2024屆上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、盧高、東昌等七校高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2024屆上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、盧高、東昌等七校高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．形如的函數(shù)因其圖像類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動(dòng)地稱為“囧函數(shù)”.若函數(shù)有最小值，則“囧函數(shù)”與函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2C.4 D.62．下列與的終邊相同的角的集合中正確的是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知集合，則=A. B.C. D.5．下列各角中與角終邊相同的角是()A.－300° B.－60°C.600° D.1380°6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B.C. D.7．函數(shù)的圖像大致是A. B.C. D.8．從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績構(gòu)成，等級(jí)性考試成績位次由高到低分為A、B、C、D、E，各等級(jí)人數(shù)所占比例依次為：A等級(jí)15%，B等級(jí)40%，C等級(jí)30%，D等級(jí)14%，E等級(jí)1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級(jí)性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（）A.30 B.60C.80 D.289．已知函數(shù)，則，（）A.4 B.3C. D.10．若指數(shù)函數(shù)，則有（）A.或 B.C. D.且11．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長的棱長度為（）A. B.C. D.12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．定義：關(guān)于的兩個(gè)不等式和的解集分別為和，則稱這兩個(gè)不等式為相連不等式．如果不等式與不等式為相連不等式，且，則_________14．函數(shù)，函數(shù)有______個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．已知函數(shù)，的圖像在區(qū)間上恰有三個(gè)最低點(diǎn)，則的取值范圍為________16．已知函數(shù)（且）只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知（1）若a=2，求（2）已知全集，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍19．已知（1）化簡；（2）若，求值20．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且.（1）求a2＋b2的最小值；（2）若，求ab的值21．空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級(jí)如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個(gè)城市月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計(jì)甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個(gè)記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大?。ńY(jié)論不要求證明）22．已知函數(shù)為上奇函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】令，根據(jù)函數(shù)有最小值，可得，由此可畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，由圖象分析可得結(jié)果.【詳解】令，則函數(shù)有最小值∵，∴當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，在上有最小值，∴當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，在上無最小值，∴.此時(shí)“囧函數(shù)”與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖所示，由圖象可知，它們的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查學(xué)生畫圖能力和數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用，屬中檔題.2、C【解析】由任意角的定義判斷【詳解】，故與其終邊相同的角的集合為或角度制和弧度制不能混用，只有C符合題意故選：C3、B【解析】可知分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只需要每段函數(shù)單調(diào)遞增且在臨界點(diǎn)處的函數(shù)值左邊小于等于右邊，列出不等式即可【詳解】可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以；對稱軸，即；臨界點(diǎn)處，即；綜上所述：故選：B4、B【解析】由題意，所以．故選B考點(diǎn)：集合的運(yùn)算5、A【解析】與角終邊相同的角為：.當(dāng)時(shí)，即為－300°.故選A6、B【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結(jié)合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B7、A【解析】依題意，，函數(shù)為減函數(shù)，且由向右平移了一個(gè)單位，故選.點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查圖像的平移變換.對于對數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，圖像過，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，圖像過.函數(shù)與函數(shù)的圖像可以通過平移得到，口訣是“左加右減”.在平移過程中要注意原來圖像的邊界.8、C【解析】根據(jù)分層抽樣的概念即得【詳解】由題可知該樣本中獲得B等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為故選：C9、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以故選：D10、C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，由所給解析式，可直接求解.【詳解】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù)，所以，解得.故選：C11、A【解析】先由三視圖得出該幾何體的直觀圖，結(jié)合題意求解即可.【詳解】由三視圖可知其直觀圖，該幾何體為四棱錐P-ABCD，最長的棱為PA，則最長的棱長為，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題型.12、C【解析】由題意得，，故，故選C考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、＃?！窘馕觥慷尾坏仁浇獾倪吔缰导礊榕c之對應(yīng)的二次方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，整理得，結(jié)合范圍判定求值【詳解】設(shè)的解集為，則的解集為由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得∴，即∴，即又∵，則∴，即故答案為：14、①.1②.【解析】(1)畫出圖像分析函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)條件轉(zhuǎn)換為有三個(gè)不同的交點(diǎn)求實(shí)數(shù)的取值范圍問題,數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】(1)由題,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),對稱軸為,且過開口向下.故畫出圖像有故函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).又有三個(gè)不同的交點(diǎn)則有圖像有最大值為.故.故答案為：(1).1(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問題,屬于中檔題.15、【解析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】解：，，根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的特點(diǎn)知，軸左側(cè)有1個(gè)或2個(gè)最低點(diǎn)①若函數(shù)圖象在軸左側(cè)僅有1個(gè)最低點(diǎn)，則，解得，，，此時(shí)在軸左側(cè)至少有2個(gè)最低點(diǎn)函數(shù)圖象在軸左側(cè)僅有1個(gè)最低點(diǎn)不符合題意；②若函數(shù)圖象在軸左側(cè)有2個(gè)最低點(diǎn)，則，解得，又，則，故，時(shí)，在，恰有3個(gè)最低點(diǎn)綜上所述，故答案：16、或或【解析】∵函數(shù)（且）只有一個(gè)零點(diǎn)，∴∴當(dāng)時(shí)，方程有唯一根2，適合題意當(dāng)時(shí)，或顯然符合題意的零點(diǎn)∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為或或故答案為或或點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，計(jì)算，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得，，即可得函數(shù)在R上的解析式；（2）作出函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)圖像，列關(guān)于的不等式組求解.詳解】（1）設(shè)，則，所以又為奇函數(shù)，所以，于是時(shí)，，所以函數(shù)的解析式為（2）作出函數(shù)的圖像如圖所示，要使在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象知，所以，所以的取值范圍是.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)解絕對值不等式的方法，結(jié)合二次根式的性質(zhì)、集合交集的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)解絕對值不等式的方法、集合補(bǔ)集的定義，結(jié)合子集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)a=2時(shí)，因?yàn)?，，所以；【小?詳解】，因?yàn)?，所以，因此有或，解得或，因此?shí)數(shù)a的取值范圍為.19、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式化簡即得；（2）根據(jù)可知，從而求得結(jié)果.【小問1詳解】由誘導(dǎo)公式可得：；【小問2詳解】由于，有，得，，可得故的值為.20、（1）1；（2）1.【解析】（1）根據(jù)和可得結(jié)果；（2）由得，將化為解得結(jié)果即可.【詳解】（1）因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且，所以，即ab≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)，所以a2＋b2的最小值為1.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即，所?ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，因?yàn)?，所以ab＝1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）；（3）【解析】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良有天，利用頻率估計(jì)概率的思想可求得結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，則估計(jì)甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為；（2）由題意，分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，用表示“這兩個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，則事件包含的基本事件有：、、、，共個(gè)基本事件，所以，；（3）【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解古典概型概率的問題有如下方法：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.22、（1）；（2）【解析】（1）由奇函數(shù)得到，再由多項(xiàng)式相等可得；（2）由是奇函數(shù)和已知得到，再利用是上的單調(diào)增函數(shù)