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大招5內(nèi)切球半徑秒殺公式
大招總結(jié)
方法1:錐體的內(nèi)切球半徑r=(W為錐體體積,S為表面積.
一般可用等體積法,即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等.
第一步:先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積;
第二步:設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式:
^P-ABC=^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC=
^P-ABC=~^SVABC.『+個(gè)SvPAB.〃+PAC,T+]SYPBC.〃=](SVA8C+S\/PAB+S\PAC+SypBc).幾
第三步:解出廠=31一48c
So-ABC+SQ-PAB+SO-PAC+^O-PBC
方法2:錐形的內(nèi)切球半徑,也可用相似三角形來(lái)求.
如圖,三棱錐P-ABC是正三棱錐,求其外接球的半徑.
第一步:先作出內(nèi)切球的截面圖,旦,分別是兩個(gè)三角形的外心;
第二步:求出=gc。,P。=尸”一r,PD是側(cè)面YABP的高;
CFPC
第三步:由NPOEKPDH,建立等式:——=——,解出r.
DHPD
典型例題
(例1.)(2020-新課標(biāo)III)已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最
大的球的體積為o
解方法1:因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大空呼型該圓錐的內(nèi)切球,如圖,圓錐母線6s=3,
底面半徑5C=1,則其高SC=4BS2-BC2=2拒,不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線切點(diǎn)
D,令OD=OC=r,由VSOD^VSBC,貝U,即——=-,解得
OSBS2y[2-r3
r=,V——7rP=1^萬(wàn),故答案為:1^萬(wàn).
2333
方法2:圓錐的高人=2后,丫=4/?=4工肛=1+31=4萬(wàn),「=史=】但,內(nèi)切球
33S2
體積V=3乃廠3》.
33
例2.如圖,已知球。是棱長(zhǎng)為1的正方體A6cO—A4GR的內(nèi)切球,則平面ACD,
截球。的截面面積為()
71B.£C,旦兀D.2兀
A.
~6363
解:根據(jù)題意知,平面ACDt是邊長(zhǎng)為V2的正三角形,故所求截面的面積是該正三角
5[7
形的內(nèi)切圓的面積,則由圖得,AC。內(nèi)切圓的半徑是—xtan30=—,則所求的截
26
面圓的面積是萬(wàn)x逅x^=工.故選A.
666
例3.在《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬,若
四棱錐M-ABCD為陽(yáng)馬,側(cè)棱平面ABCD,且MA=BC^AB=2,則該陽(yáng)
馬的內(nèi)切球表面積為()
A.24乃-1C.12〃D.24夜乃一16萬(wàn)
1Q
解:由已知可得四棱錐M-ABCD的直觀圖如右所示:其體積V=-x2x2x2=—,其
33
表面積S=2X2+2XLX2X2+2X、2X"萬(wàn)'=8+4夜,故四棱錐M-ABCD的
22
內(nèi)切球半徑R=—=2-72,故該陽(yáng)馬的內(nèi)切球表面積為4萬(wàn)R?=244-16岳,故選
S
A,
例4:如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器中,
再向容器注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如不計(jì)容器的厚度,則球的體積為
()
500乃866431372萬(wàn)2048萬(wàn)
A.cm3B.cmC.D.cm3
3333
解:設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M,則圓心M為正方體上底面正方形的中心.
如圖,設(shè)球的半徑為R,
根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于(R-2)cm,而圓M的半徑為4,由球的截面圓性
質(zhì),得/?2=(/?-2)2+42,解得R=5,
AjrA-rrSDDTF
該球的體積V=—K=一X53=--cn?.故選A.
333
例5:(2021-河南模擬)在三棱錐A-BCD中,
AB^CD=4,AC^BD=AD=BC=3,則該三棱錐的內(nèi)切球的表面積為0
4%.r373萬(wàn)
A.---B.177rC.—D.—
524
解:如圖,在長(zhǎng)方體AHDG-EBFC中,設(shè)EC=c,EB=b,EA=a,則
a2+b2=16,c2+。2=9,a2+c2=9..\a=b=2vc=1,
j11Q
故四面體ABCD的體積V=ahc-4x-x-abc=-abc=-.四面體ABCD的表面積
3233
22
S=45ABC=4x;x4x>/3—2=8>/5,
根據(jù)等體積可得-=-x8V5xr,r=^,
335
2
4兀
該三棱錐的內(nèi)切球的表面積為47rxT
故選A.
例6.(2021-新鄉(xiāng)二模)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是該正四面體內(nèi)切球球面上
的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA-PD取得最小值時(shí),點(diǎn)P到AD的距離為()
3五-巫>76—V32yf2—y/3y/2
--------D.-------C.--------D.---
1212124
解四面體ABCD是棱長(zhǎng)為1的正四面體,
底面BCD外接圓的半徑為
甘什m11..A/3V6V2
/.其體積Vv=-x—xlxlx——X——=——,
322312
設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r,
貝4x-x-xlxlx—xr=^-,得V6
r=——
3221212
如圖,取AD的中點(diǎn)為E,
2-2
貝ijPA.PD=(PE+EA)?(PE+ED)=PE+PE、EA+ED)+EAED=PE一二.則當(dāng)
PE的長(zhǎng)度最小時(shí),PAPD取得最小值,
設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為O,可得OA=OD=?,
4
2_72
球心。到點(diǎn)E的距離d=JoT-A爐=
一4'
球。上的點(diǎn)P至UE的最小距離為d-r=顯一顯J五一口.
41212
即當(dāng)PAPD取得最小值時(shí),點(diǎn)P到AD的距離為故選A.
12
例7.(2021-甘谷縣一模)早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者注意到用等邊三角形或正方形為表面可
構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形,即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體,它們的各個(gè)面和
多面角都全等.已知正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體,共有12個(gè)頂點(diǎn),
(15+5或③
30條棱,20個(gè)面,正二十面體的體積公式為V(其中。為棱長(zhǎng)),己知
12
一個(gè)正二十面體各棱長(zhǎng)之和為305則該正二十面體內(nèi)切球的半徑為()
3+石3+V5°3+63+75
24612
解:由題可知,正二十面體的棱長(zhǎng)a=百,設(shè)正二十面體內(nèi)切球的半徑為
1C(15+5君)3+x/s
2
r,20x-x^axr=A------------L,a\解得「=牛4,故選民
34124
例8.(2021秋-景德鎮(zhèn)期末)拱尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式.依其平面有圓形
攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖.也有單檐和重檐之分.多見(jiàn)于亭閣式建筑,園林建筑.
以八中校園騰龍閣為例,它屬重檐四角攢尖,它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐,若此正
四棱錐的側(cè)面積是底面積的3倍,則此正四棱雉的內(nèi)切球半徑與底面邊長(zhǎng)比為()
t/
>/3?近
D.c立D.V3
3----------------42
解:設(shè)底邊邊長(zhǎng)為a,正四棱錐的高為A,則斜高為,所以側(cè)面積為
4x—xa,即為4x—x(2.=3a2,解得h=6a.
設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球半徑為r,
由等積法可得-xi/2x/?=-x46f2xr,
33
所以r=4=也”,即£=立.故選B.
44a4
自我檢測(cè)
1.已知一個(gè)正四面體的俯視圖如圖所示,其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3友的正方形,則
該正四面體的內(nèi)切球的表面積為。
A.6萬(wàn)B.547C.127rD.48乃
2.已知棱長(zhǎng)都相等的正四棱錐的側(cè)面積為16石,則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為()
3.已知在三棱錐S-ABC中,SA=
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