2024屆五年高考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練：專題一 集合、常用邏輯用語與不等式

第1頁專題一集合、常用邏輯用語與不等式考點(diǎn)1集合題組一、選擇題1.[2023新高考卷Ⅰ，5分]已知集合M={-2,-1,0,1,2}，N={xA.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.[解析]解法一因為N={xx2-x-6≥0}={解法二由于1?N，所以1?M∩N，排除A，B；由于2?N，所以2?2.[2023新高考卷Ⅱ，5分]設(shè)集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-A.2 B.1 C.23 D.-[解析]依題意，有a-2=0或2a-2=0.當(dāng)a-2=0時，解得a=2，此時A={0,-2}，B={1,0,2}，不滿足A?B；當(dāng)2a-2=03.[2023天津，5分]已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1A.{1,3,5} B.{1,3} C.{1,2,4}[解析]因為U={1,2,3,4,5},B={1,2,4}，所以?UB={3,5},又A={1,4.[2023全國卷甲，5分]設(shè)全集U=Z，集合M={x|x=3k+A.{x|x=C.{x|x=[解析]解法一M={…,-2,1,4,7,10,…},N={…,-1,2,5,8,11,…}，所以M∪N={…,-2，-1,1,2,4,5,7,8,10,11，…},所以?UM∪N={…,-3解法二集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好被3整除的整數(shù)集，故選A5.[2023全國卷乙，5分]設(shè)集合U=R,集合M={x|x<1A.?UM∪N B.N∪?U[解析]M∪N={x|x<26.[2022浙江，4分]設(shè)集合A={1,2},B={2,4,6}A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6}[解析]由集合并集的定義，得A∪B={1,2,4,6}7.[2022新高考卷Ⅰ，5分]若集合M={x|x<4},A.{x|0≤x<2} B.[解析]因為M={x|x<4}，所以M={x|0≤x<168.[2022新高考卷Ⅱ，5分]已知集合A={-1，1，2，4}，B={xA.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4}[解析]由x-1≤1，得-1≤x-1≤1，解得0≤x≤9.[2022北京，4分]已知全集U={x|-3<x<3}A.(-2,1] B.-3,-2∪[1[解析]因為全集U=-3,3，A=(-2,10.[2022全國卷乙，5分]設(shè)全集U={1,2,3,4,5}，集合M滿足?UM={1A.2∈M B.3∈M C.4[解析]由題意知M={2,4,5}，故選11.[2022全國卷甲，5分]設(shè)全集U={-2，-1,0，1，2，3},集合A={-1,2},A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1}[解析]集合B={1,3}，所以A∪B={-1,1,2,3}，所以?U12.[2021新高考卷Ⅰ，5分]設(shè)集合A={x|-2<x<4},A.{2} B.{2,3} C.{3,4}[解析]因為A={x|-2<x<4},B={2,3,4,513.[2021新高考卷Ⅱ，5分]若全集U={1，2，3，4，5，6},集合A={1，3，6}，B={2，3A.{3} B.{1，6} C.{5，6}[解析]因為?UB={1,5,6}，A={1,3,6}14.[2021全國卷甲，5分]設(shè)集合M={x|0<x<4A.{x|0<x≤13} B.[解析]M∩N15.[2021全國卷乙，5分]已知集合S={s|s=2n+1A.? B.S C.T D.Z[解析]在集合T中，令n=kk∈Z，則t=4n+1=22k+1k∈Z【速解】S={…,-3,-1,1,3,5,…}，T={…,-3,1,5,…}，觀察可知，T?16.[2020新高考卷Ⅰ，5分]設(shè)集合A={x|1≤x≤3A.{x|2<x≤3} B.[解析]A={x|1≤x≤3}，【速解】因為1∈A={x|1≤x≤3},所以117.[2020北京，4分]已知集合A={-1,0,1,2},B={x|A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1,2}[解析]由題意得，A∩B={1,2}18.[2020全國卷Ⅰ，5分]設(shè)集合A={x|x2-4≤0},A.-4 B.-2[解析]易知A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≤-a219.[2020全國卷Ⅲ，5分]已知集合A={x,y|x,y∈NA.2 B.3 C.4 D.6[解析]由題意得，A∩B={1,7,2,6,3,5,420.[2020新高考卷Ⅰ，5分]某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是A.62% B.56% C.46%[解析]不妨設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為100，既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為x，則100×96%=100×60%+100×82%-x21.[2020浙江，4分]設(shè)集合S,T,S?N*，T?N*,S,T中至少有2①對于任意的x,y∈S,若x≠y②對于任意的x,y∈T,若x<y下列命題正確的是(A)A.若S有4個元素，則S∪T有7個元素 B.若S有4個元素，則S∪TC.若S有3個元素，則S∪T有5個元素 D.