2023年初中數(shù)學(xué)8年級上冊同步壓軸題 專題01 三角形邊或角關(guān)系的三種模型（教師版含解析）

專題01三角形邊或角關(guān)系的三種模型幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明角的數(shù)量關(guān)系，或者三角形的三邊和差關(guān)系等，接來下我們針對這兩個版塊做出詳細(xì)分析與梳理。類型一、燕尾角模型例1．在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是(

)．A． B． C． D．【答案】A【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：A．【變式訓(xùn)練1】如圖，若，則____________．【答案】230°【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【變式訓(xùn)練2】如右圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．【答案】360°【詳解】解：由圖形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．故答案為：360°．【變式訓(xùn)練3】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝(6－2)×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－(∠1＋∠2)，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋(∠1＋∠2)＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋(∠3＋∠4)＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F(∠3＋∠4)＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【變式訓(xùn)練4】模型規(guī)律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用(1)直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；(2)拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線(即角平分線)、交于點，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】(1)①110；②260；(2)①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【詳解】解：(1)①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；(2)①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-(∠ABO+∠ACO)=∠BOC-(∠BOC-∠A)=∠BOC-(120°-50°)=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-(∠BOC-∠A)=120°-(120°-50°)=120°-10°=110°；③∠ADB=180°-(∠ABD+∠BAD)=180°-(∠BOC-∠C)=180°-(120°-44°)=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．類型二、折疊模型例1.如圖，在中，，將沿直線折疊，點C落在點D的位置，則的度數(shù)是(

)．A． B． C． D．無法確定【答案】B【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，根據(jù)外角性質(zhì)得：，，則，則．故選：B．【變式訓(xùn)練1】如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為()A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【變式訓(xùn)練2】如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為(

)．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【變式訓(xùn)練3】如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為(

)A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∵∴∴故選C【變式訓(xùn)練4】如圖，將矩形紙片沿折疊，點落在邊上的點處，點落在點處，若，則的度數(shù)為(

)．A．42° B．69° C．44° D．32°【答案】A【詳解】由圖形翻折的性質(zhì)可知，，，，，利用“8”字模型，，故選：A．類型三、“8”字模型例1.如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【詳解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=，∵，∴，∴；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=(38°+42°)=40°．【變式訓(xùn)練1】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝(5－2)×180°＝3×180°＝540°．【變式訓(xùn)練2】(1)已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說明：．(2)如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．(3)如圖(3)，直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是__；(4)如圖(4)，直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．【答案】(1)見解析；(2)26°；(3)；(4)【詳解】解：(1)180°，180°，．，；(2)，分別平分，，設(shè)，，則有，，(36°+16