2022年貴州省貴陽市高考理科數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷及答案解析

2022年貴州省貴陽市高考理科數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.（5分）若全集。和集合4,8的關(guān)系如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.API（CuB）B.Cu（AUB）C.Cu（AA3）D.（CuA）CB

2.（5分）己知復(fù)數(shù)z滿足z?2—2z+2i=0,則z=（）

A.\+iB.1-zC.-1+zD.-1-/

%2y2

3.（5分）若雙曲線=一*=1（a>0,b>0）的一條漸近線為》=岳，則雙曲線的離心

a2b2

率為（）

A.V3B.2C.V5D.V6

4.（5分）如圖是某幾何體的三視圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積為（）

5.（5分）已知向量Z,b,"滿足2=（3,0）,b=（0,4）,c=Aa+（1-e/?）,則

面的最小值為（）

6123648

A.-B.—C.—D.—

5555

6.（5分）2021年10月16日，航天員翟志剛、王亞平、葉光富進(jìn)駐天和核心艙，中國空間

站開啟有人長期駐留時(shí)代，而中國征服太空的關(guān)健是火箭技術(shù)，在理想情況下，火箭在

發(fā)動機(jī)工作期間獲得速度增量的公式言，其中△口為火箭的速度增量，Ve為噴

第1頁共28頁

流相對于火箭的速度，，加和沖分別代表發(fā)動機(jī)開啟和關(guān)閉時(shí)火箭的質(zhì)量.在未來，假

設(shè)人類設(shè)計(jì)的某火箭如達(dá)到5公里/秒，―從100提高到200,則速度增量△「增加的百

分比約為（）

（參考數(shù)據(jù)：/〃2七0.7,

A.13%B.15%C.17%D.19%

7.（5分）函數(shù)y=sin（2x）?log2|x|的圖象大致是（）

8.（5分）斐波那契數(shù)列｛”“｝滿足m=a2=l,an—an-\+an-2（/7^3）,其每一項(xiàng)稱為“斐波

那契數(shù)如圖，在以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼成的長方形中，利用下列各圖中的面

222

積關(guān)系，推出由+。2+-+&202】是斐波那契數(shù)列的第（）項(xiàng)

a2021

A.2020B.2021C.2022D.2023

9.（5分）2021年7月24日，中共中央辦公廳國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教

育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，要求學(xué)校做好課后服務(wù)，結(jié)合學(xué)生的興趣

愛好，開設(shè)體育、美術(shù)、音樂、書法等特色課程.某初級中學(xué)在課后延時(shí)一小時(shí)開設(shè)相

關(guān)課程，為了解學(xué)生選課情況，在該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得

到如下數(shù)據(jù)：（附:計(jì)算得到K2的觀測值為48.333.）

喜歡音樂不喜歡音

樂

喜歡體育2010

不喜歡體515

育

p(A0.050.0250.0100.0050.001

to)

ko3.8415.0246.6357.87910.828

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，對該校學(xué)生情況判斷不正確的是（）

A.估計(jì)該校既喜歡體育又喜歡音樂的學(xué)生約占|

B.從這30名喜歡體育的學(xué)生中采用隨機(jī)數(shù)表法抽取6人做訪談，則他們每個(gè)個(gè)體被抽

1

到的概率為g

C.從不喜歡體育的20名學(xué)生中任選4人做訪談，則事件“至少有2人喜歡音樂”與“至

多有1人不喜歡音樂”為對立事件

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育”與“喜歡音樂”有關(guān)系

25

10.（5分）已知a=（一）25,6=1.025°,c=i.oilOO,則（）

24

A.B.b<c<aC.c<a<bD.

