復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題(附有答案)

復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題一．填空題〔每題3分，共計(jì)15分〕1．的幅角是〔〕；2.的主值是〔〕；3.，〔0〕，4．是的〔一級〕極點(diǎn)；5．，〔-1〕；二．選擇題〔每題3分，共15分〕1．解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為〔〕；〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.2．C是正向圓周，如果函數(shù)〔〕，那么．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.3．如果級數(shù)在點(diǎn)收斂，那么級數(shù)在〔A〕點(diǎn)條件收斂；〔B〕點(diǎn)絕對收斂；〔C〕點(diǎn)絕對收斂；〔D〕點(diǎn)一定發(fā)散．４．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()〔A〕如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，那么在點(diǎn)一定解析；(B)如果在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，那么〔C〕如果，那么函數(shù)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；〔D〕函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔〕．(A)(B)(C)(D)三．按要求完成以下各題〔每題10分，共40分〕〔1〕．設(shè)是解析函數(shù)，求解：因?yàn)榻馕?，由C-R條件，給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分?！?〕．計(jì)算其中C是正向圓周：解：此題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過程因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點(diǎn)，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)無論采用那種方法給出公式至少給一半分，其他酌情給分?！?〕．解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：內(nèi)，由留數(shù)定理-----〔5分〕----〔8分〕--------〔10分〕〔4〕函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？，如果有極點(diǎn)，請指出它的級.解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕備注：給出全部奇點(diǎn)給5分，其他酌情給分。四、〔此題14分〕將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；〔1〕，〔2〕，〔3〕解：〔1〕當(dāng)而-------6分〔2〕當(dāng)=-------10分〔3〕當(dāng)------14分每步可以酌情給分。五．〔此題10分〕用Laplace變換求解常微分方程定解問題：解：對的Laplace變換記做，依據(jù)Laplace變換性質(zhì)有…〔5分〕整理得…〔7分〕…〔10分〕六、〔6分〕求的傅立葉變換，并由此證明：解：--------3分------4分--------5分，-------6分?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題簡答及評分標(biāo)準(zhǔn)〔B〕得分得分一．填空題〔每題3分，共計(jì)15分〕得分得分1．的幅角是〔〕；2.的主值是〔〕；3.，〔0〕；4．，〔0〕；5．，〔0〕；得分得分二．選擇題〔每題3分，共計(jì)15分〕1．解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為〔〕；〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.2．C是正向圓周，如果函數(shù)〔〕，那么．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.3．如果級數(shù)在點(diǎn)收斂，那么級數(shù)在〔A〕點(diǎn)條件收斂；〔B〕點(diǎn)絕對收斂；〔C〕點(diǎn)絕對收斂；〔D〕點(diǎn)一定發(fā)散．４．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()〔A〕如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，那么在點(diǎn)一定解析；(B)如果,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線,那么在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；〔C〕函數(shù)在點(diǎn)解析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)一定可以展開成為的冪級數(shù)，而且展開式是唯一的；〔D〕函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔〕．〔A〕、是復(fù)平面上的多值函數(shù)；是無界函數(shù)；是復(fù)平面上的有界函數(shù)；〔D〕、是周期函數(shù)．得分三．按要求完成以下各題〔每題10分，共計(jì)40分〕得分〔1〕求使是解析函數(shù)，解：因?yàn)榻馕?，由C-R條件，給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分?！?〕．．其中C是正向圓周；解：此題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過程因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點(diǎn)，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)〔3〕．計(jì)算，其中C是正向圓周；解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：內(nèi)，由留數(shù)定理-----〔5分〕〔4〕函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？，如果有極點(diǎn)，請指出它的級.給出全部奇點(diǎn)給5分。其他酌情給分。得分得分四、〔此題14分〕將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；〔1〕，〔2〕，〔3〕〔1〕，〔2〕，〔3〕解：〔1〕當(dāng)而--------6分〔2〕當(dāng)=-----10分〔3〕當(dāng)--------14分得分五．〔此題10分〕用Laplace變換求解常微分方程定解問題得分解：對的Laplace變換記做，依據(jù)Laplace變換性質(zhì)有…〔5分〕整理得…〔7分〕…〔10分〕得