若S有3個元素，則S∪T[解析]①當(dāng)S中有3個元素時，設(shè)S={a,b,c}，a<b<c，則{ab,bc,ac}?T，所以ba∈S,cb∈S,ca∈S，當(dāng)ca=c時，a=1，所以cb=b，即c=b2，此時S={1,b,b2},T={b,b2,b3}，所以S∪T={1,b,b2,b3}，有4個元素；當(dāng)ca=b時，c=ab，所以ba=a，即b=a2a≠1，此時S={a,a2,a3},T={a3,a4，a5}②當(dāng)S中有4個元素時，設(shè)S={a,b,c,d}，a<b<c<d，所以ab<ac<ad<bd<cd，且{ab,ac,ad,bd,cd}?T，所以acab<adab<bdab<cdab，且{acab,adab,bdab,cdab}?S，所以acab=a,adab=b,bdab=c,cdab=d，所以b=a2,c=a3,d=a4【速解】當(dāng)S={1,2,4}，T={2,4,8}時，S∪T={1,2,4,8}，故C錯誤；當(dāng)S={2,4,8}，T={8,16,32}時，S∪T={2,4,8,16,32}，故22.[2019全國卷Ⅲ，5分]已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|A.{-1，0，1} B.{0，1} C.{-1，1} D.{[解析]集合B={x|-1≤x≤1}23.[2019全國卷Ⅰ，5分]已知集合M={x|-4<x<2}A.{x|-4<x<3} B.[解析]解法一∵N={x|-2<x<3}解法二由M∩N?M可排除A,D.由1∈M,1∈N,知1∈【方法技巧】求解集合的基本運(yùn)算問題的方法（1）直接法：離散數(shù)集的運(yùn)算借助韋恩圖，連續(xù)數(shù)集的運(yùn)算借助數(shù)軸；（2）間接法：根據(jù)集合的定義進(jìn)行取值驗證即可.24.[2019天津，5分]設(shè)集合A={-1，1，2，3，5}，B={2，3，4}，CA.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1[解析]由條件可得A∩C={1,2},故A25.[2019全國卷Ⅲ，5分]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為(C)A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8[解析]解法一根據(jù)題意閱讀過《紅樓夢》《西游記》的人數(shù)用韋恩圖表示如下：所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為70100=解法二設(shè)事件A表示隨機(jī)從這100位被調(diào)查的學(xué)生中選擇1名學(xué)生，該學(xué)生閱讀過《紅樓夢》；事件B表示隨機(jī)從這100位被調(diào)查的學(xué)生中選擇1名學(xué)生，該學(xué)生閱讀過《西游記》.根據(jù)題設(shè)知，PA∪B=0.9,PA=0.8則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為0.7.選C.二、填空題26.[2020江蘇，5分]已知集合A={-1,0,1,2}，B={0,2,3}，則A[解析]由交集的定義可得A∩B={027.[2019江蘇，5分]已知集合A={-1，0，1，6}，B={x|x>0[解析]由交集定義可得A∩B={1考點(diǎn)2常用邏輯用語題組選擇題1.[2023天津，5分]“a2=b2”是“a2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]因為“a2=b2”?“a=-b或a=b”，“a2+b2=2ab”?“a=b”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“a=-b或a=b”與“a=b2.[2023全國卷甲，5分]設(shè)甲:sin2α+sin2β=1,A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件[解析]甲等價于sin2α=1-sin2β=cos2β，等價于sinα=±cosβ，所以由甲不能推導(dǎo)出sinα+cosβ=3.[2023新高考卷Ⅰ，5分]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件[解析]若{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an=a1+n-1所以{Snn}為等差數(shù)列，即甲?乙；若{Snn}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為t，則Snn=S11+n-1t=a1+n-1t，所以Sn=na4.[2022天津，5分]“x是整數(shù)”是“2x+1是整數(shù)”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]若x是整數(shù)，則2x+1是整數(shù)；當(dāng)x=12時，2x+1是整數(shù)，但x不是整數(shù).所以“x5.[2022浙江，4分]設(shè)x∈R，則“sinx=1”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]由sinx=1，得x=2kπ+π2k∈Z，則cos2kπ+π2=cosπ2=0，故充分性成立；又由cosx【方法技巧】定義法是判斷充分條件與必要條件最基本、最常用的方法，解題要點(diǎn)如下：①分清條件與結(jié)論(p與q)，②判斷“若p,則q”及“若q,則p”的真假，③下結(jié)論，p?q,q?p?p是q的充分不必要條件；p?q,q?p6.[2022北京，4分]設(shè){an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>NA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的公差為dd≠0，則an=a1+n-1d=dn+a1-d，若{an}為遞增數(shù)列，則d>0，則存在正整數(shù)N0，使得當(dāng)n>N0時，an=dn+a1-d>07.[2021北京，4分]設(shè)函數(shù)fx的定義域為[0,1]，則“函數(shù)fx在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)fxA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]設(shè)p:函數(shù)fx在[0,1]上單調(diào)遞增，q:函數(shù)fx在[0,1]上的最大值為f1，由單調(diào)性的定義可知，p?8.