11.（5分）設(shè)矩形ABC。（AB>BC）的周長為20,把△ABC沿AC向△ACC折疊，AB折

疊后交DC于點(diǎn)P,則線段AP的長度最小值為（）

A.10-4V2B.10V5-18C.1073-13D.10V2-10

12.（5分）已知定義在R上的函數(shù)/（x）,f（x）為其導(dǎo)函數(shù)，滿足①f（x）=/（-x）

第3頁共28頁

-lx,②當(dāng)x20時(shí)，/(x)+2x+l>0.若不等式/(2x+l)+3x1+3x>f(x+1)有實(shí)數(shù)解,

則其解集為()

22

A.(-°°,一暫)B.(-°°,0)U(-,+8)

33

、，

C.(0,+0°)D.(-8,——2)u(Q,+8)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.(5分)設(shè)｛.｝是公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為a，且m=l,m,及，紡成等

比數(shù)列，則S9=.

14.(5分)在2022年北京冬奧會和冬殘奧會城市志愿者的招募項(xiàng)目中，有一個(gè)“國際服務(wù)”

項(xiàng)目截止到2022年1月25日還有8個(gè)名額空缺，需要分配給3個(gè)單位，則每個(gè)單位至

少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是.

15.(5分)已知點(diǎn)A(2,1),8(-2,1),直線AM,相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜

率與直線的斜率之差為1,過M作圓C：/+(y-4)2=1的切線MP,P為切點(diǎn)，

則|MP|的最小值為.

16.(5分)如圖，在正方體A8C￡>-4BiCiQi中，點(diǎn)E在BO上，點(diǎn)F在BC上，且8E

=CF.則下列四個(gè)命題中所有真命題的序號是.

①當(dāng)點(diǎn)E是8。中點(diǎn)時(shí)，直線EF〃平面。CCIDI；

②當(dāng)￡>E=2E8時(shí)，EFLBD-,

③直線EF分別與直線8。，81c所成的角相等；

71

④直線EF與平面ABC。所成的角最大為7

6

三、解答題：第17至21題每題12分，第22、23題為選考題，各10分。解答應(yīng)寫出文字

說明，證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知a,6,c分別為△A8C三個(gè)內(nèi)角4,8,(7的對邊，且百。5出。+~0$4=6c,

A為銳角.

(1)求A；

第4頁共28頁

（2）在①4ABC的面積為2次,②晶AC=12,③|S1+BC\=|品J這三個(gè)條件中任選

一個(gè)補(bǔ)充在下面問題的橫線上.問題：若。=2,b>c,,求4c的值.

18.（12分）某省在新高考改革中，擬采取“3+1+2”的考試模式，其中“2”是指考生從政

治、化學(xué)、生物、地理中選兩科，按照等級賦分計(jì)入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：考

生原始成績（滿分100分）從高到低劃分為A,B,C,D,E五個(gè)等級，確定各等級人數(shù)

所占比例分別為15%,30%,35%,15%,5%,等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，

將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到[86,100],[71,85],

第5頁共28頁

[56,70]

,[41,55],[26,401

五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級分滿分為100分.具體如表:

等級4BCDE

比例15%30%35%15%5%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][26,40]

轉(zhuǎn)換公式：樂=署,其中八力分別表示某個(gè)等級所對應(yīng)原始分區(qū)間的下限和上

限，乃分別表示相應(yīng)等級的等級分區(qū)間的下限和上限，y表示某等級內(nèi)某生的原始

分，丁表示相應(yīng)等級內(nèi)該考生的等級分(需四舍五入取整).

例如某學(xué)生的政治考試原始成績?yōu)?0分，成績等級為C級，原始分區(qū)間為150,65],等

級分區(qū)間為[56,70]

,設(shè)該學(xué)生的等級分為T,根據(jù)公式得：號獸="，所以7^65.

己知某學(xué)校高二年級學(xué)生有200人選了政治，以政治期末考試成績?yōu)樵挤謪⒄丈鲜龅?/p>

級賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換本年級的政治等級分，其中所有獲得A等級的學(xué)生原始分區(qū)間[82,94],

其成績統(tǒng)計(jì)如表：

原始94939291908988878685848382

分

人數(shù)111231232234s

(1)已知某同學(xué)政治原始成績?yōu)?1分，求其轉(zhuǎn)換后的等級分；

(2)從政治的等級分不小于95分的學(xué)生中任取3名，設(shè)這3名學(xué)生中等級分不小于97

分人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

19.(12分)如圖，AC,BD為圓柱00'底面的兩條直徑，密為圓柱。。'的一條母

線，HAP=AC.

