冪函數知識點總結

1、冪函數一、知識點總結1冪函數的概念（ 1）一般地，冪函數的表達式為yx (R) ，其中為常數；其特征是以冪的底為自變量，指數為常數。（ 2）所有的冪函數在區(qū)間(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(1,1) 。（ 3）學習和理解冪函數的概念時要注意以下幾點：形如 y(2x) , y2x , yx2,形式的函數不是冪函數。冪函數 yx 中的為任意實數。確定一個冪函數，只需求出即可。2冪函數的圖象我們只討論冪函數 y x 中1,2,3, 1, 1時的圖象。21在同一平面直角坐標系作出冪函數y x, y x2, y x3, y x2 , y x 1 的圖象。（ 1）列表、（ 2）描點： 3）連線：用光

2、滑的曲線將各點連結起來。如圖（ 2）記熟上面各函數圖象的形狀， 及它們之間的 “高低”關系。（ 3）函數 y1可記為 y x 1 。（4） a 0 時，圖象x都過 (0,0)(1,1) 點， a0 時，只過 (1,1)不過 (0,0)點。3冪函數的性質從上圖可以觀察到冪函數的特征如下：特函數y xy x2y x31y x 1征y x2性質定義域RRR0,) x | xR, x0值域R 0,)R0, y | yR, y0)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性x0,) 時，增增增x (0, ) 時，減增(,0 時，減x ( ,0) 時，減x定點(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(0,0)(

3、0,0)(0,0)(0,0)供參考結合以上特征得冪函數的性質如下：（ 1）所有的冪函數在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(1,1)；（ 2）如果0 ，則冪函數的圖象過原點，并且在區(qū)間0,) 上為增函數；（ 3）如果0 ，則冪函數的圖象在區(qū)間(0,) 上是減函數，在第一象限內，當x 從右邊趨向于原點時，圖象在 y 軸右方無限地逼近y 軸，當 x 趨向于時，圖象在 x 軸上方無限地逼近x 軸；（ 4）當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶函數，冪函數為偶函數。4求冪函數的定義域、值域冪函數的定義域要根據解析式來確定，要保證解析式有意義，值域要在定義域范圍內求解。5冪函數的單調性和奇偶性冪函數的單調

4、性與奇偶性與一般函數的單調性和奇偶性相同，在證明或判斷時，主要應用定義法判斷，有時也用冪函數的性質加以判斷。6比較大小比較大小問題一般是利用函數的單調性，當不便利用單調性時，可與 0 和 1 去比較， 這種方法叫“搭橋”法。二、經典例題1.如圖，冪函數yxa 在第一象限內的圖象，已知a 取2,1四個值，則相應于曲線2C1 ,C2 ,C3 , C4 的 a 依次為（）A 2, 1 , 1 ,2B 2, 1 , 1 , 22222C1111, 2,2,D 2, ,2,2222m2.如圖所示是函數yx n (m, nN 且互質 ) 的圖象，則（）m1A m,n 是奇數，且nB m 是偶數， n 是奇

5、數，且m1nC m 是偶數， n 是奇數，且 m1nD n 是偶數， m 是奇數，且m1.n3.y(mx4xm2)1( xmx1)的定義域是全體實數，則實數 m 的取值范圍函數242是（）A (5 1,2)B (51,)C (2,2)D (15,15)如圖所示，冪函數y x在第一象限的圖象，比較0,1 ,2 ,3 ,4 ,1的大?。ǎ?供參考AB 0CD130421123412403113024115 y1）的圖象是（x16函數 y (m 2m 1) x m 2 2 m 3是冪函數， 且 x (0,) 時為減函數， 則實數 m 的值為（）A m 1 或 215D m1B mC m 227給出下

6、列說法：函數 yx3 的圖象關于原點成中心對稱；函數 yx 4 的圖象關于 y 軸成軸對稱；函數 yx 1 在 ( ,) 上是減函數 .其中正確說法的個數是（）A 0B 1C 2D 348函數 yx3 的圖象是（）A BCD 19函數 yx3 和 yx3 圖象滿足（）A 關于原點對稱B關于 x 軸對稱C關于 y 軸對稱D關于直線yx 對稱10 函數 yx | x |, xR ，滿足（）A 是奇函數又是減函數B是偶函數又是增函數供參考C是奇函數又是增函數D是偶函數又是減函數11函數yx22x24 的單調遞減區(qū)間是（）A (, 6B 6, )C ( , 1D 1, )1423312函數 yx 2

7、的定義域是.13 冪函數 f ( x)的圖象過點（3, 427 ) ，則 f 1 ( x) 的解析式是.14 yxa24a 9 是偶函數，且在(0,)是減函數，則整數 a 的值是.15冪函數 y(1)k nN *, m, n互質 ) 圖象在一、 二象限， 不過原點， 則 k ,m, n 的xm (m, n, k奇偶性為.3 x2 y16若10x2,10 y3 ，則 1021111x3x 3； g(x)x3x 317 已知函數 f (x)5.5（ 1）證明： f (x) 是奇函數，并求f (x) 的單調區(qū)間；（ 2）分別計算 f (4)5 f (2)g(2) 和 f (9)5 f (3)g(3) 的值，由此概括出涉及函數f (x) 和g(x) 對所有不等于零的實數x 都成立的一個等式，并加以證明。供參考18.比較下列各組數的大小；5577（ 1） 3 2和 3.1 2；（ 2）8 8和(1)8;9223（ 3） 4.15 ,3.8 3 和 ( 1.9)5 .1p23f（ x） x 2p（ p Z）在（ 0，）上是增函數，且在其定義域內19已知冪函數2是偶函數，求p的值，并寫出相應的函數fx（ ）220已知函數y(a 23a2) x a 5a 5 （ a 為常數） .（ 1）a 為何值時此函數為冪函數？（ 2