多次相遇行程問(wèn)題的例題講解

屢次相遇行程問(wèn)題的例題講解有關(guān)屢次相遇的行程問(wèn)題解析屢次相遇〔1〕2倍的關(guān)系〔兩頭同時(shí)出發(fā)相向而行〕：對(duì)于單個(gè)人來(lái)講，從一次相遇到相鄰的下一次相遇走了他從出發(fā)到第一次相遇的2倍?！碴P(guān)注2倍的關(guān)系，是因?yàn)楹芏囝}目，只告訴第一次相遇地點(diǎn)距離一段的路程〕

【例1】小明和小英各自在公路上往返于甲、乙兩地。設(shè)開(kāi)始時(shí)他們分別從兩地相向而行，假設(shè)在距離甲地3千米處他們第一次相遇，第二次相遇的地點(diǎn)在距離乙地2千米處，那么甲、乙兩地的距離為多少千米？

〔2〕對(duì)于一頭同時(shí)出發(fā)同向行駛或者環(huán)型行程中，思路是從路程和或者某一個(gè)人在不同時(shí)間段的關(guān)系找到對(duì)應(yīng)的時(shí)間關(guān)系，再找到單個(gè)人或另外一個(gè)人兩個(gè)時(shí)間段的路程關(guān)系。〔路程關(guān)系~~~時(shí)間關(guān)系~~~~路程關(guān)系〕

【例2】一列客車和貨車從甲同時(shí)同向出發(fā)開(kāi)往乙地，貨車速度是80千米/時(shí)，經(jīng)過(guò)1小時(shí)兩車在丙地相遇，兩車到達(dá)了兩端后都立即返回，第二次相遇的地點(diǎn)也在丙地。求客車的速度。

【例3】甲乙二人以勻速繞圓形跑道相向跑步，出發(fā)點(diǎn)在圓直徑的兩端。如果他們同時(shí)出發(fā)，并在甲跑完60米時(shí)第一次相遇，在乙跑一圈還差80米時(shí)兩人第二次相遇，求跑道的長(zhǎng)度？

〔3〕根據(jù)速度比m:n,設(shè)路程為m+n份

【例4】甲、乙兩車分別從AB兩地出發(fā)，在AB之間不斷的往返行駛，甲車的速度是每小時(shí)15千米，乙車的速度是每小時(shí)35千米，并且甲、乙兩車第3次與第4次相遇點(diǎn)恰好為100千米，那么AB兩地之間的距離是多少千米？

【例5】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地之間不斷往返行駛。甲、乙兩車的速度比為3：7，并且甲、乙兩車第1996次相遇的地點(diǎn)和1997次相遇的地點(diǎn)恰好相距120千米〔這里指面對(duì)面的相遇〕，那么A、B兩地之間的距離是多少千米？

〔4〕n次相遇畫(huà)平行線并結(jié)合周期性分析

【例6】甲乙兩人在相距90米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒鐘3米，乙的速度是每秒鐘2米。如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇了幾次？(平行線+周期性分析)

【例7】A、B兩地相距1000米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B間往返鍛煉。甲跑步每分鐘行150米，乙步行每分鐘60米。在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距A地最近六年級(jí)行程問(wèn)題之屢次相遇解析一六年級(jí)行程問(wèn)題之屢次相遇解析二六年級(jí)行程問(wèn)題之相遇次數(shù)解析六年級(jí)行程問(wèn)題之相遇次數(shù)解析六年級(jí)行程問(wèn)題之行程綜合講解行程問(wèn)題之相遇問(wèn)題例題解析二從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的

解一：畫(huà)出如下示意圖：

當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩局部

時(shí)20分相當(dāng)于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要30×3＝90〔分鐘〕；

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.

把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過(guò)"所用時(shí)間"使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問(wèn)題簡(jiǎn)單些.

還可以用"比例分配"方法求出各段所用時(shí)間.

第一段所用時(shí)間∶第三段所用時(shí)間=5∶2.

時(shí)間一樣.

第一段所用時(shí)間∶第二段所用時(shí)間=5∶9.

因此，三段路程所用時(shí)間的比是

5∶9∶2.

汽車走完全程所用時(shí)間是80×2＝160〔分種〕.屢次相遇和追擊問(wèn)題例題上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米。問(wèn)這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？【分析】先畫(huà)出示意圖圖37-1如下〔圖37-1中A點(diǎn)表示爸爸第一次追上小明的地方，B點(diǎn)表示他第二次追上小明的地方〕。從圖37-1上看出，在相同時(shí)間〔從第一次追上到第二次追上〕內(nèi)，小明從A點(diǎn)到B點(diǎn)，行完〔8-4=〕4千米；爸爸先從A點(diǎn)到家，再?gòu)募业紹點(diǎn)，行完〔8+4=〕12千米。可見(jiàn)，爸爸的速度是小明的〔12÷4=〕3倍。從而，行完同樣多的路程〔比方從家到A點(diǎn)〕，小明所用的時(shí)間就是爸爸的3倍。

由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在A點(diǎn)追上，所以，小明從家到A點(diǎn)比爸爸多用8分鐘。這樣可以算出，小明從家到A所用的時(shí)間為

8÷〔3-1〕×3=12〔分〕

【解】8÷〔3-1〕×3×X2=24〔分〕典型屢次相遇追擊問(wèn)題解析甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行36干米。相遇以后繼續(xù)以原來(lái)的速度前進(jìn)，各自到達(dá)目的地后又立即返回，這樣不斷地往返行駛。途中第二次相遇地點(diǎn)與第三次相遇地點(diǎn)相距40千米。A、B兩地相距多遠(yuǎn)？【分析】我們同樣還是畫(huà)出示意圖37-2〔圖37-2中P、M、N分別為第一次、第二次、第三次相遇地點(diǎn)〕：

設(shè)AB兩地的距離為“1”。由甲、乙兩車的速度可以推知：在相同時(shí)

通過(guò)演示我們還可以知道，第二次相遇時(shí)，甲、乙兩車一共行完了3個(gè)全程〔AB+BM+BA+AM〕；第三次相遇時(shí)，它們一共行完了5個(gè)全程〔AB+BA+AN+BA+AB+BN〕。

下面，我們只要找出與“40千米〞相對(duì)應(yīng)的分率〔也就是MN占全程的幾分之幾〕。

【解】

行程問(wèn)題之屢次相遇追練習(xí)題一1、兩輛汽車同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開(kāi)出，第一次在離車站60千米的地方相遇，之后兩車?yán)^續(xù)以原來(lái)速度前進(jìn)，各車到站后立即返回，又在離中點(diǎn)30千米處相遇，兩站相距多少千米？

2、甲、乙兩車分別從東、西兩站同時(shí)相對(duì)開(kāi)出。第一次相遇時(shí)，甲車行了80千米，兩車?yán)^續(xù)以原來(lái)速度前進(jìn)，各車到站后立即返回，第二次相遇地點(diǎn)在第一次相遇地點(diǎn)東側(cè)40千米處。東、西兩站相距多少千米？

3、甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，背向而行?，F(xiàn)在甲走一圈的時(shí)間是70分鐘，如果在出發(fā)后45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時(shí)間是多少分鐘？

4、一個(gè)自行車選手在相距950千米的甲、乙兩地之間訓(xùn)練。從甲地出發(fā)，去時(shí)每90千米休息一次；到達(dá)乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次；他發(fā)現(xiàn)恰好有一個(gè)休息的地點(diǎn)與去時(shí)的一個(gè)休息地點(diǎn)相同，那么這個(gè)休息地點(diǎn)距甲地有多少千米？行程問(wèn)題之屢次相遇追練習(xí)題二5、一個(gè)圓的周長(zhǎng)為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周相向爬行。這兩只螞蟻每秒分別爬5.5厘米和3.5厘米。它們每爬行1秒，3秒、5秒……〔連續(xù)的奇數(shù)〕，就調(diào)頭爬行。那么，它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是多少秒？

6、在一條公路上，甲、乙兩個(gè)地點(diǎn)相距600米。張明每小時(shí)行走4千米，李強(qiáng)每小時(shí)行走5千米。8點(diǎn)整，他們兩人從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都調(diào)頭反向而行，再過(guò)3分鐘，他們又調(diào)頭相向而行，依次按照1，3，5，7，……〔連續(xù)的奇數(shù)〕分鐘調(diào)頭行走，那么，張李兩人相遇時(shí)是8點(diǎn)幾分？

7、一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，如果把車速提高20％；可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％那么可提前40分鐘到達(dá)。那么，甲、乙兩地相距多少千米？

8、甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛，甲車的速度是每小時(shí)15千米，乙車的速度是每小時(shí)35千米，并且甲、乙兩車第三次相遇的地點(diǎn)與第四次相遇的地點(diǎn)恰好相距100千米，那么A、B兩地之間的距離等于多少千米？行程問(wèn)題之屢次相遇追練習(xí)題三9、從甲市到乙市有一條公路，它分成三段，在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米；在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米；在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米。第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍，現(xiàn)在有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行，1小時(shí)20分后在第二段的1/3處〔從甲到乙方向的1/3處〕相遇。那么，甲、乙兩市相距多少千米？

10、小張、小王和小李同時(shí)從湖邊同一地點(diǎn)出發(fā)，繞湖行走。小張速度是每小時(shí)5.4千米，小王速度是每小時(shí)4.2千米，他們兩人同方向而行走，小李與他們反方向行走，半小時(shí)后小張與小李相遇，再過(guò)5分鐘，小李與小王相遇。那么，繞湖一周的行程是多少千米？

11、甲、乙兩人同時(shí)從山腳開(kāi)始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。開(kāi)始后1小時(shí)，甲與乙在高山頂600米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時(shí)，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出發(fā)點(diǎn)共用多少小時(shí)？