(1)證明：ABVPD-,

(2)若乙4OB4,求二面角8-PC-。的正弦值.

第6頁共28頁

Xv

20.（12分）已知橢圓C：—+—=1與直線/（不平行于坐標(biāo)軸）相切于點(diǎn)M（xo,W），

164

過點(diǎn)M且與/垂直的直線分別交x軸，y軸于A（m，0）,B（0,〃）兩點(diǎn).

（1）證明：直線=1與橢圓C相切；

164

（2）①當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)尸（777,〃）隨之運(yùn)動，求點(diǎn)P的軌跡方程；

第7頁共28頁

②若0,M,P不共線，求三角形0MP面積的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=去+%-2(e是自然對數(shù)的底).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(xi)=f(x2)=a,求證：0WXI+X2W2CI+2.

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請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)用2B

鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號的方框涂黑.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本題滿分

10分）

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

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線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin。，直線1的極坐標(biāo)方程為psin(O-勺=2.

(1)求C與/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M是曲線C上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足后=夜?0%，點(diǎn)P的軌跡記為。，求

。與/的交點(diǎn)極坐標(biāo)(p,0),其中如)，p>0.

23.已知函數(shù)f(x)=|x+l|-|x-2|,xGR.

(1)畫出f(x)的圖象，若g(x)=x+m與y=/(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍；

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12

（2）已知函數(shù)/⑴的最大值為％正實(shí)數(shù)“，b，'滿足嬴+嬴=九'求證："2H3c

23.

第11頁共28頁

2022年貴州省貴陽市高考理科數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.(5分)若全集U和集合4,8的關(guān)系如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合為()

A.An(CuB)B.Cu(AUB)C.Cu(ACB)D.(CuA)CB

解：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算定義與Venn圖結(jié)合可知陰影部分用AC(CuB)表示.

故選：A.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足z?2-2z+2i=0,則z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-z

解：設(shè)z=a+6i(a,旄R),

；z吃一2z+2i=0,：.a1+h2-2(.a+bi)+2i=0,

1。,解得真：

艮d=

?,.z=l+i.

故選：A.

xv

3.(5分)若雙曲線萬-77=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=gx,則雙曲線的離心

a2b2

率為()

A.V3B.2C.V5D.V6

22

解：雙曲線"一9=1(a>0,b>0)的漸近線方程為》=±*,

b乙a

br~

由題意可得一=<3,

a

則c=Va24-b2=yja24-3a2=2a,

則e=^=2.

故選：B.

4.(5分)如圖是某幾何體的三視圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積為()

第12頁共28頁

解：由三視圖還原原幾何體如圖,

可知該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓錐,

半球的半徑為1,圓錐的底面半徑為1,高為2,

24

-

則該幾何體的體積V=2XgTTXl3+^xnX3

故選：C.

5.(5分)已知向量Zb,”滿足3=(3,0),b=(0,4),c=2a+(1-e/?),則

面的最小值為（）

解：3=(3,0),b=(0,4),c=Aa+(1-X)b=A(3,0)+(1-A)(0,4)=(3人,

4-4入），

：.\c\=y/9A2+（4-4A）2=V25A2-32A+16=^25（2-1|）2+^->=竽，當(dāng)且

僅當(dāng)人=蕓時(shí)取等號，

故面的最小值為日.

故選:B.