[2021浙江，4分]已知非零向量a,b,c,則“a?c=b?c”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]由a?c=b?c可得a-b?c=0，所以a-b⊥c9.[2021全國卷甲，5分]等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件[解析]當(dāng)a1<0,q>1時，an=a1qn-1<0，此時數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}遞增時，有Sn+110.[2020天津，5分]設(shè)a∈R,則“a>1”是“a2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>11.[2020北京，4分]已知α，β∈R,則“存在k∈Z使得α=kπ+-A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]若存在k∈Z使得α=kπ+-1kβ，則當(dāng)k=2n,n∈Z時，α=2nπ+β，則sinα=sin2nπ+β=sinβ；當(dāng)k=2n+1,n∈Z時，α=12.[2020浙江，4分]已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l,m,n.“l(fā),m,n共面”是“l(fā),m,n兩兩相交”的(B)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]m,n，l在同一平面內(nèi)，可能有m,n,l兩兩平行，所以m,n,l可能沒有公共點(diǎn)，所以不能推出m,n，l兩兩相交.由m,n,l兩兩相交且m,n,l不經(jīng)過同一點(diǎn)，可設(shè)l∩m=A,l∩n=B,m∩n=C，且A?n，所以點(diǎn)A和直線n確定平面α，而B,C∈n，所以B,C∈α，所以l,13.[2019天津，5分]設(shè)x∈R，則“x2-5x<0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]由x2-5x<0可得0<x<5.由x-1<1可得0<x<2【方法技巧】對于判斷充分必要條件的問題,可以借助集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行,例如,本題先通過求不等式的解集,再根據(jù)區(qū)間0,2是0,14.[2019浙江，4分]設(shè)a>0，b>0，則“a+b≤4A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]因為a>0,b>0，所以a+b≥2ab，由a+b≤4可得2ab≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；當(dāng)ab≤4時，取a=8,15.[2019北京，5分]設(shè)函數(shù)fx=cosx+bsinx（b為常數(shù)）,則“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]b=0時，fx=cosx，顯然fx為偶函數(shù)，充分性成立；fx為偶函數(shù)，則有f-x=fx，即cos-x+bsin-x=cosx+bsinx，又cos16.[2019北京，5分]設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“AB+AC>BCA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]如圖，在平行四邊形ABDC中，易知AB+AC=AD.當(dāng)∠CAB=90°時，AD=（如圖中平行四邊形ACD'B'）；同理可得，當(dāng)∠CAB>90°時，AD<BC.∴“AB考點(diǎn)3不等式的性質(zhì)與解法、基本不等式題組一、選擇題1.[2022全國卷甲，5分]已知a=3132,b=cos14,A.c>b>a B.b>a>[解析]因為b=cos14=1-2sin218，所以b-a=1-2sin218-3132=132-2sin218=2164-2.[2021全國卷乙，5分]下列函數(shù)中最小值為4的是(C)A.y=x2+C.y=2x+[解析]選項A：因為y=x2+2x+4=x+12+3選項B：因為y=sinx+4sinx≥2sinx因此可知y>4，所以選項B選項B另解設(shè)sinx=t,則t∈(0,1]，根據(jù)函數(shù)所以選項B不符合題意.選項C：因為y=2x+22-x≥22x?22-x=選項D：當(dāng)0<x<1時，lnx<0，y=lnx+4lnx<0，所以選項D不符合題意.（易錯警示：只有當(dāng)x>1故選C.3.[2021浙江，4分]已知α，β，γ是互不相同的銳角，則在sinαcosβ，sinβcosγA.0 B.1 C.2 D.3[解析]因為α,β,γ是互不相同的銳角，所以sinα，cosβ,sinβ，cosγ,sinγ，cosα均為正數(shù).由基本不等式可知sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2.三式相加可得sinαcosβ+sin【方法技巧】解決本題的關(guān)鍵在于利用基本不等式得到這三個值不會都大于12，再利用賦值法確定這三個值中可能存在兩個值大于124.[2020北京，4分]已知函數(shù)fx=2x-x-1A.-1,1 B.-∞,-1∪1,+∞[解析]函數(shù)fx=2x-x-1，則不等式fx>0的解集即2x>x+1的解集，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y5.[2022新高考卷Ⅱ，5分]（多選題）若x,y滿足x2+y2-A.x+y≤1 B.x+y≥-[解析]由題意得，x2+y2=xy+1.因為x2+y2≥2xy，所以xy+1≥2xy，所以xy≤1，所以x2+y2≤26.[2020新高考卷Ⅰ，5分]（多選題）已知a>0,b>0,且a+A.a2+b2C.log2a+log[解析]對于選項A，