2024屆上海市寶山中學數(shù)學高一上期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆上海市寶山中學數(shù)學高一上期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．函數(shù)（為自然對數(shù)的底）的零點所在的區(qū)間為A. B.C. D.2．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為（）A. B.C. D.3．已知關于的方程在區(qū)間上存在兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．設命題：，則的否定為（）A. B.C. D.5．若是三角形的一個內(nèi)角，且，則三角形的形狀為（）A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.無法確定6．將函數(shù)圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一個對稱中心是（）A. B.C. D.7．與2022°終邊相同的角是（）A. B.C.222° D.142°8．不等式的解集是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.10．已知集合，集合，則下列結論正確的是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．若直線經(jīng)過點，且與斜率為的直線垂直，則直線的方程為__________12．在中，已知，則______.13．若函數(shù)與函數(shù)的最小正周期相同，則實數(shù)______14．已知函數(shù)（1）當時，求的值域；（2）若，且，求的值；15．函數(shù)一段圖象如圖所示則的解析式為______三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，.（1）求證：；（2）若為等邊三角形，，平面平面，求四棱錐的體積.17．已知為第三象限角，且.（1）化簡；（2）若，求的值.18．（1）計算：；（2）已知，求的值.19．已知函數(shù)，其中（1）當時，求不等式的解集；（2）若關于x的方程的解集中恰好有一個元素，求m的取值范圍；（3）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求m的取值范圍20．近年來，隨著我市經(jīng)濟的快速發(fā)展，政府對民生越來越關注市區(qū)現(xiàn)有一塊近似正三角形的土地（如圖所示），其邊長為2百米，為了滿足市民的休閑需求，市政府擬在三個頂點處分別修建扇形廣場，即扇形和，其中與、分別相切于點，且與無重疊，剩余部分（陰影部分）種植草坪.設長為（單位：百米），草坪面積為（單位：萬平方米）.（1）試用分別表示扇形和的面積，并寫出的取值范圍；（2）當為何值時，草坪面積最大？并求出最大面積.21．計算下列各式的值（1）；（2）

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、B【解析】分析：先判斷函數(shù)的單調性，然后結合選項，利用零點的存在定理，即可求解.詳解：由題意，函數(shù)為單調遞減函數(shù)，又因為，由函數(shù)的零點判斷可知，函數(shù)的零點在區(qū)間，故選B.點睛：本題主要考查了函數(shù)的零點的判定定理及應用，其中熟記函數(shù)的零點的存在定理是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.2、C【解析】將點的坐標代入函數(shù)解析式，求出的值即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，則.故選：C.3、C【解析】本題首先可根據(jù)方程存在兩個不同的實數(shù)根得出、，然后設，分為、兩種情況進行討論，最后根據(jù)對稱軸的相關性質以及的大小即可得出結果.【詳解】因為方程存在兩個不同的實數(shù)根，所以，，解得或，設，對稱軸為，當時，因為兩個不同實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，當時，因為兩個不同的實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.4、B【解析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因為命題：，所以的否定：，故選：B【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，是基礎題.5、A【解析】已知式平方后可判斷為正判斷的正負，從而判斷三角形形狀【詳解】解：∵，∴，∵是三角形的一個內(nèi)角，則，∴，∴為鈍角，∴這個三角形為鈍角三角形.故選：A6、D【解析】先由函數(shù)平移得解析式，再令，結合選項即可得解.【詳解】將函數(shù)圖象向左平移個單位，可得.令，解得.當時，有對稱中心.故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖像平移及正弦型三角函數(shù)的對稱中心的求解，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.7、C【解析】終邊相同的角，相差360°的整數(shù)倍，據(jù)此即可求解.