6.（5分）2021年10月16日，航天員翟志剛、王亞平、葉光富進(jìn)駐天和核心艙，中國空間

站開啟有人長期駐留時(shí)代，而中國征服太空的關(guān)健是火箭技術(shù)，在理想情況下，火箭在

第13頁共28頁

發(fā)動機(jī)工作期間獲得速度增量的公式△〃=%仇普，其中△口為火箭的速度增量，比為噴

流相對于火箭的速度，，如和如分別代表發(fā)動機(jī)開啟和關(guān)閉時(shí)火箭的質(zhì)量.在未來，假

設(shè)人類設(shè)計(jì)的某火箭性達(dá)到5公里/秒，她從100提高到200,則速度增量增加的百

分比約為（）

（參考數(shù)據(jù)：勿270.7,勿5F.6）

A.13%B.15%C.17%D.19%

解：當(dāng),=W時(shí)'速度的增量為△也=5初。。，當(dāng)胃=2。°時(shí)’速度的增量為△片

5歷200=5/山()0+5加2,

絲Ml=5m2=Jn2=ln24§%.

所以,

△vxSZnlOO2ZnlO2(Zn2+Zn5)'

故選：B.

7.（5分）函數(shù)y=sin（2x）?log2m的圖象大致是（）

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋鸐xWO｝，

/(-x)=-sin2x*log2|-x|=-sin2xlog2|x|=-f(x),即f(x)是奇函數(shù)，排除CD,

第14頁共28頁

當(dāng)OVxVl時(shí)，/（x）<0,排除C,

故選：A.

8.（5分）斐波那契數(shù)列｛〃〃｝滿足41=。2=1,an=Cln-l+<7n-2（及23）,其每一項(xiàng)稱為“斐波

那契數(shù)”.如圖，在以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼成的長方形中，利用下列各圖中的面

積關(guān)系，推出由4022+…+。20212是斐波那契數(shù)列的第（）項(xiàng)

02021

aaaaaaa

解：由an+\=an+2-an,則W+1=n+l(n+2-n)=n-2n+l-n+ln^

又ai=a2=lf

所以=Q2a1,a2=Q3a2—Q2a1,a3=。4a3—a3a2,…,a2021=a2022a2021—

a2021a2020，

則72021=Q：++F^2021=a2022a2021，

乂域+避+…+嫌02]1021

11乂==。2022，

a2021a2021

故選：C.

9.（5分）2021年7月24日，中共中央辦公廳國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教

育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，要求學(xué)校做好課后服務(wù)，結(jié)合學(xué)生的興趣

愛好，開設(shè)體育、美術(shù)、音樂、書法等特色課程.某初級中學(xué)在課后延時(shí)一小時(shí)開設(shè)相

關(guān)課程，為了解學(xué)生選課情況，在該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得

到如下數(shù)據(jù)：（附：計(jì)算得到K的觀測值為4七8.333.）

喜歡音樂不喜歡音

樂

喜歡體育2010

不喜歡體515

育

第15頁共28頁

P（片20.050.0250.0100.0050.001

ko）

ko3.8415.0246.6357.87910.828

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，對該校學(xué)生情況判斷不正確的是（）

A.估計(jì)該校既喜歡體育又喜歡音樂的學(xué)生約占|

B.從這30名喜歡體育的學(xué)生中采用隨機(jī)數(shù)表法抽取6人做訪談，則他們每個(gè)個(gè)體被抽

到的概率為:

C.從不喜歡體育的20名學(xué)生中任選4人做訪談，則事件“至少有2人喜歡音樂”與“至

多有1人不喜歡音樂”為對立事件

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育”與“喜歡音樂”有關(guān)系

解：對于A,在該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生中，即喜歡體育又喜歡音樂的學(xué)生有

20人，

202

???估計(jì)該校既喜歡體育又喜歡音樂的學(xué)生約占工；=-，故A正確；

505

對于8,從這30名喜歡體育的學(xué)生中采用隨機(jī)數(shù)表法抽取6人做訪談，

則他們每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為P=4=點(diǎn)故8正確;

對于C,從不喜歡體育的20名學(xué)生中任選4人做訪談，

則事件“至少有2人喜歡音樂”與“至多有1人不喜歡音樂”能同時(shí)發(fā)生，不為對立事

件，故C錯(cuò)誤;

50x（20x15-5x10）2

?8.333>7.897,

對于D,25x25x30x20

???在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育”與“喜歡音樂”有關(guān)系，故

力正確.

