六、-動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法

第六單元?jiǎng)恿W(xué)問(wèn)題的有限元法第一節(jié)變形體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題概述變形體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題在工程和科學(xué)問(wèn)題中特別普遍。該類(lèi)問(wèn)題由隨時(shí)間變化的載荷或邊界條件產(chǎn)生。這類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題涉及的對(duì)象包括各種機(jī)械零部件、工程構(gòu)造、彈性介質(zhì)。依據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和載荷及受力體的動(dòng)態(tài)特性，一般意義上的變形體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題按如下三個(gè)途徑處理。指邊界條件和/或體力變化緩慢，或者物體內(nèi)加速度分布均勻等類(lèi)型的問(wèn)題。這類(lèi)變形體問(wèn)題的平衡微分方程中無(wú)視了慣性項(xiàng)，但載荷是時(shí)間的函數(shù)。在某時(shí)刻t，承受動(dòng)靜法將整體慣性力轉(zhuǎn)化為體力，或者無(wú)視慣性力。對(duì)應(yīng)此刻載荷的靜力學(xué)解作為t時(shí)刻的解。工程上可取隨時(shí)間變化載荷的最大值的靜力學(xué)解作為問(wèn)題的準(zhǔn)靜態(tài)解。盡管這種靜態(tài)狀況在實(shí)際上并不存在，但作為一種根本力學(xué)模型，在工程實(shí)踐上具有重要意義。很多實(shí)際問(wèn)題可近似歸入準(zhǔn)靜態(tài)問(wèn)題，而滿(mǎn)足工程上的精度要求。準(zhǔn)靜態(tài)問(wèn)題通過(guò)這種近似處理，可以避開(kāi)大量的動(dòng)力學(xué)模型解算，而在有限的計(jì)算機(jī)資源下，可把實(shí)際問(wèn)題的模型在準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)前提下考慮得更細(xì)致、更有用。在很多狀況下，由此帶來(lái)的對(duì)實(shí)際狀況的靠近將大大抵消由于準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)產(chǎn)生的誤差。至于哪些問(wèn)題可作準(zhǔn)靜態(tài)來(lái)處理，需要綜合考慮分析目的與精度要求，構(gòu)件的尺度和動(dòng)態(tài)特性〔固有振動(dòng)周期〕，載荷的特性〔上升前沿和作用時(shí)間〕，計(jì)算機(jī)資源狀況等。構(gòu)造動(dòng)力學(xué)問(wèn)題該領(lǐng)域爭(zhēng)論以下問(wèn)題：彈性構(gòu)造〔系統(tǒng)〕的自由振動(dòng)特性〔頻率和振型〕分析；瞬態(tài)響應(yīng)分析；頻率響應(yīng)分析；響應(yīng)譜分析等。就構(gòu)造的瞬態(tài)響應(yīng)分析而言，典型的有構(gòu)造在沖擊載荷下的響應(yīng)問(wèn)題。構(gòu)造動(dòng)力學(xué)中這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是，載荷作用前沿時(shí)間與構(gòu)件的自振基頻周期相近，遠(yuǎn)大于應(yīng)力波在構(gòu)件中的傳播時(shí)間?；蛘邩?gòu)件上長(zhǎng)時(shí)間作用隨時(shí)間猛烈變化的載荷。構(gòu)造動(dòng)力學(xué)問(wèn)題在工程中具有普遍性。彈塑性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題這是連續(xù)介質(zhì)變形體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的另一個(gè)重要領(lǐng)域。涉及很多科學(xué)和工程領(lǐng)域，如高速碰撞，爆炸沖擊，人工地震勘探，無(wú)損探傷等。這類(lèi)問(wèn)題的爭(zhēng)論要深入到介質(zhì)中的彈塑性波的傳播過(guò)程以及考慮波動(dòng)效應(yīng)前提下介質(zhì)中應(yīng)力應(yīng)變的響應(yīng)。這類(lèi)問(wèn)題中載荷的特點(diǎn)是構(gòu)件上載荷作用前沿時(shí)間遠(yuǎn)少于應(yīng)力波在構(gòu)件中的傳播時(shí)間。該狀態(tài)通常由構(gòu)件高速碰撞或爆炸載荷產(chǎn)生。對(duì)于上述后兩類(lèi)問(wèn)題，描述質(zhì)點(diǎn)平衡和運(yùn)動(dòng)的微分方程一樣，包含慣性力項(xiàng)和阻尼力項(xiàng)。其數(shù)值求解方法主要是有限元法。其次節(jié)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元方程在連續(xù)介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，描述力學(xué)參量的坐標(biāo)是四維：3個(gè)空間坐標(biāo)和一個(gè)時(shí)間坐標(biāo)。進(jìn)展有限元法求解時(shí)，只對(duì)空間區(qū)域進(jìn)展離散化，得到離散多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。其有限元法步驟與靜力學(xué)問(wèn)題一樣。只是在單元上對(duì)隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)展插值，得到單元內(nèi)隨時(shí)間變化的假設(shè)位移場(chǎng)：為建立有限元?jiǎng)恿W(xué)響應(yīng)控制方程，利用達(dá)朗倍爾原理，在每個(gè)時(shí)刻t，將連續(xù)介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)加上慣性力和阻尼力，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等效靜力學(xué)問(wèn)題。對(duì)等效系統(tǒng)應(yīng)用虛功原理：將前面位移空間離散表達(dá)式和單元的幾何方程、物理方程代入上式虛功方程，并考慮到變分的任意性，得到離散系統(tǒng)掌握方程——構(gòu)造有限元?jiǎng)恿W(xué)方程：