12、甲、乙兩地是電車始發(fā)站，每隔一定時(shí)間兩地同時(shí)各發(fā)出一輛電車。小張和小王分別騎車從甲、乙兩地出發(fā)，相向而行。每輛電車都隔4分鐘遇到迎面開(kāi)來(lái)的一輛電車；小張每隔5分鐘遇到迎面開(kāi)來(lái)的一輛電車；小王每隔6分鐘遇到迎面開(kāi)來(lái)的一輛電車。電車行駛?cè)淌?6分鐘，那么小張與小王在途中相遇時(shí)他們已行走了多少分鐘？五年級(jí)行程問(wèn)題：屢次相遇、追及問(wèn)題一講解：五年級(jí)行程問(wèn)題：屢次相遇、追及問(wèn)題一難度：中難度

甲、乙兩車分別從A，B兩地出發(fā)，并在A，B兩地間不斷往返行駛。甲車的速度是25千米/時(shí)，乙車的速度是15千米/時(shí)，甲、乙兩車第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相差100千米。求A，B兩地的距離？

解答：解題思路：屢次相遇問(wèn)題，最好把全程分成分?jǐn)?shù)去考慮

【分析】甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次相遇兩車共行了一個(gè)全程，其中乙行了五年級(jí)行程問(wèn)題：屢次相遇、追及問(wèn)題二難度：中難度

甲、乙二人分別從A﹑B兩地同時(shí)相向而行，乙的速度是甲的2/3，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到B地，乙到A地后立即返回。二人第二次相遇到地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)是20千米，那么，A﹑B兩地相距多少千米？五年級(jí)行程問(wèn)題：屢次相遇、追及問(wèn)題二講解：五年級(jí)行程問(wèn)題：屢次相遇、追及問(wèn)題三難度：中難度

A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問(wèn)：當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？五年級(jí)行程問(wèn)題：屢次相遇、追及問(wèn)題三講解：解答：由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20〔分鐘〕內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長(zhǎng)度再加上線段AE的長(zhǎng)度，即等于甲在〔80+100〕分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍〔=180÷20〕，那么BF的長(zhǎng)為AF的9倍，所以，甲從A到B，共需走80×〔1+9〕=800〔分鐘〕，乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差為一個(gè)AB全程.從第一次追上甲時(shí)開(kāi)始，乙每次追上甲的路程差就是兩個(gè)AB全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘，所以，在甲從A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘.2006年“希望杯〞全國(guó)數(shù)學(xué)大賽決賽題〔小六〕〔時(shí)間：90分鐘總分值：120分〕題號(hào)一二其中：總分13141516得分得分評(píng)卷人一、填空題?！裁款}6分，共72分?！?．計(jì)算：eq\f(4.5－eq\f(1,3)×8.1,3.6)＝。2．計(jì)算：eq\f(3,4)＋eq\f(3,16)＋eq\f(3,64)＋eq\f(3,256)＋eq\f(3,1024)＋eq\f(3,4096)＝。3．假設(shè)10.5x－10＝36－3y＝14＋,那么x＝，y＝。4．有一類自然數(shù)，從第四個(gè)數(shù)字開(kāi)始每個(gè)數(shù)字都恰好等于它前面三個(gè)數(shù)字的和，直到不能再寫(xiě)為止，如2169，21146等等。那么這類數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)是____________。5．下面是一串字母的假設(shè)干次變換。ABCDEFGHIJ第一次變換后為BCDAFGHIJE第二次變換后為CDABGHIJEF第三次變換后為DABCHIJEFG第四次變換后為ABCDIJEFGH……………………至少經(jīng)過(guò)次變換后才會(huì)再次出現(xiàn)“A、B、C、D、E、F、G、H、I、J〞。6．把一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體在同一平面上的四條棱的中點(diǎn)用線段連接起來(lái)〔如右圖所示〕，然后再把正方體所有頂點(diǎn)上的三角錐鋸掉。那么最后所得的立方體的體積是立方厘米。7．有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是5，第二個(gè)數(shù)是2，從第三個(gè)數(shù)起每個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)中較大數(shù)減去較小數(shù)的差。那么這列數(shù)中前100個(gè)數(shù)之和等于。8．在鐘面上，當(dāng)指針指示為6︰20時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)M成的較小的夾角為度。9．小明把五顆完全相同的骰子拼擺成一排〔如右圖所示〕，那么這五顆骰子底面上的點(diǎn)數(shù)之和是。10.有四個(gè)房間，每個(gè)房間里不少于4人。如果任意三個(gè)房間里的總?cè)藬?shù)不少于14人，那么這四個(gè)房間里的總?cè)藬?shù)至少有人。11．如果用符號(hào)“[a]〞表示數(shù)字a的整數(shù)局部,例如[5.1]＝5,[eq\f(5,3)]＝1，那么[eq\f(1,eq\f(1,2000)＋eq\f(1,2001)＋……＋eq\f(1,2023))]＝。12．雨，嘩嘩不停的下著。如果在地上放一個(gè)如圖〔1〕那樣的長(zhǎng)方體形狀的容器，那么雨水將它注滿要用1小時(shí)。另有一個(gè)如圖〔2〕形狀的容器，那么雨水將它注滿要用分鐘?！矆D1〕〔圖2〕得分評(píng)卷人二、解答題。〔每題12分，共48分?！?3．規(guī)定一種運(yùn)算“※〞：a※b表示求a、b兩個(gè)數(shù)的差，即用a、b中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，例如：5※4＝5－4＝1，1※4＝4－1＝3，6※6＝6－6＝0。那么，請(qǐng)按規(guī)定把下式化簡(jiǎn)。＋〔eq\f(2006,665)※6〕14．小明第一次去李阿姨的食品加工廠參觀，就被李阿姨的問(wèn)題給難住了。這是我們做調(diào)味包的原料，甲種有378克，乙種有294克，丙種有168克，丁種有126克。要配成相同的調(diào)味包，每包里的每種原料都恰好是整克數(shù)，而且沒(méi)有剩余。這是我們做調(diào)味包的原料，甲種有378克，乙種有294克，丙種有168克，丁種有126克。要配成相同的調(diào)味包，每包里的每種原料都恰好是整克數(shù)，而且沒(méi)有剩余。那最多能配成多少包呢？每包里面的每種原料各有多少克呢？那最多能配成多少包呢？每包里面的每種原料各有多少克呢？你能幫小明想想方法，算出答案嗎？2006年“希望杯〞全國(guó)青少年數(shù)學(xué)大賽決賽小學(xué)六年級(jí)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題?！裁款}6分，共72分。〕題號(hào)12345答案eq\f(1,2)eq\f(4095,4096)X＝4，y＝1eq\f(1,3)1001124712題號(hào)6789101112答案6eq\f(2,3)7770161910040二、解答題。(每題12分,共48分。)題號(hào)解答過(guò)程及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)13解：原式＝eq\f(475,157)－1＋eq\f(475,157)－2＋eq\f(475,157)－3＋4—eq\f(475,157)＋5－eq\f(475,157)＋6－eq\f(475,157)……………5分＝6＋5＋4－3－2－1………3分＝9……………4分14解：〔1〕〔378，294，168，126〕＝42(包)…………6分〔2〕甲原料：378÷42＝9(克)…1分乙原料：294÷42＝7(克)…1分丙原料：168÷42＝4(克)…1分丁原料：126÷42＝3(克)…1分答：最多能配成42包；…………1分每包里甲種原料有9克，乙種原料有7克，丙種原料有4克，丁種原料有3克。…………1分15解：〔1〕小圓經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)要轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：360°－120°－90°－90°＝60°………1分小圓經(jīng)過(guò)6個(gè)頂點(diǎn)要轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：60°×6＝360°……………2分即，小圓經(jīng)過(guò)6個(gè)頂點(diǎn)要轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，………1分又，小圓經(jīng)過(guò)6條邊要轉(zhuǎn)動(dòng)6圈，…………1分所以，這個(gè)小圓滾動(dòng)了7圈?！?分〔2〕3.14×(1×2)×2×6＝75.36〔平方厘米〕………2分3.14×(1×2)2＝12.56〔平方厘米〕………2分75.36＋12.56＝87.92〔平方厘米〕……1分答：這個(gè)小圓經(jīng)過(guò)局部的面積是87.92平方厘米。………1分16解：〔1〕設(shè)計(jì)方案如下：………………3分說(shuō)明〔略〕?！?分〔2〕左邊一塊地的周長(zhǎng)較長(zhǎng)些?！?分理由〔略〕?！?分附注1．解答題第13～15題假設(shè)采用其它解法的，只要方法合理，計(jì)算正確，均可參照給分。2．解答題第16題假設(shè)采用其它說(shuō)理方法的，只要說(shuō)理明白、表述清楚，均可參照給分。七、行程問(wèn)題兩個(gè)速度不同的人或車，慢的先行〔領(lǐng)先〕一段，然后快的去追，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間快的追上慢的。這樣的問(wèn)題一般稱為追及問(wèn)題。有時(shí)，快的與慢的從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而行，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間快的領(lǐng)先一段路程，我們也把它看作追及問(wèn)題，因?yàn)檫@兩種情況都滿足速度差×?xí)r間=追及〔或領(lǐng)先的〕路程對(duì)于有三個(gè)以上人或車同時(shí)參與運(yùn)動(dòng)的行程問(wèn)題，在分析其中某兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)情況的同時(shí)，還要弄清此時(shí)此刻另外的人或車處于什么位置，他〔它〕與前兩者有什么關(guān)系。分析復(fù)雜的行程問(wèn)題時(shí)，最好畫(huà)線段圖幫助思考理解并熟記下面的結(jié)論，對(duì)分析、解答復(fù)雜的行程問(wèn)題是有好處的?！?〕甲的速度是a，乙的速度是b，在相同時(shí)間內(nèi)，甲、乙一共行的【例1】甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。如果兩人都按原定速度行進(jìn)，那么4小時(shí)相遇；現(xiàn)在兩人都比原方案每小時(shí)少走1千米，那么5小時(shí)相遇。A、B兩地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙兩人以現(xiàn)在的速度〔比原方案每小時(shí)少走1千米〕仍然走4小時(shí)，那么他們不能相遇，而是相隔一段路。這段路的長(zhǎng)度是多少呢？就是兩人4小時(shí)一共比原來(lái)少行的路。由于以現(xiàn)在的速度行走，他們5小時(shí)相遇，換句話說(shuō)，再行1小時(shí)，他們恰好共同行完這段相隔的路。這樣，就能求出他們現(xiàn)在的速度和了。【解】1×4×2÷〔5-4〕×5=40〔千米〕這道題屬于相遇問(wèn)題，它的根本關(guān)系式是：速度和×?xí)r間=〔相隔的〕路程。但只有符合“同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)相同時(shí)間相遇〞這樣的特點(diǎn)才能運(yùn)用上面的關(guān)系式。不過(guò)，當(dāng)出現(xiàn)“不同時(shí)出發(fā)〞或“沒(méi)有相遇〔而是還相隔一段路〕〞的情況時(shí)，應(yīng)該通過(guò)轉(zhuǎn)化條件，然后應(yīng)用上面的關(guān)系式?！纠?】小王、小張步行的速度分別是每小時(shí)4.8千米和5.4千米。小李騎車的速度為每小時(shí)10.8千米。小王、小張從甲地到乙地，小李從乙地到甲地，他們?nèi)送瑫r(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇5分鐘后，小王又與小李相遇。小李騎車從乙地到甲地需多長(zhǎng)時(shí)間？【分析】為便于分析，畫(huà)出線段圖36-1：圖中C點(diǎn)表示小張與小李相遇地點(diǎn)，D點(diǎn)表示他們相遇時(shí)小王所在地點(diǎn)。根據(jù)題意，小王從D點(diǎn)、小李從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)5分鐘相遇。因此，DC的長(zhǎng)為這段長(zhǎng)度也是相同時(shí)間內(nèi)，小張比小王多行的路程。這里的“相同時(shí)間〞指從三人同時(shí)出發(fā)到小張與小李相遇所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。這段時(shí)間為1.3÷〔5.4-4.8〕×60=130〔分〕這就是說(shuō)，小張行完AC這段路〔也就是小李行完CB這段路〕用了130分鐘，而小李的速度是小張速度的2〔=10.8÷5.4〕倍，所以小李行完AC這段路只需小張的一半時(shí)間〔65分〕。【解】〔留給讀者完成，答案是195分鐘?！场纠?】上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米。問(wèn)這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？【分析】先畫(huà)出示意圖圖37-1如下〔圖37-1中A點(diǎn)表示爸爸第一次追上小明的地方，B點(diǎn)表示他第二次追上小明的地方〕。從圖37-1上看出，在相同時(shí)間〔從第一次追上到第二次追上〕內(nèi)，小明從A點(diǎn)到B點(diǎn)，行完〔8-4=〕4千米；爸爸先從A點(diǎn)到家，再?gòu)募业紹點(diǎn)，行完〔8+4=〕12千米。可見(jiàn)，爸爸的速度是小明的〔12÷4=〕3倍。從而，行完同樣多的路程〔比方從家到A點(diǎn)〕，小明所用的時(shí)間就是爸爸的3倍。由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在A點(diǎn)追上，所以，小明從家到A點(diǎn)比爸爸多用8分鐘。這樣可以算出，小明從家到A所用的時(shí)間為8÷〔3-1〕×3=12〔分〕【解】8÷〔3-1〕×3×X2=24〔分〕【例4】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行36干米。相遇以后繼續(xù)以原來(lái)的速度前進(jìn)，各自到達(dá)目的地后又立即返回，這樣不斷地往返行駛。途中第二次相遇地點(diǎn)與第三次相遇地點(diǎn)相距40千米。A、B兩地相距多遠(yuǎn)？【分析】我們同樣還是畫(huà)出示意圖37-2〔圖37-2中P、M、N分別為第一次、第二次、第三次相遇地點(diǎn)〕：設(shè)AB兩地的距離為“1〞。由甲、乙兩車的速度可以推知：在相同時(shí)通過(guò)演示我們還可以知道，第二次相遇時(shí)，甲、乙兩車一共行完了3個(gè)全程〔AB+BM+BA+AM〕；第三次相遇時(shí)，它們一共行完了5個(gè)全程〔AB+BA+AN+BA+AB+BN〕。下面，我們只要找出與“40千米〞相對(duì)應(yīng)的分率〔也就是MN占全程的幾分之幾〕?！窘狻孔⒁猓簽榱吮ＷC計(jì)算正確，應(yīng)當(dāng)在示意圖中標(biāo)上三次相遇時(shí)甲、乙兩車行的方向。我們來(lái)討論封閉線路的行程問(wèn)題。解決封閉路線中的行程問(wèn)題，仍要抓住“路程=速度×?xí)r間〞這個(gè)根本關(guān)系式，搞清路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系。封閉路線中的行程問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為非封閉路線中的行程問(wèn)題來(lái)解決。在求兩個(gè)沿封閉路線相向運(yùn)動(dòng)的人或物體相遇次數(shù)時(shí)，還可以借助圖示直觀地解決。直線上的來(lái)回運(yùn)動(dòng)、鐘表上的時(shí)針?lè)轴槉A角問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上也是封閉路線中的行程問(wèn)題?！纠?】甲、乙兩名同學(xué)在周長(zhǎng)為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問(wèn)：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？【分析】要知道甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上只要知道甲最后一次離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)又跑出了多少米。我們先來(lái)看看甲從一開(kāi)始到與乙第十次相遇時(shí)共跑了多遠(yuǎn)。不難知道，這段時(shí)間內(nèi)甲、乙兩人共跑的路程是操場(chǎng)周長(zhǎng)的10倍〔300×10=3000米〕。因?yàn)榧椎乃俣葹槊棵腌娕?.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，由上一講我們可以知道，這段時(shí)間內(nèi)甲共行1400知道甲還需行100〔=300-200〕米。1400÷300=4〔圈〕……200〔米〕300-200=100〔米〕【例6】如圖38-1，A、B是圓的一條直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針而行，第一周內(nèi)，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇。C點(diǎn)離A點(diǎn)80米，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米。求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。【分析】這是一個(gè)圓周上的追及問(wèn)題。從一開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇，小張行了80米，小王行了“半個(gè)圓周長(zhǎng)+80”米，也就是在相同的時(shí)間內(nèi)，小王比小張多行了半個(gè)圓周長(zhǎng)，然后，小張、小王又從C點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始前進(jìn)，因?yàn)樾⊥醯乃俣缺刃埧欤诙卧傧嘤?，只能是小王沿圓周比小張多跑一圈。從第一次相遇到第二次相遇小王比小張多走的路程〔一個(gè)圓周長(zhǎng)〕是從開(kāi)始到第一次相遇小王比小張多走的路程〔半個(gè)圓周長(zhǎng)〕的2倍。也就是，前者所花的時(shí)間是后者的2倍。對(duì)于小張來(lái)說(shuō)，從一開(kāi)始到第一次相遇行了80米，從第一次相遇到第二次相遇就應(yīng)該行160米，一共行了240米【解】〔80+80×2-60〕×2=360〔米〕【例3】2點(diǎn)整以后，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)針與分鐘第一次垂直、第三次垂直？【分析】分針的速度比時(shí)針快，2點(diǎn)整時(shí)，分針在時(shí)針后面2格，要使分針與時(shí)針第一次垂直，分針應(yīng)在時(shí)針前面3〔=12÷4〕格。也就是說(shuō)，這段時(shí)間內(nèi)分針應(yīng)比時(shí)針多走5格。而分針每小時(shí)走12格，時(shí)針每小時(shí)走1格。后，時(shí)針才能與分針第一次垂直。每個(gè)小時(shí)內(nèi)時(shí)針與分針重合一次垂直兩次。時(shí)針與分針第三次垂直，分針應(yīng)比時(shí)針多跑〔5+12=〕17格。所以要經(jīng)【問(wèn)題1】、"行程問(wèn)題"占"小升初"數(shù)學(xué)考試的比重有多大？行程問(wèn)題典型試題〔二〕來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1715:12:34[標(biāo)簽：行程問(wèn)題試題試卷]5.甲、乙、丙三輛車先后從A地開(kāi)往B地，乙比丙晚出發(fā)5分鐘，出發(fā)后45分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā)15分鐘，出發(fā)后1小時(shí)追上丙，那么，甲出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間追上乙？