故選：C.

25

10.（5分）已知（―）25,匕=1.025°,c=]01100,則（）

24

A.B.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

26

解：???〃=（一）25,/>=1,0250=（1.022）25,c=l.Ol,oo=（1.014）25,

24

—?1.041,1.022=1.0404,1.014^1.0406,

24

函數(shù)y=/5在（o,+8）上是增函數(shù)，

第16頁共28頁

，AVCVQ.

故選：B.

11.(5分)設(shè)矩形A5CZ)(AB>BC)的周長為20,把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折

疊后交DC于點(diǎn)P,則線段AP的長度最小值為()

A.10-4V2B.10V5-18C.1073-13D.IOA/2-10

解：?.,矩形ABCQ,且AABC沿AC向△AOC折疊，

：.AD^EC,NADP=NCEP=90°,NAPD=NCPE,

：./\ADP^/\CEP,得AP=CP,

在直角三角形AOP中，設(shè)AB=x(aw),DP=y(cm),

.\AP=CP=x-y(cm),

又???矩形ABC。(AB>8C)的周長為20cm,：.AD=W-x(cm),

由勾股定理，可得(lO-x)2+b=(x-y)2,

/1.^ZH20x-100s50

化問得)，=-袞一=10--)

"：AB>BC,.>.0<10-x<x,

解得5cx<10,即y=10-號，5cx<10.

：.AP=x-10+^=x+^-10>2Jx--10=10V2-10,

當(dāng)且僅當(dāng)x=季即x=5或時(shí)等號成立.

12.(5分)已知定義在R上的函數(shù)/(x),f(無)為其導(dǎo)函數(shù)，滿足①f(x)=/(-%)

-2x,②當(dāng)x20時(shí)，f(x)+2x+1^0.若不等式/(2x+l)+3?+3x>/(x+l)有實(shí)數(shù)解,

則其解集為()

/2、2

AA.(-8,--)B.(-oo,o)U(-,+8)

3

第17頁共28頁

2

C.(0,+8)D.(-8,-￡)U(0,+8)

解：令g(x)=f(x)+x,

■:于(x)=f(-x)-2x,

:?f(x)+x=f(-%)+(-x),即g(-x)=g(x),

???g(x)為R上的偶函數(shù)；

令h(x)=g(x)+?,則〃(-x)=h(x),即力(x)為R上的偶函數(shù)；

又當(dāng)天20時(shí)，h'(x)=[f(x)+x]r+(x2)'=f(x)+2x+l20,

：?h(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增；

又/(2x+l)+3X2+3X>/(x+1)(2r+1)+(2x+l)2+2x+l>/(^+1)+(x+l)2+x+1<=>//

(2x+l)>h(x+1),

??.|2x+11>|x+1|=3f+2x>0,

解得：x>0或xV-|,

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.(5分)設(shè)｛反｝是公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,且m=l,及，〃5成等

比數(shù)列，則S9=81.

解：設(shè)等差數(shù)列｛?！ǎ墓顬閐(dWO),

由m=l,a\,。2,。5成等比數(shù)列，得(1+d)2=1X(l+4d),

即屋-2d=0,解得d=2.

：.S9=9%+竽d=9x1+爭x2=81.

故答案為：81.

14.(5分)在2022年北京冬奧會和冬殘奧會城市志愿者的招募項(xiàng)目中，有一個(gè)“國際服務(wù)”

項(xiàng)目截止到2022年1月25日還有8個(gè)名額空缺，需要分配給3個(gè)單位，則每個(gè)單位至

少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是12.

解：將8個(gè)名額空缺分配給3個(gè)單位，每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額互不相同，

需要把8個(gè)名額分為1,3,4或1,2,5,再對應(yīng)3個(gè)學(xué)校，

故有2“=12種.

故答案為：12.

