換元積分法完

§4.2

換元積分法一、第一換元積分法二、第二換元積分法1與它們對(duì)應(yīng)的是本節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法.在積分運(yùn)算中,微分運(yùn)算中有一個(gè)重要法則:換元積分法-----基本積分法.2第一類換元法基本思路

設(shè)可導(dǎo),則有為熟悉的形式.3問題？解決方法變量替換.過程令一、第一類換元法錯(cuò)4第一類換元公式(也稱湊微分法說明3.使用此公式的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于將化為1.此公式說明積分表中x為中間變量也成立,使積分表適用的范圍更廣.2.此積分法是與微分學(xué)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則或一階微分形式不變性相對(duì)應(yīng).,配元法)5化為6例

求解（1）解（2）解（3）

同一個(gè)積分用不同的方法計(jì)算,可能得到表面上不一致的結(jié)果,但是實(shí)際上都表示同一族函數(shù).注7例

求解一般地8常見的湊微分類型有萬能湊冪法910例

求解11例

求解12練習(xí)13例

求解要記住!14例

求解15且有很大的靈活性,可通過三角恒等變換、第一換元積分法是不定積分的基礎(chǔ)，加一項(xiàng)減一項(xiàng)、代數(shù)運(yùn)算、上，下同除以一個(gè)因子等方法，使積分變得易求.16例

求解17例解原式=同理18一般地通過配方后都可以利用下列公式積分19例

求解法120法221法3練習(xí)22例

求原式解23例

求解類題24例

解原式=同理25例

求解26例

求解27例

求解拆開奇次項(xiàng)去湊微分;用倍角公式降冪,再積分.

注28例

求解不同角度的正弦、余弦之積的積分常用積化和差公式來化簡(jiǎn).注29例

求解（1）30解（2）類似地31基本積分表(2)32例

求解33解例

設(shè)

求

.令法134法2令則它是函數(shù)此方法中應(yīng)注意的含義,注意35問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令二、第二類換元法36==第二類積分換元法的關(guān)鍵是尋找合適的變量替換，使得變換后的被積形式容易積分.37第二類換元法第一類換元法38例

求解令輔助三角形

回代39例

求解輔助三角形40通過變換利用相應(yīng)的三角變換,相仿地,可算出還可得到重要公式要記住!41以上幾例所使用的均為三角代換的目的當(dāng)被積函數(shù)中含有令令令雙曲代換

回代時(shí),一定要借助輔助三角形.三角代換.是化掉根式.一般規(guī)律:雙曲函數(shù)的恒等式

說明42例

求解法143法2原式=回代44例

解1令

回代45例

令解2回代46例

求解令47提示:法1法2法3例

求48求解1令（當(dāng)分母的階較高）練習(xí)4950求解2令

回代51說明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式

時(shí)，可采用令（其中

n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例

求解令52基本積分表(2)5354解練習(xí)55令法156令法257

3.下列各題求積方法有何不同?58解{4.求積分59小結(jié)1.兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換2.基本積分表(2)60作業(yè)習(xí)題4-2(185頁)1.(2)(4)(5)(6)(7)(8)(11)(15)(16)2.奇數(shù)3.(1)(2)(3)(6)61求解

思考題1原式=62由條件解思考題263練習(xí)646566676869707172應(yīng)先將絕對(duì)值符號(hào)