方程中的系數(shù)矩陣分別為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，整體剛度矩陣。右端項(xiàng)為整體節(jié)點(diǎn)載荷向量。上述矩陣由相應(yīng)的單元矩陣組集而成：其中：——單元質(zhì)量矩陣——單元?jiǎng)偠染仃嚒獑卧枘峋仃嚒獑卧刃Ч?jié)點(diǎn)力向量假設(shè)無(wú)視阻尼，則構(gòu)造動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為：上式動(dòng)力學(xué)方程的右端項(xiàng)為零時(shí)就得到構(gòu)造自由振動(dòng)方程。從動(dòng)力學(xué)方程導(dǎo)出過(guò)程可以看出，動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元分析中，由于平衡方程中消失了慣性力和阻尼力，從而引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，運(yùn)動(dòng)方程是耦合的二階常微分方程組，而不是代數(shù)方程組。該方程又稱(chēng)為有限元半離散方程，由于對(duì)空間是有限元離散的，對(duì)時(shí)間是連續(xù)的。當(dāng)求解該微分方程組，得出節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)后，其它計(jì)算步驟與靜力分析一樣。有限元?jiǎng)恿W(xué)方程的求解雖然可以承受常規(guī)的常微分方程組解法，但由于實(shí)際問(wèn)題有限元模型的階數(shù)往往很高，用常規(guī)方法不經(jīng)濟(jì)，通常承受一些對(duì)有限元方程有效的解法，主要分為兩類(lèi)：直接積分法和振型疊加法。第三節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣

1、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣該矩陣稱(chēng)為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣或全都質(zhì)量矩陣。由于它和剛度矩陣依據(jù)同樣的原理、過(guò)程和插值函數(shù)導(dǎo)出，還表示質(zhì)量在單元上呈某種分布。此外，有限元中還常常承受集中質(zhì)量矩陣，它是一個(gè)對(duì)角矩陣，由假定單元質(zhì)量集中在節(jié)點(diǎn)上得到。上節(jié)導(dǎo)出的單元質(zhì)量矩陣為：對(duì)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元，按上述公式計(jì)算得到的全都質(zhì)量矩陣為：該單元的集中質(zhì)量矩陣為：實(shí)際應(yīng)用中，兩種質(zhì)量矩陣都有應(yīng)用，得到的計(jì)算結(jié)果相差不多。承受集中質(zhì)量矩陣可以使計(jì)算得到簡(jiǎn)化，提高計(jì)算效率，由此得到的自振頻率常低于準(zhǔn)確解。在波傳播問(wèn)題和高速瞬態(tài)非線性分析中，通常承受顯式動(dòng)力學(xué)求解方法協(xié)作使用線性位移單元和集中質(zhì)量陣。2、阻尼矩陣單元阻尼矩陣：稱(chēng)為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。這種阻尼是由阻尼力正比于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度得到的，屬于粘性阻尼。明顯，這種阻尼陣與質(zhì)量矩陣成正比。對(duì)構(gòu)造而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料內(nèi)部摩擦效應(yīng)引起的能量耗散，但這種耗散機(jī)理尚未完全清晰，更難以用數(shù)學(xué)模型表達(dá)，故通常假設(shè)這種狀況的阻尼力正比于應(yīng)變速率，從而可導(dǎo)出比例于單元?jiǎng)偠染仃嚨膯卧枘彡?，大多?shù)情形下足夠準(zhǔn)確。上述兩種阻尼矩陣稱(chēng)為比例阻尼或振型阻尼。其比例系數(shù)一般依靠于頻率，很難準(zhǔn)確確定。一個(gè)通行的方法是將構(gòu)造的阻尼矩陣簡(jiǎn)化為構(gòu)造剛度陣和構(gòu)造質(zhì)量陣的線性組合：其中α，β是不依靠于頻率的常數(shù)。這種振型阻尼稱(chēng)為Rayleigh阻尼。當(dāng)α=0時(shí)，較高階振型受到的阻尼較大；當(dāng)β=0時(shí)，較低階振型受到的阻尼大。由于系統(tǒng)的固有振型對(duì)于構(gòu)造質(zhì)量矩陣和構(gòu)造剛度矩陣具有正交性，因此，系統(tǒng)振型對(duì)上述Rayleigh阻尼矩陣也是正交的。所以這類(lèi)阻尼矩陣又稱(chēng)為振型阻尼。承受振型阻尼矩陣后，可以利用系統(tǒng)振型對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)展變換，得到解耦的方程組，使每個(gè)方程可以獨(dú)立求解，給計(jì)算帶來(lái)便利。第四節(jié)構(gòu)造自振頻率和振型其中是n階向量，表示有限元離散結(jié)構(gòu)所有自由度的振幅，ω是該向量振動(dòng)的頻率。將上式代入自由振動(dòng)方程得到：爭(zhēng)論構(gòu)造自由振動(dòng)特性。設(shè)阻尼和外力均為零，則構(gòu)造自由振動(dòng)有限元運(yùn)動(dòng)方程為：設(shè)各自由度作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：該方程描述的問(wèn)題稱(chēng)為廣義特征值問(wèn)題。其中特征值：代表系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率，并有：特征向量：代表系統(tǒng)的n個(gè)固有振型，或稱(chēng)為主振型。其幅度是不確定的，但可以用下列方法對(duì)其正則化：求解該問(wèn)題可以得到n對(duì)特征解〔特征對(duì)〕這樣的固有振型又稱(chēng)為正則振型，以后默認(rèn)所謂固有振型即是指這種正則振型。