15.(5分)已知點(diǎn)A(2,1),8(-2,1),直線AM,相交于點(diǎn)且直線AM的斜

第18頁共28頁

率與直線8M的斜率之差為1,過M作圓C：/+(y-4)2=1的切線MP,尸為切點(diǎn)，

則|MP|的最小值為

解：設(shè)M(x,y),由題意可得：--^―-=1,

%—2%+2

整理得：/=4y.

二曲線C的軌跡方程為f=4y(x#±2).

再設(shè)MCm,-n?),?.?圓c：/+(y-4)2=1的圓心C(0,4),

4

1?774

/.\MC\2=m2+Qm2-4)2=yg--m24-16,

4

2

|PM2=|MC|2-|pq=患一病+15,當(dāng)川=8,即m=±2遮時(shí)，

IPM?取得最小值為11，則|MP|的最小值為“L

故答案為：VTT.

16.(5分)如圖，在正方體ABC。-481clDi中，點(diǎn)E在B￡＞上，點(diǎn)尸在BiC上，且BE

=CF.則下列四個(gè)命題中所有真命題的序號是①②③.

①當(dāng)點(diǎn)E是8。中點(diǎn)時(shí)，直線EF〃平面。CCIDI；

②當(dāng)OE=2EB時(shí).，EFLBD；

③直線EF分別與直線B￡),BiC所成的角相等；

7T

④直線EF與平面ABCQ所成的角最大為7

6

解：設(shè)正方體的邊長為2,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)BE=CF=t,0<t<2>/2,

①，當(dāng)E是8。的中點(diǎn)時(shí)，B是81c的中點(diǎn)，

E(l,1,0),F(l,2,1),EF=(0,1,1),

第19頁共28頁

平面。CC1O1的一個(gè)法向量為ni=(L0,0),n-EF=0,

由EF《平面DCCiDi,所以EF〃平面DCC\D\,①為真命題.

②，當(dāng)OE=2E8時(shí)，BE=jBE,CF=^CB1,

E(g,I，0),F(|,2,|),EF=(-|,I，BQ,2,0),

EF-DB=0,所以EF1.8O,所以②正確.

③,E((2>/2—t)X,(2,y/2—t)X,0)=(2-t/2-110),

F(-^2,t)>EF=(V2t—2>t).

由=J(V2t-2)2+(孝t)2+*)2=V3t2-4V2C+4,

B(2,2,0),Bi(2,2,2),C(0,2,0),=(2,0,2),

,/蔡—.2」2t-4+&t3V2t=4.

\cos{EF,DB}\=I,-------1=I.=-------I，

J3t2-4國+4x2疸J3t2-4&t+4x2&

i12V2t-4+V2t.13V2t-4.

|cos〈EF,CB?=I,——=|=I1~=b

J3t2-4&+4X2疙J3t2-4&+4X2以

\cos(EF,DB)\=\cos(EF,CB^\,所以直線EF分別與直線B。，BiC所成的角相等.

④，平面ABCD的法向量為蔡=(0,0,I),

設(shè)直線EF與平面ABCD所成角為0.

.門?EF-m1竽t

sinO=I—~—1-/：

呼卜|刈J3t2-4夜t+4

當(dāng)t=2近時(shí)，sin。=專*,由于OS。.，所以親④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

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三、解答題：第17至21題每題12分，第22、23題為選考題，各10分。解答應(yīng)寫出文字

說明，證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，且百asinC+ccosA=V3c,

A為銳角.

(1)求A；

(2)在①△ABC的面積為2%，②/?啟=12,③|扇+立|=|啟|這三個(gè)條件中任選

一個(gè)補(bǔ)充在下面問題的橫線上.問題：若a=2,h>c,,求4c的值.