分析：題目中只有時(shí)間條件，這就說(shuō)明用三人速度的比例關(guān)系即可解題。

解答：設(shè)丙速度為U米/分鐘，同乙出發(fā)時(shí)丙走了5U米，乙用了45分鐘追上丙，乙速度比丙速快5U/45=1/9U米/秒，即乙的速度為10/9U米/秒，同樣甲比丙晚出發(fā)20分鐘，用了1小時(shí)追上丙，那么甲比丙速度快：20U/6=1/3U米/秒，甲速度為4/3U米/秒，甲追乙需用時(shí)間為：〔10/9U×15〕÷〔4/3U－10/9U〕=75〔分鐘〕。

評(píng)注：解題中設(shè)的丙速度只是為了表示方便，實(shí)質(zhì)上解題過(guò)程中只用到了三人速度之比，在只有時(shí)間條件的題目中是不可能求出路程或速度的，用比例解題是必然的方法。6.甲、乙、丙三個(gè)車站在同一公路上，乙站距甲、丙兩站距離相等，小明和小強(qiáng)分別從甲、丙兩站相向而行，小明過(guò)乙站150米后與小強(qiáng)相遇，然后兩人繼續(xù)前進(jìn)，小明走到丙站后立即返回，經(jīng)過(guò)乙站后450米又追上小強(qiáng)，問(wèn)：甲、丙兩站距離多遠(yuǎn)？

分析：仔細(xì)分析兩人兩次相遇的行程，可以發(fā)現(xiàn)小明第一次相遇走了一倍甲、乙兩站間的的距離又多150米，第二次相遇走了三倍甲、乙兩站間的距離又450米，第二次路程是第一次的3倍，這就是突破口。

解答：兩次相遇小明走的總路程比為1：3，小強(qiáng)也一定相同，注意到從第一次相遇到第二次相遇小強(qiáng)走了600米，由此可知小強(qiáng)在第一次相遇時(shí)走了：600÷〔3－1〕=300〔米〕，甲、丙兩站之間距離為：〔300＋150〕×2=900〔米〕，即甲、丙兩站距離900米。