簡(jiǎn)潔證明，固有振型具有對(duì)M和K的正交性：定義：它們分別稱(chēng)為固有振型矩陣和固有頻率矩陣?yán)霉逃姓裥途仃嚭凸逃蓄l率矩陣，構(gòu)造固有振型的正交性質(zhì)可以表示成：原來(lái)的特征值問(wèn)題可以表示成：固有頻率和固有振型是一個(gè)構(gòu)造自由振動(dòng)的根本特性，也是構(gòu)造動(dòng)態(tài)特性的根本要素。求解構(gòu)造自由振動(dòng)的廣義特征值問(wèn)題，由于系統(tǒng)自由度很多，而爭(zhēng)論系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和動(dòng)態(tài)特性時(shí)，往往只需要少數(shù)低階特征值和特征向量。因此在有限元分析中進(jìn)展了很多針對(duì)上述特點(diǎn)的效率較高的算法。其中應(yīng)用最廣泛的有Lanczos法、子空間迭代法、逆迭代法等。第五節(jié)瞬態(tài)響應(yīng)分析瞬態(tài)響應(yīng)分析是計(jì)算動(dòng)力強(qiáng)迫響應(yīng)分析的最一般方法。其目的是計(jì)算構(gòu)造受隨時(shí)間變化鼓勵(lì)作用下的行為。瞬態(tài)鼓勵(lì)定義在時(shí)間域中，每個(gè)瞬時(shí)的大小。鼓勵(lì)可以是作用力和強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。依據(jù)構(gòu)造和載荷的性質(zhì)，可以用兩種不同的數(shù)值方法進(jìn)展瞬態(tài)響應(yīng)分析：直接積分法和振型疊加法。前者對(duì)全耦合的有限元離散運(yùn)動(dòng)方程直接進(jìn)展積分；后者利用主振型對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)展變換和解耦，構(gòu)造的響應(yīng)依據(jù)相應(yīng)于各振型的響應(yīng)累加而成。1、直接積分法第一，將求解時(shí)間域0<t<T內(nèi)任何時(shí)刻t都滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)方程的要求降低為在相隔Δt的離散時(shí)間點(diǎn)上滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)方程。直接積分法的兩個(gè)前提：其次，在離散時(shí)間點(diǎn)之間的Δt區(qū)域，對(duì)位移，速度，加速度進(jìn)展假設(shè)。相當(dāng)于對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程組在時(shí)間域進(jìn)展離散化，并逐點(diǎn)求解。直接積分法概述：直接積分法的時(shí)間離散化方程有顯式和隱式兩類(lèi)。在顯式方程中，由t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程求t+Δt時(shí)刻的位移；而隱式方法是從與t+Δt時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方程關(guān)聯(lián)的表達(dá)式中求t+Δt時(shí)刻的位移。顯式方法要求很小的時(shí)間步長(zhǎng)，但每步求解所需計(jì)算量較??；而隱式方法允許較大的時(shí)間步長(zhǎng)，但每一步求解方程的消耗較大。大多數(shù)顯式方法是條件穩(wěn)定的：當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)大于構(gòu)造最小周期的肯定比例時(shí)，計(jì)算得到的位移和速度將發(fā)散或得到不正確的結(jié)果；隱式方法往往是無(wú)條件穩(wěn)定的，步長(zhǎng)取決于精度，而不是穩(wěn)定性方面的考慮。