解：(1)由V5asinC+ccosA=V5c,得V5sinAsinC+sinCcosA=V5sinC,

V3sinA+cosA=V3,2sin(A+?)=V3?sin(A+?)=噂，

OOZ

??oAdR?加<1A72".x.-7T=71,,A7T

?OVA<與，??一C4A~o-f??.A4'o??A=z；

/63。3o

1

(2)選①aABC的面積為2g,得?csinA=2b，."c=8遮，乂根據(jù)余弦定理有2?=

b12+c2-2bcx等，

二4=(6+c)2-2bc-24,：.b+c=4+2>/3,又b>c,解得6=4,c=2百；

選②6?￡；=12,."ccosA=12,；.bc=86，與選①方法相同可求％,c的值；

選③|北+品|=|h二|品—豆，=|點(diǎn)+品F，.?.易?品■=(),.?.NB=90。,，sinA=

2i

%-=：.b=4,由勾股定理可得c=26.

bb2

18.(12分)某省在新高考改革中，擬采取“3+1+2”的考試模式，其中“2”是指考生從政

治、化學(xué)、生物、地理中選兩科，按照等級賦分計(jì)入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：考

第21頁共28頁

生原始成績（滿分100分）從高到低劃分為A,B,C,D,E五個(gè)等級，確定各等級人數(shù)

所占比例分別為15%,30%,35%,15%,5%,等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，

將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到[86,100],[71,85],

[56,70]

,[41,55],[26,40]

五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級分滿分為100分.具體如表：

等級ABCDE

比例15%30%35%15%5%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][26,40]

轉(zhuǎn)換公式：套=享三，其中H，力分別表示某個(gè)等級所對應(yīng)原始分區(qū)間的下限和上

Y-YxT-Tr

限，T\,乃分別表示相應(yīng)等級的等級分區(qū)間的下限和上限，y表示某等級內(nèi)某生的原始

分，7表示相應(yīng)等級內(nèi)該考生的等級分（需四舍五入取整）.

例如某學(xué)生的政治考試原始成績?yōu)?0分，成績等級為C級，原始分區(qū)間為[50,65],等

級分區(qū)間為[56,70]

65-6070-T

,設(shè)該學(xué)生的等級分為T，根據(jù)公式得：-所以T處65.

60-50T-56

已知某學(xué)校高二年級學(xué)生有200人選了政治，以政治期末考試成績?yōu)樵挤謪⒄丈鲜龅?/p>

級賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換本年級的政治等級分，其中所有獲得4等級的學(xué)生原始分區(qū)間[82,94J,

其成績統(tǒng)計(jì)如表：

原始94939291908988878685848382

分

人數(shù)111231232234s

（1）已知某同學(xué)政治原始成績?yōu)?1分，求其轉(zhuǎn)換后的等級分；

（2）從政治的等級分不小于95分的學(xué)生中任取3名，設(shè)這3名學(xué)生中等級分不小于97

分人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

解：（1）該同學(xué)政治原始成績?yōu)?1分，在區(qū)間[82,94].t,賦分區(qū)間為[86,100],

94-91100-T

故轉(zhuǎn)換后的等級分為音=不彳解得27分;

（2）設(shè)等級分為95分對應(yīng)的原始分為x,

94-X100-95

由題意得裝G=解得戶89.7分,

第22頁共28頁

設(shè)等級分為97分對應(yīng)的原始分為》

即政治的等級分不小于95分的學(xué)生有8人，政治等級分不小于97分人數(shù)為3人,

則X的取值可以為0,1,2,3,

P(X=O)嚕品

P(X=2)=

???X的分布列為:

515151

28285656

其期望為E(X)=0x篇+1X券+2x1|+3x系=寒

19.(12分)如圖，AC,80為圓柱OO'底面的兩條直徑，附為圓柱。0'的一條母

線，且AP=AC.

(1)證明：AB±PD；

(2)若乙4。8=會求二面角8-PC-￡＞的正弦值.