評(píng)注：觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，在條件比擬少的題目中，這有時(shí)候也會(huì)有重要作用。7.甲、乙、丙三人到學(xué)校到體育場(chǎng)的路上練習(xí)競(jìng)賽走，甲每分鐘比乙多走10米，比丙多走31米，上午9點(diǎn)三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，上午10點(diǎn)甲到達(dá)體育場(chǎng)后立即返回學(xué)校，在距體育場(chǎng)310米處遇到乙，問(wèn)：1〕從學(xué)校到體育場(chǎng)的距離是多少？2〕乙的速度是多少？3〕甲與丙何時(shí)相遇？

分析：題目中距離的條件只有一個(gè)，因此以這個(gè)條件為中心分析，求學(xué)校到體育場(chǎng)距離比擬有效。

解答：甲與乙相遇時(shí)走了的時(shí)間為：310×2÷10=62〔分鐘〕，甲走到體育場(chǎng)用了1小時(shí)，因此2分鐘走了310米，甲速度為：310÷2=155〔米/分〕，乙速度為：155－10=145〔米/分〕，體育場(chǎng)到學(xué)校距離為：〔155＋145〕×62÷1=9300〔米〕合9.3千米，甲、乙相遇用時(shí)為：2×9300÷〔155＋124〕=66又2/3〔分鐘〕，即學(xué)校到體育場(chǎng)9.3千米，乙速度145米/分，甲、丙相遇在10時(shí)6分40秒。

評(píng)注：有時(shí)候，根據(jù)條件的類型和結(jié)論所求也可以推測(cè)出大概方法，例如此題，求距離，而題目中只有一個(gè)關(guān)于距離的條件，這個(gè)條件就很重要，這樣的分析有助于提高效率。8.甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開(kāi)始游，直到一方追上一方為止，追上者為勝，：甲、乙的速度分別為每秒1.0米和0.8米，問(wèn)：1〕比賽開(kāi)始后多長(zhǎng)時(shí)間甲追上乙？2〕甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？3〕比賽過(guò)程中，兩人同方向游了多長(zhǎng)時(shí)間？

分析與解答：1〕甲追上乙用時(shí)為：50÷〔1－0.8〕=250(秒)；2〕第一次迎面相遇甲、乙共游了50米，之后每100米相遇一次，甲、乙共游了250×〔1＋0.8〕=450(米)，最后一次甲追上乙不算，甲、乙迎面相遇了4次；3〕甲游50米用50秒，乙游50米用62.5秒，甲第一次轉(zhuǎn)身后與乙同向游了12.5秒第二次轉(zhuǎn)身后與乙同游了25秒，依次類推，甲、乙同向游了125秒。

評(píng)注：注意迎面相遇與追上相遇的區(qū)別。行程問(wèn)題的解法比例法來(lái)源：本站原創(chuàng)2023-02-0916:02:38[標(biāo)簽：學(xué)習(xí)方法]根據(jù)奧數(shù)網(wǎng)對(duì)近千套各類奧數(shù)競(jìng)賽和"小升初"數(shù)學(xué)考試試題的分析，平均每套試卷按12道題，總分值100分計(jì)算，就有1.8道試題為行程問(wèn)題〔即每120道試題中有18道是行程問(wèn)題〕，分值為21分。行程問(wèn)題占一套試卷分值的1/5左右，所以行程問(wèn)題不管在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在"小升初"的升學(xué)考試中，都擁有非常顯赫的地位，都是命題者偏愛(ài)的題型之一。小學(xué)生"行程問(wèn)題"普遍是弱項(xiàng)，有幾下幾個(gè)原因：一、行程分類較細(xì)，變化較多。行程跟工程不一樣，工程抓住工作效率和比例關(guān)系就可以解決絕大局部問(wèn)題，但是行程那么沒(méi)有關(guān)鍵點(diǎn)可以抓住，因?yàn)槊恳粋€(gè)類型關(guān)鍵點(diǎn)都不一樣。二、要求對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行演繹和推理。行程問(wèn)題的題目語(yǔ)言表達(dá)本身就很長(zhǎng)，加上所描繪的是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，一般很難從復(fù)雜的語(yǔ)言表達(dá)中提煉出過(guò)程中量的變化關(guān)系。三、行程是一個(gè)殼，可以將各類知識(shí)往里面加。很多題目看似行程問(wèn)題，但是本質(zhì)不是行程問(wèn)題。因?yàn)樾谐痰膹?fù)雜，所以學(xué)習(xí)行程一定要循序漸進(jìn)，掌握各類行程問(wèn)題的解題關(guān)鍵點(diǎn)。下面舉例講解用比例法求解一類行程問(wèn)題。例一：客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩城之間的中點(diǎn)向相反的方向相反的方向行駛，3小時(shí)后，客車到達(dá)甲城，貨車離乙城還有30千米．貨車的速度是客車的3/4，甲、乙兩城相距多少千米？【解】客車速度：貨車速度=4：3，那么同樣時(shí)間里路程比=4：3，也就是說(shuō)客車比貨車多行了1份，多30千米；所以客車走了30×4=120千米，所以兩城相距120×2=240千米。例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天從家到學(xué)校都是步行。有一天由于晚出發(fā)10分鐘，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，這樣與平時(shí)到達(dá)學(xué)校的時(shí)間一樣。那么小明每天步行上學(xué)需要時(shí)間多少分鐘？【解】后一半路程和原來(lái)的時(shí)間相等，這樣前面一半的路程中某日和平時(shí)的速度比=3：1，所以時(shí)間比=1：3，也就是節(jié)省了2份時(shí)間就是10分鐘，所以后一半路程走路的時(shí)間就是10÷2×3=15分鐘，全部路程原來(lái)需要30分鐘。例3、甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相向而行，它們相遇時(shí)距A，B兩地中心處8千米，甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離?！窘狻考总囁俣仁且臆嚨?.2倍，相遇時(shí)甲車和乙車行駛距離的比是6：5，甲車行駛6份，乙車行駛5份，甲車比乙車多行駛1份，一份是2*8=16千米，A，B兩地的距離就是11*16=176千米。例4、上午8時(shí)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回頭去追小明，再追上他的時(shí)候，離家恰好是8千米，問(wèn)這時(shí)是12時(shí)幾分？【解】：從爸爸第一次追上小明到第二次追上小明時(shí)，小明走了4千米，爸爸走了12千米．這說(shuō)明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的時(shí)間是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上時(shí)是8時(shí)32分。這道題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)爸爸和小明的速度比。行程問(wèn)題題型變化多樣，因此很難掌握，比例法可用于解決一類行程問(wèn)題，應(yīng)該熟悉掌握。獵狗追兔典型例題一來(lái)源：南京奧數(shù)網(wǎng)2023-07-1517:18:34[標(biāo)簽：獵狗追兔]一只獵狗發(fā)現(xiàn)在離它18米遠(yuǎn)的前方有一只狐貍在跑，馬上緊追上去，獵狗跑2步的路程狐貍需跑3步，假設(shè)獵狗跑5步的時(shí)間，狐貍可跑7步，獵狗跑多少米能追上狐貍？

設(shè)獵狗一步距離為A,狐貍一步那么為(2/3)A設(shè)單位時(shí)間X作為參數(shù),在X時(shí)間內(nèi)獵狗可以跑一步,那么狐貍可以跑7/5步即在相同的X時(shí)間內(nèi),獵狗跑A,狐貍可跑(2/3)*(7/5)A=(14/15)A時(shí)間相同,獵狗和狐貍的速度即為路程比,15:14獵狗每跑15米,狐貍跑14米,可追上狐貍1米,所以獵狗要跑15*18=270米因?yàn)椴恢赖竭@是小學(xué)競(jìng)賽題還是中學(xué)題,所以用小學(xué)的方式解的,中學(xué)物理題的話,用公式V=S/T表示上面的東西就可以了,最后的速度V用參數(shù)表示出來(lái)。一條獵狗追30米外的一只狐貍，狗跳躍一次為2米，狐貍跳躍一次為1米，而狐貍跳3次的時(shí)間，獵狗只能跳兩次，獵狗跑多少米才能追上狐貍？分析：狐貍跳3次的時(shí)間，獵狗只能跳兩次，也就是狐貍前進(jìn)1×3＝3米，獵狗可以前進(jìn)2×2＝4米，由于4－3＝1，所以獵狗每跑4米就追上狐貍1米，于是獵狗追上狐貍的需要跑4×30＝120〔米〕獵狗追兔行程問(wèn)題的例題解析一來(lái)源：南京奧數(shù)網(wǎng)2023-07-1517:20:06[標(biāo)簽：獵狗追兔行程]獵狗追兔行程問(wèn)題的例題解析一獵狗追兔行程問(wèn)題的例題解析二來(lái)源：南京奧數(shù)網(wǎng)2023-07-1517:20:50[標(biāo)簽：獵狗追兔行程]獵狗追兔行程問(wèn)題的例題解析二獵狗追兔行程問(wèn)題的例題解析三獵狗追兔行程問(wèn)題的例題解析四獵狗追兔行程問(wèn)題的例題解析五名師教你迅速掌握獵狗追兔問(wèn)題來(lái)源：南京奧數(shù)網(wǎng)2023-07-1517:23:59[標(biāo)簽：獵狗追兔行程]獵狗追兔問(wèn)題是行程問(wèn)題中比擬典型的一類題，該類問(wèn)題除考察追及問(wèn)題的根本公式外，還要綜合運(yùn)用比例、份數(shù)等手段解決。解題思想是將兩種動(dòng)物單位化為統(tǒng)一，然后用路程差除以速度差得到追及時(shí)間，或者由速度比得出路程比，再引入份數(shù)思想，進(jìn)而解決問(wèn)題。以下題為例：

【例1】一獵狗正在追趕前方20米遠(yuǎn)兔子,狗一跳前進(jìn)3米,而兔子一跳前進(jìn)2.1米,但狗跳3次的時(shí)間兔子可以跳4次,問(wèn)獵狗跑多少米能追上兔子?

