初高中數(shù)學銜接課件（二次方程與不等式）

初高中數(shù)學銜接HELLO目錄CONTENTS數(shù)與式01二次方程02二次不等式03相似形04三角形、圓05二次方程022.1.1根的判別式1、

叫做一元二次方程

＝0（a≠0）的根的判別式。

通常用符號“Δ”來表示。2、判斷一元二次方程

＝0（a≠0）的根的情況（1）當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

＝

；（2）當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

＝

＝－

；（3）當Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根。2.1.1根的判別式例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根。（1）

＝0；（2）

＝0；解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒有實數(shù)根

（2）該方程的根的判別式Δ＝

－4×1×(－1)＝

＋4＞0，

所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根

2.1.1根的判別式當堂練習：判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根。（1）

＝0；（2）

＝0判別式a取值公式法確定值2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）1、如果

＝0（a≠0）的兩根分別是

，

，

那么

＋

＝

，

·

＝

．這一關(guān)系也被稱為韋達定理2、以兩個數(shù)

，

為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）：2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）例：已知兩個數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個數(shù)。解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x，y，則x＋y＝4，①

xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，因此，這兩個數(shù)是－2和6．2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程

＝0的兩個根．

解這個方程，得

＝－2，

＝6．

所以，這兩個數(shù)是－2和6．滿足：以兩個數(shù)

，

為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）：

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

當堂練習：

1、已知，當k取何值時，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實數(shù)根？4．已知方程＝0的兩根為和，求(－3)(－3)的值．

二次不等式03圖象和性質(zhì)一般式頂點式交點式3.1二次函數(shù)圖像和性質(zhì)

（1）當a＞0時，函數(shù)y＝

圖象開口向上；

頂點坐

標為

，對稱軸為直線x＝－

；

當x＜時

，y隨著x的增大

而減??；

當x＞時

，y隨著x的增大而增大；

當x＝時，函數(shù)取最小值y＝

（2）

當a＜0時，函數(shù)的性質(zhì)也可以通過圖像來發(fā)現(xiàn)和記憶。xyOx＝－AxyOx＝－A圖像和性質(zhì)

當堂練習：

1、已知函數(shù)y＝，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值．

解：（1）當a＝－2時，函數(shù)y＝

的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；（2）當－2＜a＜0時，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝a時，函數(shù)取最小值y＝

；（3）當0≤a＜2時，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當a≥2時，當x＝a時，最大值y＝

；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0．圖像和性質(zhì)2、已知函數(shù)y＝

，當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大（?。┲禃r所對應(yīng)的自變量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．函數(shù)的三種表示方法1、一般式：y＝（a≠0）；2、頂點式：y＝

（a≠0），其中頂點坐標是（－h(huán)，k）3、交點式：y＝

（a≠0），其中

，

是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．函數(shù)的三種表示方法拋物線y＝

(a≠0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式Δ＝

存在下列關(guān)系：（1）當Δ＞0時，拋物線y＝

(a≠0)與x軸有兩個交點；

反過來，若拋物線y＝

(a≠0)與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立．（2）當Δ＝0時，拋物線y＝

(a≠0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；

反過來，若拋物線y＝

(a≠0)與x軸有一個交點，則Δ＝0也成立．（3）當Δ＜0時，拋物線y＝

(a≠0)與x軸沒有交點；

反過來，若拋物線y＝

(a≠0)與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立．函數(shù)的三種表示方法

當堂練習：

根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式．（1）圖象經(jīng)過點(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）當x＝3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于(1－，0)和(1＋，0)，并與y軸交于(0，－2)．簡單的二元二次方程組的解法具體步驟是：①先將方程組中的二元一次方程變形，用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；②把所得的代數(shù)式代入另一個方程中，使其轉(zhuǎn)化為一個一元二次方程或一元一次方程；③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把所求的未知數(shù)的值代入第一步所得的關(guān)系中求出另一個未知數(shù)的值；⑤寫出方程組的解．簡單的二元二次方程組的解法例：解方程組(1)當方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時，可將分解得到的兩個二元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個方程組，解這兩個方程組，所得的解都是原方程組的解．(2)當方程組中兩個二元二次方程都可分解為兩個二元一次方程時，將第一個二元二次方程分解所得到的每一個二元一次方程分別與第二個二元二次方程分解所得的每一個二元一次方程組成方程組，可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．

一元二次不等式的解法

二次函數(shù)（

）的圖象

一元二次方程

有兩個不等實根

有兩個相等實根

無實根

R