B

(1)證明：8。為圓柱。?！酌?。。的兩條直徑,

.*.ZBAD=90°：.AB±AD,

為圓柱0。'的一條母線，

,：PAQAD=A,PA,AOu平面以。，

；.48_1_平面PAD,POu平面PAD,

第23頁共28頁

：.AB±PD；

(2)解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,過C的母線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐

設(shè)AP=AC=4,則8C=2,AB=2VLCD=2痘,

則D(2V3，0,0),B(0,2,0),P(2V3,2,4),C(0,0,0),

：.CD=(2V3,0,0),CB=(0,2,0),CP=(2V3,2,4),

設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量為蔡=(尤，y,z),

則,令x=2,則y=0,z=-V5,

{n?CB=2y=0

平面PBC的一個(gè)法向量為蔡=(2,0,-V3),

設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為茄=(a,b,c),

則可?=28a+2b+4c=0,令匕=2,則a=o,c=-1,

.m-CD=2y/3a=0

???平面POC的一個(gè)法向量為/=(0,2,-1),

./tn-m73V105

??cosVTI,m>=-"—~~■=/—/=-,

I|X||V4+3xV4+l35

二面角3-PC-O的正弦值為1-哨=黑^.

J35135

%2y2

20.(12分)已知橢圓C：77+丁=1與直線/(不平行于坐標(biāo)軸)相切于點(diǎn)M(xo,yo),

164

過點(diǎn)M且與/垂直的直線分別交x軸，y軸于A(〃小0),B(0,n)兩點(diǎn).

(1)證明：直線浮臺+^=1與橢圓C相切；

164

第24頁共28頁

（2）①當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)、P（/n,n）隨之運(yùn)動，求點(diǎn)P的軌跡方程;

②若。，M,尸不共線，求三角形OMP面積的最大值.

解：（1）證明：M在橢圓C上，所以'+—=1,所以詔+4y辰=16,4yo=16—XQ,

164

袈+犁=1

J4yoy=16-xox

lx2+4y2=16

(16%y2=(16,XQX)2(4y2,4y2=(16_XQX)2

lx2+4y2=16'14y2=16—x2

X4y(16XX)222

￡1?—?2=一°>因此可得(16-詔)(16-x)=(16-xox),

(4y=16—x

整理得--2xox+%o=0,A=4XQ—4XQ=0,有唯一解,

所以直線哭+”=1與橢圓c相切；

164

(2)①依題意可知直線/：—+—=1與坐標(biāo)軸不平行，所以xo#O,yo#O,

164

直線/的斜率為一顯=一久，所以直線A8的斜率也，

手—4yo

直線A5的方程為：y-y（）=jo（%-%o）,令1=0,解得〃=-3yo,y（）=—/，"WO,

令y=0,解得m=%o，&=竽，小卉0,

則—+—=l(mnH0),

936

Xv

所以P點(diǎn)的軌跡方程為K+Z7=l(xyw0)；

936

②由①可知，P(^x0,-3y0),M(xo,yo),且以+4兄=16,所以10M=J詔+%,

直線OM的方程為y=空x,即-xoy=O,

P到直線OM的距離為d=啊。+3汽%1=辱細(xì)，

y4y()

所以l&yol=|xollyol=1-\x0\-21yoi<I-°-^=I,^=4,

當(dāng)且僅當(dāng)|xol=21yoi=2/時(shí),等號成立，

所以SAOMP=竽l與yolW竽X4=竽，

15

所以△OMP面積的最大值一.

2

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=$+x—2（e是自然對數(shù)的底）.

第25頁共28頁

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/'(")—f(x2)—a,求證：0Wxi+x2W2a+2.

一1

解：(1)由題設(shè)，1(x)=g，

當(dāng)x<0時(shí)f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)/(%)>0,

所以f(x)在(-8,0)上遞減，在［0,+8)上遞增.

(2)證明：由(1)知：心-1,

當(dāng)x2=xi=0時(shí)，有a=-l,止匕時(shí)0Wxi+x2W2a+2成立；

111

當(dāng)x2>0>xi時(shí)，左g(%)=f(x)—/(—x)=4~%—2—.一欠+x+2=，—ex+2x,

所以g'(x)=弓_蜻+2=_&晟1)2?0