【李老師分析】狗跳3次的時(shí)間兔子可以跳4次，設(shè)都等于一秒

那么狗速度為9米/秒，兔速度為8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以確定，接下來(lái)將是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的追及問(wèn)題，路程差為20米，可列式子20÷〔9－8.4〕=100/3〔秒〕能夠追上兔子。

用時(shí)20/(9-8.4)秒時(shí)間追上，即

狗跑了9×100/3=300米

從以上例題我們可以看出，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于：根據(jù)時(shí)間相同，將其設(shè)為單位時(shí)間〔1秒〕，問(wèn)題簡(jiǎn)單解決。

我們?cè)倏聪乱坏李}：

【例2】獵狗前面26步遠(yuǎn)有一只野兔,獵狗追之,兔跑8步的時(shí)間狗跑5步,兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離,問(wèn):兔跑多少步后被獵狗抓獲?此時(shí)獵狗跑了多少米?

【李老師分析】兔8步的時(shí)間狗跑5步,設(shè)都為1秒………〔一次設(shè)數(shù)〕

再根據(jù)兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離

設(shè)兔子一步4米，狗一步9米………〔二次設(shè)數(shù)〕

從而得出

狗速度為45米/秒，兔速度為32米/秒

進(jìn)而狗兔相距26×9=234米，追及時(shí)間為

234÷(45-32)=18〔秒〕

兔子一秒跑8步，總共跑了9×18=144步

狗一秒跑45米，總共跑了45×18=810米

此題不同于第一道題的地方在于并未直接告訴我們狗與兔的步長(zhǎng)，而給出兩者步長(zhǎng)的關(guān)系，解決問(wèn)題時(shí)可再一次設(shè)數(shù)，將狗與兔的數(shù)據(jù)調(diào)換，作為其步長(zhǎng)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化同例1.

根據(jù)以上兩道例題，李老師做以下總結(jié)，稱之為“兩次設(shè)數(shù)法〞：

獵狗追兔問(wèn)題“兩次設(shè)數(shù)法〞：

①設(shè)單位時(shí)間，得出每秒幾步；

②設(shè)步長(zhǎng)，從而得出各自速度；

之后運(yùn)用追及根本公式解決。但要注意開(kāi)始時(shí)的距離是步長(zhǎng)還是米，以及最終所問(wèn)的是米還是狗步或兔步。

記住以上方法，獵狗追兔問(wèn)題輕松解決。

【練習(xí)】獵狗發(fā)現(xiàn)離它110米處有一只奔跑的兔子，馬上緊追上去，獵狗跑5步的距離兔子要跑9步，獵狗跑2步的時(shí)間兔子要跑3步，問(wèn)獵狗跑多遠(yuǎn)才能追上兔子？奧數(shù)名師周海楠指導(dǎo)：如何用比例解“行程問(wèn)題〞2023-08-0710:58:48來(lái)源：學(xué)而思教育文章奧數(shù)網(wǎng)教研組

周海楠[標(biāo)簽：行程問(wèn)題名師學(xué)習(xí)方法]行程問(wèn)題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)，是升學(xué)試卷中常見(jiàn)的壓軸題。要想在小升初考試中取得好的成績(jī)，熟練掌握行程問(wèn)題的幾種數(shù)學(xué)模型是必不可少的。可是大多數(shù)同學(xué)反映一遇到行程問(wèn)題就不知道從何下手，心里想畫(huà)圖又不知道該怎么畫(huà)，尤其遇到多人屢次相遇問(wèn)題時(shí)，看到那么長(zhǎng)的題就不想讀了，不知道哪句話是重要的，心里總是想要是出一道字?jǐn)?shù)少的題就好了，字少的題就一定好做嗎？顯然不是的。不管題目的字?jǐn)?shù)有多少，只要你耐心讀題，讀出題中的關(guān)鍵字，知道這道題屬于什么模型，相應(yīng)的方法就出來(lái)了。而這個(gè)能力需要系統(tǒng)地練習(xí)。行程問(wèn)題常和比例結(jié)合起來(lái)，雖然題目簡(jiǎn)潔，但是綜合性強(qiáng)，而且形式多變，運(yùn)用比例知識(shí)解決復(fù)雜的行程問(wèn)題經(jīng)常考，而且要考都不簡(jiǎn)單。下面我向大家介紹如何利用比例解答行程問(wèn)題。我們知道行程問(wèn)題里有三個(gè)量：速度、時(shí)間、距離，知道其中兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量。速度×?xí)r間=距離；距離÷速度=時(shí)間；距離÷時(shí)間=速度。如果要用比例做行程問(wèn)題，這三個(gè)量又有什么關(guān)系呢？〔1〕時(shí)間相同，速度比=距離比〔2〕速度相同，時(shí)間比=距離比〔3〕距離相同，速度比=時(shí)間的反比。例如：當(dāng)甲乙行駛時(shí)間相同時(shí)，如果V甲：V乙＝3：4那么S甲：S乙＝3：4；當(dāng)甲乙速度相同時(shí)，如果T甲：T乙＝3：4那么S甲：S乙＝3：4當(dāng)甲乙行駛距離相同時(shí)，如果T甲：T乙＝3：4那么V甲：V乙＝4：3。下面我們看一道例題來(lái)體會(huì)比例在行程問(wèn)題中的應(yīng)用。例一、〔八中培訓(xùn)試題〕甲乙二車同時(shí)從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行56千米，乙車每小時(shí)行48千米。兩車在距離中點(diǎn)32千米處相遇。求AB兩地相距多少千米？分析：這道題給了兩車的速度，我們很容易得到兩車的速度比。這時(shí)我們可以用比例來(lái)做這道題。大家要抓住三個(gè)要點(diǎn)：一、時(shí)間相同，速度比=距離比。二、兩車第一次迎面相遇時(shí)合走一個(gè)全程。三、兩車在距離中點(diǎn)32千米處相遇，即：兩車相遇時(shí)，甲比乙多走32×2=64千米。解：由題意然V甲：V乙＝56：48=7：6即：相同時(shí)間內(nèi)，甲走7份乙走6份。兩車第一次迎面相遇時(shí)合走一個(gè)全程。我們可以把AB之間的路程分為〔7＋6〕＝13份。兩車相遇時(shí)，甲比乙多走1份是32×2=64千米。AB之間的路程為13份，AB之間的路程為13×64=832米。這時(shí)這道題就變得很簡(jiǎn)單了。如果不用比例做這道題，還有別的做法嗎？下面我們看以下幾種做法：方法二：兩車相遇時(shí)，甲比乙多走32×2=64千米。出現(xiàn)距離差屬于追及問(wèn)題，而這道題是相遇問(wèn)題，我們可以把相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化成追及問(wèn)題。每小時(shí)甲比乙多走56－48=8千米。距離差÷速度差=追擊時(shí)間。64÷8=8小時(shí)。即相遇時(shí)間為8小時(shí)。所以相遇時(shí)間×速度和=距離和〔56＋48〕×8＝832千米方法三：在行程問(wèn)題中常用到列方程解應(yīng)用題，大家要注意培養(yǎng)自己列方程解應(yīng)用題的能力，這對(duì)你今后中學(xué)的學(xué)習(xí)很有幫助。那么這道題我們就用列方程解一下。解：設(shè)兩車相遇時(shí)間為X.根據(jù)題意列方程得：56X－48X=32×28X=64X=8〔56＋48〕×8＝832千米答：AB兩地相距832千米？行程問(wèn)題是綜合題目，這也是大家覺(jué)得它難的原因。很多題目看似行程問(wèn)題，但本質(zhì)不是行程問(wèn)題，大家要學(xué)會(huì)判斷。請(qǐng)看下面這個(gè)簡(jiǎn)單的例子：甲乙兩人從一400米環(huán)形跑道A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向行駛，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行50米，問(wèn)多少時(shí)間后甲乙兩人第一次在A點(diǎn)相遇？分析：有同學(xué)一看到甲乙兩人從一400米環(huán)形跑道A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向行駛。問(wèn)多少時(shí)間后甲乙兩人第一次在A點(diǎn)相遇？就想這一定是一道追擊問(wèn)題，甲追上乙時(shí)，甲比乙多行400米，距離差是400米，速度差80－50=30米，所以追擊時(shí)間是400÷30=40/3分鐘。這是錯(cuò)誤的做法。經(jīng)過(guò)40/3分鐘，甲行駛的距離：80×40/3=3200/3＞400所以甲乙兩人相遇不在A點(diǎn)，題目要求多少時(shí)間后甲乙兩人第一次在A點(diǎn)相遇，不但要相遇，還要在A點(diǎn)。這道題其實(shí)是數(shù)論的問(wèn)題。解：400÷80=5，甲每5分鐘回到A點(diǎn)，甲到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間是5的倍數(shù)。400÷50=8，乙每8分鐘回到A點(diǎn)，乙到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間是8的倍。甲乙兩個(gè)人同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間是5和8的公倍數(shù)。5和8的最小公倍數(shù)是40。所以40分鐘后甲乙兩人第一次在A點(diǎn)相遇。學(xué)習(xí)行程一定要循序漸進(jìn)，大家從四年級(jí)開(kāi)始就學(xué)習(xí)行程問(wèn)題，每年學(xué)得都不一樣，現(xiàn)在到了六年級(jí)，是時(shí)候回過(guò)頭來(lái)總結(jié)一下了，從最根本的開(kāi)始，系統(tǒng)學(xué)習(xí)，確保把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)透。相信每一個(gè)同學(xué)都能把行程問(wèn)題學(xué)好。Nopainsnogains，Anythingispossible.小升初奧數(shù)之根本行程問(wèn)題來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1714:44:51[標(biāo)簽：行程問(wèn)題小升初]我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問(wèn)題，總稱為行程問(wèn)題.在三年級(jí)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些簡(jiǎn)單的行程應(yīng)用題，行程問(wèn)題主要涉及時(shí)間〔t〕、速度〔v〕和路程〔s〕這三個(gè)根本量，它們之間的關(guān)系如下：〔1〕速度×?xí)r間=路程可簡(jiǎn)記為：s=vt〔2〕路程÷速度=時(shí)間可簡(jiǎn)記為：t=s÷v〔3〕路程÷時(shí)間=速度可簡(jiǎn)記為：v=s÷t顯然，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.關(guān)于平均速度的計(jì)算，需要知道整個(gè)過(guò)程的總路程與總時(shí)間，平均速度=總路程÷總時(shí)間〔一〕直接利用行程問(wèn)題根本關(guān)系解決的行程問(wèn)題：【例1】龜、兔進(jìn)行1000米的賽跑.小兔斜眼瞅瞅?yàn)觚?，心想：“我小兔每分鐘能?00米，而你烏龜每分鐘只能跑10米，哪是我的對(duì)手.〞比賽開(kāi)始后，當(dāng)小兔跑到全程的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)把烏龜甩得老遠(yuǎn)，便毫不介意地躺在旁邊睡著了.當(dāng)烏龜跑到距終點(diǎn)還有40米時(shí)，小兔醒了，拔腿就跑.請(qǐng)同學(xué)們解答兩個(gè)問(wèn)題：〔1〕它們誰(shuí)勝利了？為什么？〔2〕勝者到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)距終點(diǎn)還有幾米？分析：〔1〕烏龜勝利了．因?yàn)橥米有褋?lái)時(shí)，烏龜離終點(diǎn)只有40米，烏龜需要40÷10=4〔分鐘〕就能到達(dá)終點(diǎn)，而兔子離終點(diǎn)還有500米，需要500÷100=5〔分鐘〕才能到達(dá)，所以烏龜勝利了.〔2〕烏龜跑到終點(diǎn)還要〔40÷10〕=4〔分鐘〕，而小兔跑到終點(diǎn)還要1000÷2÷100=5〔分鐘〕，慢1分鐘．當(dāng)勝利者烏龜跑到終點(diǎn)時(shí)，小兔離終點(diǎn)還有：100×1=100〔米〕．【例2】解放軍某部開(kāi)往邊境，原方案需要行軍18天，實(shí)際平均每天比原方案多行12千米，結(jié)果提前3天到達(dá)，這次共行軍多少千米？分析：“提前3天到達(dá)〞可知實(shí)際需要18-3=15天的時(shí)間，而“實(shí)際平均每天比原方案多行12千米〞，那么15天內(nèi)總共比原來(lái)15天多行的路程為：12×15=180千米，這180千米正好填補(bǔ)了原來(lái)3天的行程，因此原來(lái)每天行程為180÷3=60千米，問(wèn)題就能很容易求解.原來(lái)的速度為：〔18-3〕×12÷3=60〔千米/天〕，因此總行程為：60×18=1080〔千米〕〔二〕平均速度【例3】摩托車駕駛員以每小時(shí)30千米的速度行駛了90千米到達(dá)某地，返回時(shí)每小時(shí)行駛45千米，求摩托車駕駛員往返全程的平均速度.分析：要求往返全程的平均速度是多少，必須知道摩托車“往〞與“返〞的總路程和“往〞與“返〞的總時(shí)間.摩托車“往〞行了90千米，“返〞也行了90千米，所以摩托車的總路程是：90×2=180〔千米〕，摩托車“往〞的速度是每小時(shí)30千米，所用時(shí)間是：90÷30=3〔小時(shí)〕，摩托車“返〞的速度是每小時(shí)45千米，所用時(shí)間是：90÷45=2〔小時(shí)〕，往返共用時(shí)間是：3+2=5〔小時(shí)〕，由此可求出往返的平均速度，列式為：90×2÷〔90÷30+90÷45〕=180÷5=36〔千米/小時(shí)〕【例4】胡老師騎自行車過(guò)一座橋，上橋速度為每小時(shí)12千米，下橋速度為每小時(shí)24千米，而且上橋與下橋所經(jīng)過(guò)的路程相等，中間也沒(méi)有停頓，問(wèn)這個(gè)人騎車過(guò)這座橋的平均速度是多少？分析：題目中沒(méi)有告訴我們總的路程，給計(jì)算帶來(lái)不便，仔細(xì)想一想，只要上下橋路程相等，總路程是不影響平均速度的，我們自己設(shè)一個(gè)路程好了，不妨設(shè)為48千米，來(lái)回兩段路，所以每段路程為：48÷2=24〔千米〕，總時(shí)間是：24÷12+24÷24=3〔小時(shí)〕，所以平均速度是：48÷3=16〔千米/小時(shí)〕【例5】甲、乙兩地相距6720米，某人從甲地步行去乙地，前一半時(shí)間平均每分鐘行80米，后一半時(shí)間平均每分鐘行60米.問(wèn)他走后一半路程用了多少分鐘？[!--empirenews.]分析：〔方法1〕由于前一半時(shí)間與后一半時(shí)間的平均速度是的，因此可以計(jì)算出這人步行的時(shí)間．而如果了解清楚各段的路程、時(shí)間與速度，題目結(jié)果也就自然地被計(jì)算出來(lái)了．應(yīng)指出，如果前一半時(shí)間平均速度為每分鐘80米，后一半時(shí)間平均速度為每分鐘60米，那么這個(gè)人從甲走到乙的平均速度就為每分鐘走(80+60)÷2=70米．這是因?yàn)橐环昼?0米，一分鐘60米，兩分鐘一共140米，平均每分鐘70米．而每分鐘走80米的時(shí)間與每分鐘走60米的時(shí)間相同，所以平均速度始終是每分鐘70米．這樣，就可以計(jì)算出這個(gè)人走完全程所需要的時(shí)間是6720÷70=96分鐘．由于前一半時(shí)間的速度大于后一半時(shí)間的速度，所以前一半的時(shí)間所走路程大于6720÷2=3360米．那么前一個(gè)3360米用了3360÷80=42分鐘；后一半路程所需時(shí)間為96-42=54分鐘．〔方法2〕設(shè)走一半路程時(shí)間是x分鐘，那么80x+60x=6720，解方程得：x=48分鐘，因?yàn)?0×48=3840〔米〕，大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，時(shí)間是3360÷80=42〔分鐘〕，后一半路程時(shí)間是48+〔48-42〕=54〔分鐘〕.【例6】有一座橋，過(guò)橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎電動(dòng)車過(guò)橋時(shí)，上坡、走平路和下坡的速度分別為11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他過(guò)橋的平均速度.分析：假設(shè)上坡、平路及下坡的路程均為66米，〔引導(dǎo)學(xué)生思考設(shè)為66的原因〕，那么總時(shí)間=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11〔秒〕，過(guò)橋的平均速度=66×3÷11=18〔米/秒〕.行程問(wèn)題典型試題〔一〕來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1715:07:07[標(biāo)簽：行程問(wèn)題試題試卷]