典型的顯式方法是所謂的“中心差分法”，其根本思想如下。t+Δt時(shí)刻的位移解從t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程建立：

中心差分法將某時(shí)刻的加速度和速度用中心差分表示：將加速度和速度的差分格式代入上式，得到：上式就是求離散時(shí)間點(diǎn)上位移解的遞推公式。但該算法有起步問(wèn)題〔見(jiàn)P449〕。中心差分法特點(diǎn)如下：1〕是顯式算法，并且當(dāng)質(zhì)量陣和阻尼陣都是對(duì)角陣時(shí)，利用該遞推公式求解運(yùn)動(dòng)方程時(shí)不需要進(jìn)展矩陣求逆，這個(gè)特點(diǎn)在非線性問(wèn)題中將更有意義。

是有限元系統(tǒng)的最小固有振動(dòng)周期，通常用最小尺寸單元的最小固有振動(dòng)周期代替。因此，有限元網(wǎng)格中最小單元尺寸將決定中心差分法時(shí)間步長(zhǎng)的選擇。有限元網(wǎng)格劃分時(shí)要考慮到這個(gè)因素，避免個(gè)別單元尺寸太小。2）是條件穩(wěn)定算法。時(shí)間步長(zhǎng)必須小于某個(gè)臨界值：3〕中心差分法適合用于考慮波傳播效應(yīng)的線性、非線性響應(yīng)分析。但是對(duì)于構(gòu)造動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的瞬態(tài)響應(yīng)分析，不適合承受中心差分法，由于這類(lèi)問(wèn)題，重要的是較低頻的響應(yīng)成分，允許承受較大的時(shí)間步長(zhǎng)。通常承受無(wú)條件穩(wěn)定的隱式算法。應(yīng)用最廣泛的一種隱式算法是Newmark方法。在積分區(qū)間上承受如下的速度、位移假設(shè)：

Newmark方法通過(guò)t+Δt時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)決定t+Δt時(shí)刻的位移解，即：從上面三個(gè)方程聯(lián)立可推出從t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)參量計(jì)算t+Δt時(shí)刻位移的公式：由于從上式求解t+Δt時(shí)刻位移時(shí)需要對(duì)非對(duì)角的等效剛度陣求逆，因此稱(chēng)為隱式算法。當(dāng)算法中的參數(shù)滿(mǎn)足肯定條件時(shí)，該算法是無(wú)條件穩(wěn)定的。此時(shí)，步長(zhǎng)的選擇取決于解的精度，可以依據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)有主要奉獻(xiàn)的假設(shè)干根本振型的周期來(lái)確定。通?？扇樗紤]的根本振型周期中最小周期的二特別之一。對(duì)構(gòu)造動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，所關(guān)心的較低階振型的周期比全系統(tǒng)的最小周期大得多，也就是無(wú)條件穩(wěn)定的隱式算法可以承受比有條件穩(wěn)定的顯式算法大得多的時(shí)間步長(zhǎng)，而承受較大時(shí)間步長(zhǎng)還可以濾掉不準(zhǔn)確的高階響應(yīng)成分。2、振型疊加法振型疊加法是計(jì)算構(gòu)造瞬態(tài)響應(yīng)的另一種數(shù)值方法。該方法利用構(gòu)造固有振型對(duì)動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)展變換，縮減未知量規(guī)模，并對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組進(jìn)展解耦，大幅度提高數(shù)值求解的效率。由于在構(gòu)造動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程中，計(jì)算固有頻率、固有振型是評(píng)價(jià)構(gòu)造動(dòng)態(tài)特性之必需，故振型法響應(yīng)分析是常規(guī)模態(tài)分析的自然延長(zhǎng)。此變換的意義：變換把結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)位移響應(yīng)從以有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移為基向量n維空間轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的n維空間。這里看成廣義位移基向量，xi是廣義位移分量。數(shù)學(xué)上看，是離散系統(tǒng)位移在兩個(gè)不同向量空間之間的變換。振型疊加法的根本思想如下。首先引入變換：其中：并且兩邊左乘，并考慮到的正交性，則得到新向量空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程：將上述變換代入有限元運(yùn)動(dòng)方程假設(shè)方程中的阻尼矩陣是振型阻尼陣，利用主振型的正交性可得：成為對(duì)角方陣。則其中ξi定義為第i階振型的阻尼比。在此狀況下，上面變換后的方程就成為n個(gè)相互獨(dú)立的二階常微分方程：在求出每個(gè)振型坐標(biāo)上的位移