函數(shù)模型及其應(yīng)用第一課時(shí)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第一冊(cè)

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用(第一課時(shí))我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來(lái)描述的，我們學(xué)過(guò)的函數(shù)模型有哪些呢？二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等等.

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，我們?nèi)绾芜x擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？找出模型后又是如何去研究它的性質(zhì)呢？復(fù)習(xí)注意：建立相應(yīng)函數(shù)模型后，求函數(shù)解析式多采用用待定系數(shù)法.一次函數(shù)模型：y=kx+b(k≠0)二次函數(shù)模型：y=ax2+bx+c(a≠0)指數(shù)函數(shù)模型：對(duì)數(shù)函數(shù)模型：冪函數(shù)模型：分段函數(shù)模型：y=max+n(m≠0,a>0且a≠1)y=mlogax+n(m≠0,a>0且a≠1)y=bxa+c(b≠0,a≠1)這種模型是上述兩種或多種模型的綜合。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)函數(shù)模型引例.某桶裝水銷售部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？銷售單價(jià)(元)6789101112日均銷量(桶)480440400360320280240分析：①銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少多少桶？②銷售利潤(rùn)由哪些因素決定？怎樣計(jì)算較好？③為了建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型，需要做哪些準(zhǔn)備工作？④實(shí)際問(wèn)題的解題書(shū)寫(xiě)應(yīng)注意什么？試著解決問(wèn)題并寫(xiě)出具體解題過(guò)程。應(yīng)用解1:設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均利潤(rùn)為y元,

則日均銷售量為桶而有最大值只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤(rùn)解2:設(shè)每桶水定價(jià)為x元時(shí)，日銷售利潤(rùn)為y元,

則日均銷售量為桶而有最大值只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤(rùn)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟：①審題：弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系；②建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;③解模：求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;④還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論,還原為實(shí)際問(wèn)題．例3.人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y=y0ert，其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.

(1)根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國(guó)1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn).根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在1950～1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型.（溫馨提示：已知由e9r≈1.2167可得r≈0.021876）要確定其中的初始量y0和年平均增長(zhǎng)率r.①人口增長(zhǎng)模型：y=y0ert；（

t是自變量，y是因變量）②t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率；③1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn)；④已知e9r≈1.2167可得r≈0.021876分析:認(rèn)真審題,知道些什么條件？要求解什么？已知所求請(qǐng)同學(xué)們嘗試解決!追問(wèn)：同學(xué)們，既然理論模型已經(jīng)求出，那么你認(rèn)為下面咱們要驗(yàn)證什么呢？(2)利用(1)中的模型計(jì)算1951～1958年，各年末的人口總數(shù)．查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的我國(guó)在1951～1958年間各年末的實(shí)際人口總數(shù)，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.解：(1)由題意知y0=55196，

設(shè)1951～1959年期間人口的年平均增長(zhǎng)率為r，根據(jù)馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型，有67207=55196e9r由計(jì)算工具可得

r≈0.021876.因此我國(guó)在1950～1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型為y=55196e0.021876t，t∈[0，9].驗(yàn)證是否符合實(shí)際的人口數(shù)據(jù)。年份19511952195319541955195619571958計(jì)算所得人口總數(shù)/萬(wàn)5641757665589406024361576629386433065753實(shí)際人口總數(shù)/萬(wàn)5630057482587966026661456628286456365994

(2)分別取t=1，2，…，8，由y0=55196e0.021876t可得我國(guó)在1951～1958年間各年末的人口總數(shù)．查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站，得到我國(guó)在1951～1958年各年末的實(shí)際人口總數(shù)，如下表如示.根據(jù)1950～1959年我國(guó)人口總數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并畫(huà)出函數(shù)y=55196e0.021876t（t∈[0，9]）的圖象。由圖可以看出，所得模型與

1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合．解：將y=130000代入

y=55196e0.021876t，由計(jì)算工具可得

t≈39.15.所以，如果人口按照(1)中的模型增長(zhǎng)，那么大約在1950年后的第40年（即1990年），我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.(3)以(1)中的模型作預(yù)測(cè)，大約在什么時(shí)候我國(guó)人口總數(shù)達(dá)到13億?（溫馨提示：已知e0.021876t≈2.355得t≈39.15）

事實(shí)上，我國(guó)1990年的人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億。對(duì)由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符，你有何看法？思考？

人口模型指的是在自然狀態(tài)下的模型。但是因?yàn)槲覈?guó)人口基數(shù)較大，人口增長(zhǎng)過(guò)快，與我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾，所以我國(guó)從20世紀(jì)70年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策，因此這一階段的人口增長(zhǎng)模型的條件并不符合馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型，自然就出現(xiàn)了一模型得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況。

從中我們認(rèn)識(shí)到中國(guó)共產(chǎn)黨在方針政策上的正確領(lǐng)導(dǎo)，高度認(rèn)識(shí)沒(méi)有共產(chǎn)黨就沒(méi)有一切美好生活！中國(guó)共產(chǎn)黨偉大！注意：在用已知的函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意模型的適用條件.馬爾薩斯偉大！同學(xué)們，看看下面，是一幅什么圖？例4：大家看一下課本的103頁(yè)，我們共同來(lái)解決一下章引言中的問(wèn)題。如2010年，考古學(xué)家對(duì)古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的良渚草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘余量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？分析：因?yàn)樗劳錾餀C(jī)體內(nèi)碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)建立數(shù)學(xué)模型．

y代表是經(jīng)過(guò)的時(shí)間，k代表的是碳14初始量，a代表一年后碳14還保留的比例，x代表經(jīng)過(guò)的年份。追問(wèn)：y=kax這里面的每一個(gè)字母都代表什么？也就是說(shuō)我們只需要將解析式中的a求出就可以解決問(wèn)題了，附加一個(gè)碳14的半衰期為5730年。解：設(shè)樣本中碳14的初始量為k，衰減率為p(0<p<1)，經(jīng)過(guò)x年后，殘余量為y．根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，可選擇如下模型：y=k(1-p)x(k∈R,且k≠0;0<p<1;x≥0)．由碳14的半衰期為5730年，得

于是

所以由樣本中碳14的殘余量約為初始量的55.2％可知，即解得由計(jì)算工具得x≈4912．

因?yàn)?010年之前的4912年是公元前2903年，所以推斷此水壩大概是公元前2903年建成的．練習(xí)1.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為0.3%；1970年世界人口為36億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為2.1%．（1）用馬爾薩斯人口模型計(jì)算，什么時(shí)候世界人口是1650年的2倍？什么時(shí)候世界人口是1970年的2倍？（２）實(shí)際上，1850年以前世界人口就超過(guò)了10億；而2004年世界人口還沒(méi)有達(dá)到72億．你對(duì)同樣的模型得出的兩個(gè)結(jié)果有何看法？2.在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期為21個(gè)月，那么1萬(wàn)只野兔增長(zhǎng)到1億1只野兔大約需要多少年？(教材P.150)3.1959年，考古學(xué)家在河南洛陽(yáng)偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出了一批古建筑群，從其中的某樣本中檢測(cè)出碳14的殘余量約為初始量的62.76%，能否以此推斷二里頭遺址大概是什么年代的？

函數(shù)模型的應(yīng)用。必須明確函數(shù)模型中每一個(gè)字母的函數(shù)含義，很像之前學(xué)過(guò)的待定系數(shù)法，之后再應(yīng)該函數(shù)模型解決問(wèn)題。