1.自行車隊(duì)出發(fā)12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)地點(diǎn)9千米處追上了自行車隊(duì)，然后通訊員立即返回出發(fā)點(diǎn)，到后又返回去追上了自行車隊(duì)，再追上時(shí)，恰好離出發(fā)點(diǎn)18千米，求自行車隊(duì)和摩托車的速度？

分析：比擬復(fù)雜的行程問(wèn)題，關(guān)鍵在于找到新的突破口，此題中給出了兩次追擊的路程，這就是突破口。

解答：從第一次追上到第二次追上的過(guò)程中，自行車隊(duì)進(jìn)了18－9=9〔千米〕，而摩托車行進(jìn)了：18+9=27〔千米〕，由此可知摩托車速度是自行車隊(duì)的3倍，那么第一次追及開(kāi)始時(shí)，自行車領(lǐng)先距離為：6÷12=0.5(千米/分)，摩托車速度為：0.5×3=1.5(千米/分)。

評(píng)注：在行程問(wèn)題中，條件與條件之間有密切關(guān)系，充分利用所有條件及由這些條件推導(dǎo)出的條件非常重要，而要掌握所有條件首先就需要把整個(gè)行程的過(guò)程弄清楚。

2.圖39是一個(gè)邊長(zhǎng)100米的正方形，甲從A點(diǎn)出發(fā)，每分鐘走70米，乙同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，每分鐘走85米，兩人都按逆時(shí)針?lè)较蜓刂叫芜呅羞M(jìn)，問(wèn)：乙在何處首次追上甲？乙第二次追上甲時(shí)，距B點(diǎn)多遠(yuǎn)。

分析與解答：乙比甲快，第一次追及距離為300米，所用時(shí)間為：300÷〔85－70〕=20〔分鐘〕，此時(shí)甲走了70×20=1400〔米〕，因此首次追上時(shí)，甲、乙在C點(diǎn)。第二次追距離從C點(diǎn)開(kāi)始算是一圈400米，用時(shí)為：400÷〔85－70〕=26又2/3〔分鐘〕，乙走的距離為：26又2/3×85=2266又2/3〔米〕，因此乙第二次追上甲時(shí)在A、B之間距B33又1/3米處。

評(píng)注：在有圖的題目中認(rèn)真識(shí)圖，注意行進(jìn)方向、追及距離等問(wèn)題。

3.圖40是一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的正三角形，甲自A點(diǎn)，乙自B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较蜓厝切蔚倪呅羞M(jìn)，甲每分鐘走90米，乙每分鐘走150米，但過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，因轉(zhuǎn)彎都要耽誤10秒鐘，問(wèn)：乙在出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間，在何處追上甲？

分析與解答：甲速度合1.5米/秒，每邊走66又2/3秒，停留10秒，乙速度合2.5米/秒，每邊走40秒，停留10秒，列表如下：

乙可能在頂點(diǎn)追上甲，也可能在邊上追上甲，從表中看，在C點(diǎn)時(shí)乙沒(méi)有追上甲，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，乙已經(jīng)超過(guò)甲，那么乙在B、C之間追上了甲，甲在76又2/3秒從C出發(fā)，乙在100秒從C出發(fā)，乙出發(fā)時(shí)甲走了了：〔100－76又2/3〕×1.5=35〔米〕，乙追上甲用時(shí)為：35÷〔2.5－1.5〕=35(秒)，這時(shí)乙走了35×2.5=87.5(米)，因此乙在出發(fā)135秒，即2分15秒后在B、C間距C87.5米處追上甲。

