(適用輔導班)2023-2024年高二數(shù)學寒假講義（基礎班）1.3《不等式的性質(zhì)及一元二次不等式》 (原卷版)

頁第三節(jié)不等式的性質(zhì)及一元二次不等式核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.與命題的真假判斷相結合，考查不等式的性質(zhì)，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．結合二次函數(shù)的圖象，考查一元二次不等式的解法，凸顯直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3．結合“三個二次”間的關系，考查轉化與化歸能力，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．4．與實際問題相結合，考查應用不等式性質(zhì)、一元二次不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2．不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性a>b?b<a；a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b，b>c?a>c；a<b，b<c?a<c同向可加性a>b?a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*?an>bn同正可開方性a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正3.三個“二次”間的關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))eq\a\vs4\al(R)ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}eq\a\vs4\al(?)eq\a\vs4\al(?)[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．若a<b<0，則下列不等式不能成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．|a|>|b|D．a(chǎn)2>b22．設A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，則A與B的大小關系為()A．A≥BB．A>BC．A≤BD．A<B3．函數(shù)f(x)＝log2(－x2－3x＋4)的定義域為________．4．若集合A＝{x|x2－ax＋1>0}＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________．5．若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________．二、易錯點練清1．已知實數(shù)a∈(－3,1)，b∈(eq\f(1,8),eq\f(1,4))，則eq\f(a,b)的取值范圍是()A．(－12,8)B．(－24,8)C．(－24,4)D．(－12,4)2．不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集為________．3．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為________．4．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x對任意x都成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．考點一不等式的性質(zhì)及應用[典例](1)已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系是()A．c≥b>aB．a(chǎn)>c≥bC．c>b>aD．a(chǎn)>c>b(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，給出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；④lna2>lnb2.其中正確的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④[方法技巧]1．比較兩個數(shù)(式)大小的2種方法2．謹記2個注意點(1)與命題真假判斷相結合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．(2)在求式子的范圍時，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號不能同時取到，會導致范圍擴大．[針對訓練]1．(多選)已知實數(shù)a，b，c滿足c<b<a且ac<0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)b>acB．c(b－a)>0C．a(chǎn)c(a－c)<0D．cb2<ab22．(多選)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則()A．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)考點二一元二次不等式的解法[例1]不等式2x＋3－x2>0的解集是()A．{x|－1<x<3}B．{x|x>3或x<－1}C．{x|－3<x<1}D．{x|x>1或x<－3}[例2]已知常數(shù)a∈R，解關于x的不等式12x2－ax>a2.[方法技巧]解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)(1)二次項中若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式．(2)當不等式對應方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關系．(3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關系，從而確定解集形式．[針對訓練]1．(多選)下列四個不等式中，解集為?的是()A．－x2＋x＋1≤0B．2x2－3x＋4＜0C．x2＋3x＋10≤0D．－x2＋4x－(a+)＞0(a＞0)2．已知實數(shù)a滿足不等式－3<a<3，求關于x的不等式(x－a)(x＋1)>0的解集．考點三一元二次不等式的綜合應用考法(一)“三個二次”之間的關系及應用[例1]若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集為()A．{x|－2<x<1}B．{x|x<－2或x>1}C．{x|0<x<3}D．{x|x<0或x>3}[方法技巧]“三個二次”之間的關系若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，則x1，x2是不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)解集的端點，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標．考法(二)一元二次不等式的恒(能)成立問題題點1一元二次不等式在實數(shù)集R上的恒成立問題[例2]若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為________．[方法技巧]一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0題點2一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題[例3]設函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，則m的取值范圍是________________．[方法技巧]在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉化為函數(shù)值域問題，即：已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.題點3不等式能成立或有解問題[例4]設a∈R，若關于x的不等式x2－ax＋1≥0在區(qū)間[1,2]上有解，則()A．a(chǎn)≤2B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≥eq\f(5,2)D．a(chǎn)≤eq\f(5,2)[方法技巧]解決不等式能成立問題的策略一般也是轉化為函數(shù)最值，即：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.[針對訓練]1．已知關于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－3]∪[1，＋∞)B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[－1,3]D．[－3,1]2．設m為實數(shù)，若函數(shù)f(x)＝x2－mx＋2在區(qū)間(－∞，2)上是減函數(shù)，對任意的x1，x2∈[1,eq\f(m,2)＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，則m的取值范圍為()A．[4,6]B．(4,6)C．(4,6]D．[4,6)一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法轉化與化歸思想在不等式中的應用[典例](1)已知0≤x≤2時，不等式－1≤tx2－2x≤1恒成立，則t的取值范圍是________．(2)設f(x)＝2x2＋bx＋c，已知不等式f(x)<0的解集是(1,5)，若對任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2＋t有解，則實數(shù)t的取值范圍是________．(3)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實數(shù)c的值為________．[名師微點]轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種方法．一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為易解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題．不等式恒成立通過分離參數(shù)，轉化為函數(shù)最值問題．二、創(chuàng)新考查方式——領悟高考新動向1．某省每年損失耕地20萬畝，每畝耕地價值24000元，為了減少耕地損失，決定按耕地價格的t%征收耕地占用稅，這樣每年的耕地損失可減少eq\f(5,2)t萬畝，為了既減少耕地的損失又保證此項稅收一年不少于9000萬元，則t的取值范圍是()A．[1,3]B．[3,5]C．[5,7]D．[7,9]2．給出三個不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)，能夠使以上三個不等式同時成立的一個條件是________．(答案不唯一，寫出一個即可)eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎練——練手感熟練度1．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，則p與q的大小關系為()A．p≤qB．p≥qC．p<qD．p>q2．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0D．－1<α－β<13．不等式2x2－x－3>0的解集是()A.(－eq\f(3,2)，1)B．(－∞，－1)∪(eq\f(3,2)，＋∞)C.(－1,eq\f(3,2))D.(－∞,－eq\f(3,2))∪(1，＋∞)4．若實數(shù)m，n滿足m>n>0，則()A．－eq\f(1,m)<－eq\f(1,n)B.eq\r(m)＋eq\r(n)>eq\r(m＋n)C.(eq\f(1,2))m>(eq\f(1,2))nD．m2<mn5．若?x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．二、綜合練——練思維敏銳度1．(多選)設a，b為非零實數(shù)，且a<b，則下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)2>abB．a(chǎn)2<b2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D．a(chǎn)3<b32．已知a為實數(shù)，“a>1”是“a2<a3”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若關于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)4．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,2，x<0，))若不等式xf(x－1)≥a的解集為[3，＋∞)，則a的值為()A．－3B．3C．－1D．15．若存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq\o\al(2,0)≥a成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(－∞，－8]C．[1，＋∞)D．[－8，＋∞)6．若a>1，則關于x的不等式eq\f(ax,x＋1)≥1的解集是()A.[-1,eq\f(1,a－1)]B.(-1,eq\f(1,a－1)]C．(－∞，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪[eq\f(1,a－1),+∞)7．(多選)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－eq\f(1,2)<x<2}，則下列結論正確的是()A．a(chǎn)>0B．b>0C．c>0D．a(chǎn)＋b＋c>08．在關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2個整數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－3,5)B．(－2,4)C．[－3,5]D．[－2,4