河北省石家莊師大附中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

河北師大附中2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列各式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式即可得出答案.【詳解】，A正確，C錯誤；，B、D錯誤.故選：A.2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，再根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，依題意，解得，所以.故選：B3.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A.20 B.24 C.25 D.26【答案】D【解析】【分析】利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.4.已知導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，那么的圖象最有可能是圖中的（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意，可得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只有選項(xiàng)A符合，故選：A.5.將5種不同花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是（）．A.420 B.180 C.64 D.25【答案】B【解析】【分析】由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，討論A，D同色和異色，根據(jù)乘法原理可得結(jié)論．【詳解】由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行區(qū)域有5種涂法，有4種涂法，，不同色，有3種，有2種涂法，有種，，同色，有1種涂法，有3種涂法，有種，共有180種不同的涂色方案．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是分步和分類的方法選取，屬于中等題.6.展開式中的系數(shù)為（）A.11 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】為展開式中的項(xiàng)與“1”相乘和項(xiàng)與“”相乘得到，根據(jù)二項(xiàng)展開式定理求出的項(xiàng)，即可求解.【詳解】通項(xiàng)公式為，展開式中含項(xiàng)分別為，展開式中的系數(shù)為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足關(guān)系式則的值等于（）A.2 B.—2 C. D.【答案】D【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，再令即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，即，解得，故選：D8.車馬理論也稱霍姆斯馬車?yán)碚?，是指各種資源都得到最合理配置和使用充分均勻的一種理論．管理學(xué)家經(jīng)常將霍姆斯馬車?yán)碚撘隇椋阂粋€富有效率的團(tuán)隊(duì)，不需要每一個人都是最有能力的，而在于每個人的能力都能得到最合理的發(fā)揮．某班一小隊(duì)共10名同學(xué)，編號分別為1，2，…，9，10，要均分成兩個學(xué)習(xí)小組（學(xué)習(xí)小組沒有區(qū)別），其中1，2號同學(xué)必須組合在一起，3，4號同學(xué)也必須組合在一起，其余同學(xué)可以隨意搭配，就能達(dá)到最佳效果，那么不同的分組方式的種數(shù)為（）A.26 B.46 C.52 D.126【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分為兩類：（1）當(dāng)1，2號同學(xué)與3，4號同學(xué)在同一個小組，（2）當(dāng)1，2號同學(xué)與3，4號同學(xué)在不同的小組，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩類：（1）若1，2號與3，4號在同一個小組，那么該小組還差1人，有種分組方式；（2）若1，2號與3，4號在不同的小組，則這兩個小組均還差3人，有種分組方式，所以共有種分組方式．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，其前項(xiàng)和為，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，的值，可以算出公比，從而得到，即可判斷ABC；根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)公比為，，，，A正確；所以，故B正確；則，故C錯誤；所以，故D正確故選：ABD10.下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用排列數(shù)，組合數(shù)公式及性質(zhì)逐個求解即可.【詳解】對于A，，正確；對于B，，，所以，正確；對于C，，正確；對于D，，錯誤．故選：ABC．11.在的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 B.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256C.常數(shù)項(xiàng)為84 D.有理項(xiàng)有2項(xiàng)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的特征，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】的展開式中共有10項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中的第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故A錯誤；由已知可得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，且展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；展開式的通項(xiàng)為，令，解得．故常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；有理項(xiàng)中x的指數(shù)為整數(shù)，故，2，4，6，8，故有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故D錯誤．故選：BC12.對于函數(shù)，下列正確的是（）A.是函數(shù)的一個極值點(diǎn)B.的單調(diào)增區(qū)間是，C.區(qū)間上單調(diào)遞減D.直線與函數(shù)的圖象有個交點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，進(jìn)而可判斷每個選項(xiàng)的對錯.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，得；，得或，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故A正確，B錯誤，C正確；又因?yàn)?，且，所以直線與函數(shù)函數(shù)的圖象有個交點(diǎn)，故D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，是中國農(nóng)歷中表示季節(jié)變遷的24個特定節(jié)令，二十四節(jié)氣又分為12個節(jié)氣和12個中氣，一一相間，二十四節(jié)氣與季節(jié)、月份的關(guān)系如下表：季節(jié)春Spring夏Summer秋Autumn冬Winter月份二月FEB三月MAR四月APR五月MAY六月JUN七月JUL八月AUG九月SEP十月OCT11月NOV12月DEC一月JAN節(jié)氣立春驚蟄清明立夏芒種小暑立秋白露寒露立冬大雪小寒中氣雨水春分谷雨小滿夏至大暑處暑秋分霜降小雪冬至大寒二十四節(jié)氣反映了太陽的周年視運(yùn)動，在公歷中它們的日期是相對固定的，現(xiàn)行的二十四節(jié)氣每一個分別相應(yīng)于太陽在黃道上每運(yùn)動15°所到達(dá)的一定位置.