評(píng)注：追及過(guò)程中有停留的問(wèn)題使行進(jìn)快的人在追及后可能被超越，因此這類問(wèn)題中不但要求追及的情況，還要確認(rèn)是第一次追及才可以。

4.圖41是一個(gè)跑道的示意圖，沿ACBEA走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A到B的直線距離是75米，甲、乙二人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)練習(xí)長(zhǎng)跑，甲沿ACBDA的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA的大圈跑每100米用21秒，問(wèn)：1〕乙跑第幾圈時(shí)第一次與甲相遇？2〕出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙再次在A點(diǎn)相遇？

分析：因?yàn)榧?、乙沿不同的路線，所以并不誰(shuí)多跑了一圈就一定有一次超過(guò)，超過(guò)只可能發(fā)生在他們共同經(jīng)過(guò)的路線上。

解答：1〕甲跑半圈ACB用時(shí)48秒，乙跑半圈ACB用時(shí)42秒，也就是如果某次乙經(jīng)過(guò)4點(diǎn)的時(shí)間比甲晚不超過(guò)6秒，他就能在這一圈追上甲，下面看甲乙經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的時(shí)間序列表〔單位：秒〕

行程問(wèn)題典型試題〔二〕來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1715:12:34[標(biāo)簽：行程問(wèn)題試題試卷]5.甲、乙、丙三輛車先后從A地開(kāi)往B地，乙比丙晚出發(fā)5分鐘，出發(fā)后45分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā)15分鐘，出發(fā)后1小時(shí)追上丙，那么，甲出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間追上乙？

分析：題目中只有時(shí)間條件，這就說(shuō)明用三人速度的比例關(guān)系即可解題。

解答：設(shè)丙速度為U米/分鐘，同乙出發(fā)時(shí)丙走了5U米，乙用了45分鐘追上丙，乙速度比丙速快5U/45=1/9U米/秒，即乙的速度為10/9U米/秒，同樣甲比丙晚出發(fā)20分鐘，用了1小時(shí)追上丙，那么甲比丙速度快：20U/6=1/3U米/秒，甲速度為4/3U米/秒，甲追乙需用時(shí)間為：〔10/9U×15〕÷〔4/3U－10/9U〕=75〔分鐘〕。

評(píng)注：解題中設(shè)的丙速度只是為了表示方便，實(shí)質(zhì)上解題過(guò)程中只用到了三人速度之比，在只有時(shí)間條件的題目中是不可能求出路程或速度的，用比例解題是必然的方法。6.甲、乙、丙三個(gè)車站在同一公路上，乙站距甲、丙兩站距離相等，小明和小強(qiáng)分別從甲、丙兩站相向而行，小明過(guò)乙站150米后與小強(qiáng)相遇，然后兩人繼續(xù)前進(jìn)，小明走到丙站后立即返回，經(jīng)過(guò)乙站后450米又追上小強(qiáng)，問(wèn)：甲、丙兩站距離多遠(yuǎn)？

分析：仔細(xì)分析兩人兩次相遇的行程，可以發(fā)現(xiàn)小明第一次相遇走了一倍甲、乙兩站間的的距離又多150米，第二次相遇走了三倍甲、乙兩站間的距離又450米，第二次路程是第一次的3倍，這就是突破口。

解答：兩次相遇小明走的總路程比為1：3，小強(qiáng)也一定相同，注意到從第一次相遇到第二次相遇小強(qiáng)走了600米，由此可知小強(qiáng)在第一次相遇時(shí)走了：600÷〔3－1〕=300〔米〕，甲、丙兩站之間距離為：〔300＋150〕×2=900〔米〕，即甲、丙兩站距離900米。

評(píng)注：觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，在條件比擬少的題目中，這有時(shí)候也會(huì)有重要作用。7.甲、乙、丙三人到學(xué)校到體育場(chǎng)的路上練習(xí)競(jìng)賽走，甲每分鐘比乙多走10米，比丙多走31米，上午9點(diǎn)三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，上午10點(diǎn)甲到達(dá)體育場(chǎng)后立即返回學(xué)校，在距體育場(chǎng)310米處遇到乙，問(wèn)：1〕從學(xué)校到體育場(chǎng)的距離是多少？2〕乙的速度是多少？3〕甲與丙何時(shí)相遇？

分析：題目中距離的條件只有一個(gè)，因此以這個(gè)條件為中心分析，求學(xué)校到體育場(chǎng)距離比擬有效。

解答：甲與乙相遇時(shí)走了的時(shí)間為：310×2÷10=62〔分鐘〕，甲走到體育場(chǎng)用了1小時(shí)，因此2分鐘走了310米，甲速度為：310÷2=155〔米/分〕，乙速度為：155－10=145〔米/分〕，體育場(chǎng)到學(xué)校距離為：〔155＋145〕×62÷1=9300〔米〕合9.3千米，甲、乙相遇用時(shí)為：2×9300÷〔155＋124〕=66又2/3〔分鐘〕，即學(xué)校到體育場(chǎng)9.3千米，乙速度145米/分，甲、丙相遇在10時(shí)6分40秒。

評(píng)注：有時(shí)候，根據(jù)條件的類型和結(jié)論所求也可以推測(cè)出大概方法，例如此題，求距離，而題目中只有一個(gè)關(guān)于距離的條件，這個(gè)條件就很重要，這樣的分析有助于提高效率。8.甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開(kāi)始游，直到一方追上一方為止，追上者為勝，：甲、乙的速度分別為每秒1.0米和0.8米，問(wèn)：1〕比賽開(kāi)始后多長(zhǎng)時(shí)間甲追上乙？2〕甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？3〕比賽過(guò)程中，兩人同方向游了多長(zhǎng)時(shí)間？

分析與解答：1〕甲追上乙用時(shí)為：50÷〔1－0.8〕=250(秒)；2〕第一次迎面相遇甲、乙共游了50米，之后每100米相遇一次，甲、乙共游了250×〔1＋0.8〕=450(米)，最后一次甲追上乙不算，甲、乙迎面相遇了4次；3〕甲游50米用50秒，乙游50米用62.5秒，甲第一次轉(zhuǎn)身后與乙同向游了12.5秒第二次轉(zhuǎn)身后與乙同游了25秒，依次類推，甲、乙同向游了125秒。

評(píng)注：注意迎面相遇與追上相遇的區(qū)別。行程問(wèn)題典型試題〔三〕來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1715:20:37[標(biāo)簽：行程問(wèn)題試題試卷]9.甲、乙二人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)沿同一方向行走，甲每小時(shí)行5千米，而乙第一小時(shí)行1千米，第二小時(shí)行2千米，以后每行1小時(shí)都比前1小時(shí)多行1千米，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間乙追上甲？

分析與解答：乙追上甲時(shí)，兩人走了相同的時(shí)間和路程，因此平均速度也相等，也就說(shuō)乙追上甲時(shí)，平均速度5千米每小時(shí)，由于乙每小時(shí)速度是一個(gè)等差數(shù)列，因此平均速度為5千米/時(shí)，說(shuō)明乙最后一小時(shí)速度為9千米/時(shí)，也就是說(shuō)9小時(shí)后乙追上甲。

評(píng)注：非勻速運(yùn)動(dòng)中，利用速度的變化規(guī)律解題比擬有效。

10.甲、乙兩人賽車，第一分鐘甲的速度為每秒6.6米，乙速度為每秒2.9米，以后，甲每分鐘速度是自己前一分鐘的2倍，乙每分鐘速度是自己前一分鐘的3倍，問(wèn)：出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間乙追上甲？

分析：每分鐘甲、乙速度都在變，但一分鐘內(nèi)，甲、乙速度是不變的，因此，先確定在哪一分鐘追上甲，再求具體時(shí)間。

解答：列表比擬甲、乙走的路程：11.某解放軍隊(duì)伍長(zhǎng)450米，以每秒1.5米的速度前進(jìn)，一戰(zhàn)士以每秒3米的速度從排尾到排頭并立即返回排尾，那么這需要多少時(shí)間？

分析：此題是與排頭的追及問(wèn)題和與排尾的相遇問(wèn)題的結(jié)合。

解答：追排頭用時(shí)為：450÷〔3－1.5〕=300(秒)，回排尾用時(shí)為：450÷〔3＋1.5〕=100(秒)，其用時(shí)400秒。

評(píng)注：隊(duì)伍行進(jìn)問(wèn)題一般都可以歸為追及或相遇問(wèn)題。

12.某邊防站甲、乙兩哨所相距15千米，一天，兩個(gè)哨所的巡邏隊(duì)同時(shí)從各自哨所出發(fā)相向而行，他們的速度分別為每小時(shí)4.5千米和5.5千米，乙隊(duì)出發(fā)時(shí)，他們帶的一只軍犬同時(shí)向哨所方向跑去，遇到甲隊(duì)時(shí)立即轉(zhuǎn)身往回跑，遇到乙隊(duì)又立即轉(zhuǎn)身向甲哨所方向跑去……，這只軍犬就這樣不停地以每小時(shí)20千米的速度在甲、乙兩隊(duì)之間奔跑，直到兩隊(duì)會(huì)合為止，問(wèn)：這只軍犬來(lái)回跑了多少路？

分析：如果計(jì)算軍犬每次向一個(gè)方向跑的距離再求和是不可行的。注意到軍犬一直在跑且速度始終為20千米/時(shí)不變，所以只要求得它跑的總時(shí)間即可。

解答：甲、乙兩隊(duì)從出發(fā)到相遇用時(shí)為：15÷〔4.5＋5.5〕=1.5(小時(shí))，這也是軍犬不斷奔跑的時(shí)間，因此軍犬總共跑的距離為：20×1.5=30(千米)。

評(píng)注：以相同速度行進(jìn)的路程可以合起來(lái)計(jì)算，不要拘泥于問(wèn)題的細(xì)節(jié)，要從全局觀察一下問(wèn)題。行程問(wèn)題典型試題〔四〕來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1715:25:34[標(biāo)簽：行程問(wèn)題試題試卷]