【詳解】∵2022°＝360°×5＋222°，∴與2022°終邊相同的角是222°.故選：C.8、B【解析】利用一元二次不等式的解法即得.【詳解】由可得，，故不等式的解集是.故選：B.9、C【解析】先由題意得到二次函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且在上恒成立；列出不等式組求解，即可得出結果.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，所以只需二次函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且在上恒成立；所以有：，解得；故選C【點睛】本題主要考查由對數(shù)型復合函數(shù)的單調性求參數(shù)的問題，熟記對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質即可，屬于常考題型.10、B【解析】由題意得，結合各選項知B正確．選B二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】與斜率為的直線垂直，故得到直線斜率為又因為直線經(jīng)過點，由點斜式故寫出直線方程，化簡為一般式：故答案為．12、11【解析】由.13、【解析】求出兩個函數(shù)的周期，利用周期相等，推出a的值【詳解】：函數(shù)的周期是；函數(shù)的最小正周期是：；因為周期相同，所以，解得故答案為【點睛】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的周期的求法，考查計算能力14、（1）（2）【解析】（1）化簡函數(shù)解析式為，再利用余弦函數(shù)的性質求函數(shù)的值域即可；（2）由已知得，利用同角之間的關系求得，再利用湊角公式及兩角差的余弦公式即可得解.【小問1詳解】，，利用余弦函數(shù)的性質知，則【小問2詳解】，又，，則則15、【解析】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，從而得到函數(shù)的解析式【詳解】由函數(shù)的圖象的頂點的縱坐標可得，再由函數(shù)的周期性可得，再由五點法作圖可得，故函數(shù)的解析式為，故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）詳見解析；（2）2【解析】（1）根據(jù)題意作于，連結，可證得，于是，故，然后根據(jù)線面垂直的判定得到平面，于是可得所證結論成立．（2）由（1）及平面平面可得平面，故為四棱錐的高．又由題意可證得四邊形為有一個角為的邊長為的菱形，求得四邊形的面積后可得所求體積【詳解】（1）作于，連結.∵，，是公共邊，∴，∴∵，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴（另法：證明,取的中點.）（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面又為等邊三角形，，∴.又由題意得，，是公共邊，∴，∴，∴平行四邊形為有一個角為的邊長為的菱形，∴，∴四棱錐的體積【點睛】（1）證明空間中的垂直關系時，要注意三種垂直關系間的轉化，合理運用三種垂直關系進行求解，以達到求解的目的，同時在證題中要注意平面幾何知識的運用（2）立體幾何中的計算問題中往往涉及到證明，同時在證明中滲透著計算，計算時要注意中間量的求解，最后再結合面積、體積公式得到所求17、（1）；（2）﹒【解析】(1)利用三角函數(shù)的誘導公式即可化簡；(2)根據(jù)求出sinα，＝－cosα＝即可求得﹒【小問1詳解】【小問2詳解】∵，∴，又為第三象限角，∴，∴18、（1）；（2）.【解析】（1）利用湊特殊角的方法結合和角的正弦公式化簡求解作答；（2）將給定等式兩邊平方，再利用二倍公式、同角公式計算作答.【詳解】（1）依題意，；（2）將兩邊平方得，，即，即，所以，.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）當時，解對數(shù)不等式即可（2）根據(jù)對數(shù)的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論的取值范圍進行求解即可（3）根據(jù)條件得到恒成立，利用二次函數(shù)的性質求最值即求.【小問1詳解】由，得，即∴且，解得【小問2詳解】由題得，即，①當時，，經(jīng)檢驗，滿足題意②當時，（ⅰ）當時，，經(jīng)檢驗，不滿足題意（ⅱ）當且時，，，是原方程的解當且僅當，即；是原方程的解當且僅當，即因為解集中恰有一個元素則滿足題意的m不存在綜上，m的取值范圍為【小問3詳解】當時，，所以在上單調遞減∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，即，對任意成立因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，當時，y有最小值，由，得故m的取值范圍為20、（1），，；（2）時，草坪面積最大，最大面積為萬平方米.【解析】（1）因為，所以可得三個扇形的半徑，圓心角都為，由扇形的面積公式可得答案；（2）用三角形面積減去三個扇形面積可得草坪面積，再利用二次函數(shù)可求出最值.【詳解】（1），則，，在扇形中，的長為，所以，同理，.∵與無重疊，∴，即，則.又三個扇