如春分太陽位于黃經(jīng)0度，清明太陽位于黃經(jīng)15度，谷雨太陽位于黃經(jīng)30度，則夏至太陽位于黃經(jīng)___________度.【答案】90【解析】【分析】根據(jù)題意，夏至是春分后的第六個節(jié)氣，故春分到夏至相應(yīng)于太陽在黃道上運(yùn)動了即可求解.【詳解】根據(jù)題意，夏至是春分后的第六個節(jié)氣，故春分到夏至相應(yīng)于太陽在黃道上運(yùn)動了所以夏至太陽位于黃經(jīng)90度.故答案為：90.14.六元一次方程的正整數(shù)解有________組．【答案】126【解析】【分析】利用隔板法可求正整數(shù)解的組數(shù).【詳解】的正整數(shù)解的組數(shù)為，故答案為：.15.由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).【答案】52【解析】【分析】由特殊位置法與特殊元素法分類討論，利用分類與分步計(jì)數(shù)原理即可解決.【詳解】根據(jù)題意，對該沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)進(jìn)行分類討論，第一類：0在個位數(shù)時，先填百位，有5種方法，再填十位，有4種方法，故能組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；第二類，0不在個位數(shù)時，先填個位，只有2、4兩種方法，再填百位，0不能在此位，故有4種方法，最后填十位，有4種方法，故能組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；綜上，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故答案為：52.16.已知是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對任意的，恒成立，且，則不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集.【詳解】設(shè)，則．因?yàn)?，，所以，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，由可得，等價于，解得，故不等式的解集是.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】由排列數(shù)和組合數(shù)公式求出的值，再通過賦值法，求和的值即可.【小問1詳解】∵，∴，∴，∴，∴，解得（舍）或，∴.【小問2詳解】由第（1）問，，∴①，令①式中，則，∴，令①式中，則，即，∴.【小問3詳解】令第（2）問①式中，則，∴②，由第（2）問，③，②，③兩式相加，得，∴.18.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)累加迭代即可求解通項(xiàng)；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，；【小問2詳解】，則，所以是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，.19.設(shè)是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，曲線在處的切線斜率為8.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在閉區(qū)間上的最大值為10，求的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）4【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)求出，再利用導(dǎo)數(shù)可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性求出最值，結(jié)合已知的最值列式可求出結(jié)果.【小問1詳解】，由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以的最大值為，解得.20.某班有6名同學(xué)報名參加校運(yùn)會的四個比賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法，（用數(shù)字回答）（1）每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；（2）每項(xiàng)限報一人，且每人至多參加一項(xiàng)；（3）每人限報一項(xiàng)，人人參加，且每個項(xiàng)目均有人參加.【答案】（1）4096種；（2）360種；（3）1560種.【解析】【分析】（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理直接計(jì)算可得，然后可得結(jié)果.（2）依據(jù)題意，計(jì)算，可得結(jié)果.（3）先分組，可得，后排列，可得，簡單計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）每人都可以從這四個項(xiàng)目中選報一項(xiàng)，各有4種不同的選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種．（2）每項(xiàng)限報一人，且每人至多報一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個項(xiàng)目有6種不同的選法，第二個項(xiàng)目有5種不同的選法，第三個項(xiàng)目有4種不同的選法，第四個項(xiàng)目有3種不同的選法，由分步計(jì)數(shù)原理得共有報名方法種．（3）每人限報一項(xiàng)，人人參加，且每個項(xiàng)目均有人參加，因此需將6人分成4組，有種．每組參加一個項(xiàng)目，由分步計(jì)數(shù)原理得共有種．【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的計(jì)算，分清楚哪個有剩余哪個不剩余以及常用先分組后排列方法，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.21.已知．（1）若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；（2）若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）當(dāng)時，最大的項(xiàng)的系數(shù)為；當(dāng)時，最大的項(xiàng)的系數(shù)為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，求出或，分別求解即可；（2）根據(jù)題意得，求解計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意得，所以．所以或，當(dāng)時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是和．所以的系數(shù)為，的系數(shù)為，當(dāng)時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是．所以的系數(shù)為．【小問2詳解】因?yàn)椋裕曰颍ㄉ崛ィO(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，因?yàn)?，所以．所以，又，所以．所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第11項(xiàng)，．22.2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會開幕式在北京國家體育場舉行，拉開了冬奧會的帷幕．冬奧會發(fā)布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的廣泛喜愛，達(dá)到一墩難求的地步．當(dāng)?shù)啬陈糜斡闷飞痰戢@批經(jīng)銷此次奧運(yùn)會紀(jì)念品，其中某個掛件紀(jì)念品每件的成本為5元，并且每件紀(jì)念品需向稅務(wù)部門上交a元的稅收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價定為x元時，一年的銷售量為萬件．（1）求該商店一年的利潤L（萬元