13.甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘追上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。

分析：相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題分別與速度和及速度差有關(guān)，通過(guò)和差也能求得速度關(guān)系。

解答：甲、乙兩個(gè)人速度之和為每分鐘行全程的1/6，甲比乙快他們速度之差為每分鐘差全程的1/26，通過(guò)和差公式，因此甲每分鐘走全程的1/2×〔1/6＋1/26〕=4/39，乙走完全程的1/2×〔1/6－1/26〕=5/78，由此可求A到B全和為：50÷5/78=780〔米〕，即A、B相距780米。

14.某人沿著電車道旁的便道以每小時(shí)4.5千米的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開(kāi)過(guò)，每12分鐘有一輛電車從后面追過(guò)，如果電車按相等的時(shí)間間隔以同一速度不停地往返運(yùn)行，問(wèn)：電車速度是多少？電車之間的時(shí)間間隔是多少？

分析：不變的時(shí)間間隔，相同的速度，不變的距離間隔就是此題關(guān)鍵。

解答：設(shè)兩車間隔S米，那么對(duì)迎面開(kāi)來(lái)的車馬行人，S是相遇距離和，對(duì)從后追上的電車和行人，S是追及問(wèn)題的距離差S/7.2=5/36S是行人與車速度和，S/12是行人與車速度之差，由此可求得行人與車速度和與差的比為5：3，因此車與行人速度比為4：1，車的速度為4.5×4=18(千米/時(shí))行人為速度合75米/分，汽車合300米/分，電車間隔時(shí)間為〔75+300〕×7.2÷300=9(分鐘)，即電車速度18千米/時(shí)，電車間隔時(shí)間為9分鐘。

評(píng)注：在有一定時(shí)間間隔的班車問(wèn)題中，不變的間隔時(shí)間、距離是解題關(guān)鍵。

從表中可知在3分鐘與4分鐘之間乙超過(guò)甲，3分鐘時(shí)甲乙差510米，第四分鐘甲速度為52.8米/秒，乙速度為78.3米/秒，乙追上甲用時(shí)為：510÷〔78.3－52.8〕=20(秒)，因此乙追上甲總共用了3分20秒。

評(píng)注：把不勻速問(wèn)題分段，使每段成為我們熟悉的勻速問(wèn)題，這種思想在各類題目中都非常有用。

路程〔米〕1分鐘2分鐘3分鐘4分鐘甲396118827725940乙174

6962262696015.學(xué)校組織春游，同學(xué)們下午一點(diǎn)出發(fā)，走了一段平路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七點(diǎn)回到學(xué)校，他們步行速度，平路為4千米/小時(shí)，上山為3千米/小時(shí)，下山為6千米/小時(shí)，問(wèn)他們一共走了多少路？

分析：往返路程可以分為四段，兩段平路，一段上山，一段下山，求路程，我們就需要各段的行進(jìn)時(shí)間。解答：設(shè)同學(xué)們下山用時(shí)為t，由于上、下山路程相等，下山速度是上山的2倍，因此上山時(shí)間為2t，兩段平路一共用時(shí)〔6－3t〕小時(shí)，總路程為：t×6＋2t×3＋(6－3t)×4=24(千米)，即他們一共走了24千米。

評(píng)注：此題從條件的數(shù)量上并缺乏夠確定平路及山路的長(zhǎng)度，因?yàn)樯?、下山平均速度與平路速度相同，因此才能求得總路程。16.甲、乙兩人以同樣的速度沿鐵路相向而行，恰好一列火車開(kāi)來(lái)，整個(gè)火車經(jīng)過(guò)甲身邊用了18秒，2分鐘后又用15秒從乙身邊經(jīng)過(guò)，問(wèn)：1〕火車速度是甲速度的幾倍？2〕火車經(jīng)過(guò)乙身邊后，甲、乙還需多少時(shí)間才能相遇？3〕甲步行該火車長(zhǎng)度需多長(zhǎng)時(shí)間？分析：題目中只有時(shí)間條件，因此不能求出具體路程或速度，這樣的題目總是用比例求解的。

解答：設(shè)火車長(zhǎng)為L(zhǎng)米，甲、乙步行速度U米/秒，火車速度V米/秒，那么由火車經(jīng)過(guò)甲、乙身邊的情況，知：〔U＋V〕×15=L=〔V－U〕×18，U+V=L/15，V－U=L/18，V=〔L/15+L/18〕÷2=11/180L，U=〔L/15－L/18〕÷2=1/180L，L=180U，V：U=11：1，因此火車速度是甲速度的11倍，火車經(jīng)過(guò)甲身邊時(shí)，甲、乙相距為：L+〔U+V〕×120=1620U，到甲、乙相遇用時(shí)為：1620U÷〔U+U〕=810〔秒〕，因此火車經(jīng)過(guò)乙后到甲、乙相遇還要：810－120－15=675〔秒〕，甲走火車長(zhǎng)度的距離用時(shí)為：L÷U=L÷1/180L=180〔秒〕，即火車速度是甲的11倍，火車經(jīng)過(guò)乙后675秒甲、乙相遇，甲步行火車全長(zhǎng)用180秒。

評(píng)注：解答中設(shè)的長(zhǎng)度與速度只是參數(shù)而不是未知數(shù)，也就是設(shè)這些變量并不是要求它們的值，而是為了便于表示，求它們之間的關(guān)系，在求比擬復(fù)雜的比例關(guān)系時(shí)，設(shè)一些參數(shù)便于表示和運(yùn)算。.行程問(wèn)題典型試題〔五〕來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1715:31:57[標(biāo)簽：行程問(wèn)題試題試卷]

17.某人沿公路前進(jìn)，迎面來(lái)了一輛汽車，他問(wèn)司機(jī)："后面有騎自行車的人嗎？"司機(jī)答復(fù)："十分鐘前我超過(guò)了一個(gè)騎自行車的人，"這人繼續(xù)走了十分鐘，遇到了這個(gè)騎自行車的人，如果自行車的速度是人步行的三倍，問(wèn)汽車速度是人步行速度的多少倍？

分析：題目中只有時(shí)間條件，顯然要用比例解題。

解答：注意汽車超過(guò)自行車到遇到行人這10分鐘的路程，自行車走了20分鐘加上行人走了10分鐘才走完，因?yàn)樽孕熊囁俣扔质切腥说?倍，所以自行車走20分鐘的路行人要走60分鐘，也就是說(shuō)汽車走10分鐘的路行人要走70分鐘，因此汽車速度是行人的7倍。

評(píng)注：適當(dāng)?shù)倪x取一段路程或時(shí)間對(duì)解題有很大幫助。18.一輛車從甲地開(kāi)往乙地，如果把車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛100千米后再將車速提高30%，也比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)，求甲、乙兩地距離。

分析：由于求距離，要特別注意100千米這個(gè)條件，尋找與之對(duì)應(yīng)的條件。

解答：提高車速20%，前后兩次速度比為5：6，時(shí)間比應(yīng)該為6：5，提前1小時(shí)說(shuō)明原方案用6小時(shí)，實(shí)際用5小時(shí)，同理，在提高車速30%這段距離內(nèi)，車速比10：13，時(shí)間比為13：10，提前1小時(shí)說(shuō)明原方案這段距離用時(shí)為：1÷〔13－10〕×13=13/3〔小時(shí)〕合4又1/3小時(shí)，也就是說(shuō)100千米行駛了6－13/3=5/3〔小時(shí)〕，汽車速度為：100÷5/3=60〔千米/小時(shí)〕，甲、乙兩地距離為：60×6=360〔千米〕。評(píng)注：此題中比例的運(yùn)用重要且有效，認(rèn)真思考可以從中學(xué)到很多技巧。

19.甲、乙兩班學(xué)生到少年宮參加活動(dòng)，但只有一輛車接送甲班學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，乙班學(xué)生開(kāi)始步行，車到途中某處讓甲班學(xué)生下車步行，車立即返回接乙班上車，并直接開(kāi)到少年宮，學(xué)生步行速度為每小時(shí)4千米，汽車載學(xué)生速度為每小時(shí)40千米，空車速度為每小時(shí)50千米，要使兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)少年宮，甲班學(xué)生應(yīng)步行全程的幾分之幾？

分析：假設(shè)要甲、乙兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)，那么他們步行的時(shí)間和路程一定相等，他們與汽車行進(jìn)路程如下圖：

解答：設(shè)全程為S千米，甲、乙兩班各步行了a千米，那么由出發(fā)到汽車遇到乙班這段時(shí)間有：

計(jì)算可得s=7a,a=1/7S，因此甲班步子行了全程的1/7。

評(píng)注：確定甲、乙兩班步行距離相等是此題關(guān)鍵。20.一艘輪船順流航行120千米，逆流航行80千米共用16小時(shí)；順流航行60千米，逆流航行120千米也用16小時(shí)，求水流速度。

分析：求水流速度就必須求出順流逆流速度，條件中兩種航行方法用時(shí)相同，這就是關(guān)鍵。

解答：由兩種航行方法用時(shí)相同，第一種比第二種順?biāo)嘈?0千米，逆水少行40千米，可知順?biāo)?0千米與逆水40千米航行時(shí)間相等，因此順?biāo)c逆水航行速度之比為3：2，因此可推得16小時(shí)順?biāo)勺?20+80×3/2=240〔千米〕，逆水可走120×3/2＋80=160〔千米〕，船順?biāo)俣葹椋?40÷16=15〔千米/時(shí)〕，逆水速度為：160÷16=10〔千米/時(shí)〕，水流速度為：〔15－10〕÷2=2.5(千米/時(shí))。

評(píng)注：比擬同時(shí)間所走路程或相同路程所用時(shí)間都是利用比例關(guān)系解題的常用方法。行程問(wèn)題典型試題〔六〕來(lái)源：學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)(原創(chuàng))文章.2023-09-1715:38:47[標(biāo)簽：行程問(wèn)題試題試卷]

21.甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，6小時(shí)后相遇在C點(diǎn)，如果甲車速不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，那么相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還是從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，那么相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米，甲車原來(lái)每小時(shí)行多少千米？