公共點，就是手拉手模型，手拉手模型必有全等，證明方法都是用“SAS”，所以熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．2．（2020·黑龍江綏化市·八年級期末）兩塊等腰直角三角尺與（不全等）如圖（1）放置，則有結(jié)論：①②；若把三角尺繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，如圖（2）所示，判斷結(jié)論：①②是否都還成立？若成立請給出證明，若不成立請說明理由．【答案】①AC=BD②AC⊥BD都還成立，理由見解析【分析】利用全等三角形的判定方法（SAS）得出△ACO≌△BDO，進而得出AC=BD，再利用三角形內(nèi)角和定理得出AC⊥BD．【詳解】解：①AC=BD②AC⊥BD都還成立，理由如下：如圖，設(shè)AO、AC與BD分別交于點E、N，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，即∠COA=∠DOB，在△ACO和△BDO中，，∴△ACO≌△BDO（SAS），∴AC=BD，∠OBD=∠OAC，又∵∠BEO=∠AED，∴∠AOB=∠ANE=90°，∴AC⊥BD，綜上所述：①AC=BD②AC⊥BD都還成立．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得出△ACO≌△BDO．3．（2021·甘肅慶陽市·八年級期末）在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下操究：（1）如圖1、兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此線BD和CE的數(shù)量關(guān)系是（2）如圖2、兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由：（3）如圖3，已知△ABC、請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)、【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由見解析；（3）作圖見解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．【分析】（1）根據(jù)SAS證明兩個三角形全等即可；（2）通過條件證明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可證明BD⊥CE，從而得到結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件證明即可得到證明；【詳解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，∴，即，∴，∴BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因為∠DAE=∠BAC=90°，如圖2．所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．所以∠DAB=∠EAC．在△DAB和△EAC中，所以△DAB≌△EAC（SAS）．所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．因為∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．即∠DBC+∠ECB=90°．所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．所以BD⊥CE．綜上所述：BD=CE且BD⊥CE．（3）如圖3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．由圖可知，AD=AB，AE=AC，∴，即，∴，∴BE=CD，，又∵，∴，∴，∴∠PBC+∠PCB=60°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的知識點應(yīng)用，準(zhǔn)確分析圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·九年級期末）如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在（1）中的關(guān)系嗎？請寫出結(jié)論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．

【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【分析】（1）延長BD交AC于點E．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可證∠AED=∠BOD=90o即可；（2）延長BD交AC于點F，交AO于點G．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90o即可；（3）BD交AC于點H，AO于M，可證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90o即可．【詳解】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明：延長BD交AC于點E．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90o，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=B