甘肅省蘭州市第四片區(qū)2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷（解析）

第頁，共頁2024-2025學年第二學期期中考試高一年級數(shù)學學科試卷一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在四邊形中，若，則（）A.四邊形一定是等腰梯形 B.四邊形一定是菱形C.四邊形一定是直角梯形 D.四邊形一定是平行四邊形【答案】D【解析】【分析】運用同起點的向量加法的平行四邊形法則易得.【詳解】對于同起點的向量的和一般通過作平行四邊形得到，由可知，由A，B，C，D構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形.故選：D.2.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則角等于（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理，得到，進而求得的大小，得到答案.【詳解】在中，因為，由正弦定理，可得，因為且，所以或.故選：A.3.向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】因為，，，所以，即.故選：.4.在中，已知，則角A等于（）A.150° B.120° C.60° D.30°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運算求解.【詳解】因為，整理得，由余弦定理可得，且，所以.故選：C.5.已知，其中，求的值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意及同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，利用兩角和的正弦公式，展開可得結(jié)果.【詳解】由，可得，所以，.故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)已知求出，再根據(jù)兩角和的余弦公式求出即可得解.【詳解】由，得，所以，又，所以，所以，又，所以，所以.故選：D.7.已知a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對邊，若的周長為，且，則（）A. B.2C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理把轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，進而根據(jù)的周長求出的值【詳解】由題知周長為①，∵，由正弦定理得②，∴由①②，可解得.故選:C．8.在中，為上一點，且，則實數(shù)值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用，將用表示，替換，再結(jié)合三點共線，即可求出的值.【詳解】，因此，因為三點共線，所以，，故選：B.二、多選題（在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．）9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則與夾角為 D.若與垂直，則【答案】ABD【解析】【分析】運用向量垂直的坐標性質(zhì)、向量模、向量夾角的坐標公式，對每個選項，進行分析和計算.【詳解】對于選項，已知，，若，則，即，解得，所以選項正確.對于選項，若，則，那么.所以，選項正確.對于選項，若，則.，，.則，則與的夾角不是，選項錯誤.對于選項，.若與垂直，則，即.展開可得，即，解得，選項正確.故選：ABD.10.內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，對于，有如下命題，其中正確的有（）A.sin(B+C)=sinAB.cos(B+C)=cosAC.若，則為直角三角形D.若，則為銳角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用三角形內(nèi)角和定理與誘導公式判斷A，B；利用余弦定理計算判斷C，D作答.【詳解】依題意，中，，，A正確；，B不正確；因，則由余弦定理得：，而，即有，為直角三角形，C正確；因，則，而，即有，為鈍角三角形，D不正確.故選：AC11.已知函數(shù)的最小正周期為，則以下命題正確的有（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于軸對稱D.若方程上有兩個不等實數(shù)根，則【答案】ABC【解析】【分析】A：先根據(jù)輔助角公式化簡，再根據(jù)周期公式可求；B：計算的值，根據(jù)是否為最值作出判斷；C：將解析式中的替換為可得結(jié)果；D：作出的圖象，根據(jù)對稱性求得的值，則的值可知.【詳解】A：，因為，所以，故正確；B：因為，即為最小值，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故正確；C：的圖象向右平移個單位長度可得，顯然為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，故正確；D：，作出的圖象如下圖所示，令，所以，當時，，當時，，由圖象可知，的交點關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，故錯誤；故選：ABC.三、填空題12.已知點是角終邊上的一點，則的值為________.【答案】##0.8【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義得到，由余弦二倍角公式求出答案.【詳解】已知角終邊上一點，所以，所以，所以.故答案為：13.計算tan72°－tan42°－tan72°tan42°＝________．【答案】##【解析】【分析】利用正切的差角公式及特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.【詳解】因為，得到，所以，故答案為：.14.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，利用投影向量的公式，可得答案.【詳解】由題意可得在上的投影向量為.故答案為：.四、解答題（解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知向量與的夾角為，且，.（1）求；（2）；（3）求向量與向量的夾角.【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積公式直接得答案；（2）由，再結(jié)合（1）的結(jié)論可求得答案；（3）由向量夾角公式結(jié)合數(shù)量積公式即可求得答案.【小問1詳解】因為向量與的夾角為，且，，則.【小問2詳解】.【小問3詳解】設(shè)向量與向量的夾角，可得，且，則，所以向量與向量的夾角為.16.如圖，在平行四邊形中，點是的中點，連接，記它們的交點為，設(shè).（1）用，表示;（2）求<>的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的加法法則容易得出，然后求出的比值即可；（2）根據(jù)與夾角公式進行求解.【小問1詳解】在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，所以，且所以，所以，即，根據(jù)向量的加法法則，∴【小問2詳解】由，，于是，∴又，∴.17.如圖所示，有一艘緝毒船正在A處巡邏，發(fā)現(xiàn)在北偏東方向、距離為60海里處有毒販正駕駛小船以每小時海里的速度往北偏東的方向逃跑，緝毒船立即駕船以每小時海里的速度前往緝捕．（1）求緝毒船經(jīng)過多長時間恰好能將毒販抓捕；（2）試確定緝毒船行駛方向．【答案】（1）緝毒船經(jīng)過2小時恰好能將毒販抓捕（2）緝毒船的行駛方向為北偏東【解析】【分析】（1）設(shè)緝毒船經(jīng)過t小時恰好能將毒販抓捕，可知，利用余弦定理運算求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用正弦定理可得，進而可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)緝毒船經(jīng)過t小時恰好能將毒販抓捕，由題意可知：，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以緝毒船經(jīng)過2小時恰好能將毒販抓捕.【小問2詳解】由（1）可知：，由正弦定理可得，且為銳角，則，可得，所以緝毒船的行駛方向為北偏東.18.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【小問1詳解】由余弦定理可得：，則，，.【小問2詳解】由三角形面積公式可得，則19.已知點，為坐標原點，函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式及最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（3）若為的內(nèi)角，，求周長的