北京市清華附中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

北京市清華附中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．我國東漢數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若，，，則（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)（，且）在上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是A. B.[，]C.[，]{} D.[，）{}3．為了鼓勵大家節(jié)約用水，遵義市實行了階梯水價制度，下表是年遵義市每戶的綜合用水單價與戶年用水量的關(guān)系表．假設(shè)居住在遵義市的艾世宗一家年共繳納的水費為元，則艾世宗一家年共用水（）分檔戶年用水量綜合用水單價/（元）第一階梯（含）第二階梯（含）第三階梯以上A. B.C. D.4．若，，，則、、大小關(guān)系為（）A. B.C. D.5．四邊形中，，且，則四邊形是（）A.平行四邊形 B.菱形C.矩形 D.正方形6．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時，，則關(guān)于的函數(shù)，（）的所有零點之和為（）A. B.C. D.8．已知實數(shù)，滿足，則函數(shù)零點所在區(qū)間是()A. B.C. D.9．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)是（）A. B.C. D.10．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少要經(jīng)過（）小時才能駕駛.（參考數(shù)據(jù)：，）A.1 B.3C.5 D.7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的圖象恒過定點,點在冪函數(shù)的圖象上,則=____________12．已知，且是第三象限角，則_____；_____13．如圖，全集，A是小于10的所有偶數(shù)組成的集合，，則圖中陰影部分表示的集合為__________.14．已知函數(shù)其中且的圖象過定點，則的值為______15．已知，且，則=_______________.16．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P=3-6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q=a+2，設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城市的總收益為f(x)(單位：萬元).（1）當(dāng)甲城市投資50萬元時，求此時公司的總收益；（2）試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大?18．如圖，在直三棱柱中，底面為等邊三角形，.（Ⅰ）求三棱錐的體積；（Ⅱ）在線段上尋找一點，使得，請說明作法和理由.19．在甲、乙兩個盒子中分別裝有標(biāo)號為1，2，3，4的四個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個球被取出的可能性相等.（1）求取出的兩個球上標(biāo)號為相同數(shù)字的概率；（2）若兩人分別從甲、乙兩個盒子中各摸出一球，規(guī)定：兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由.20．如圖，、分別是的邊、上的點，且，，交于.（1）若，求的值；（2）若，，，求的值.21．已知函數(shù)（1）若成立，求x的取值范圍；（2）若定義在R上奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，求在的解析式，并寫出在的單調(diào)區(qū)間（不必證明）（3）對于（2）中的，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】利用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可【詳解】∵∴∵∴＝∴＝，∴故選：C2、C【解析】由在上單調(diào)遞減可知，由方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，可知，，又時，拋物線與直線相切，也符合題意，∴實數(shù)的取值范圍是，故選C.【考點】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解3、B【解析】設(shè)戶年用水量為，年繳納稅費為元，根據(jù)題意求出的解析式，再利用分段函數(shù)的解析式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)戶年用水量為，年繳納的稅費為元，則，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，解得，所以艾世宗一家年共用水.故選：B4、B【解析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)把已知數(shù)與0和1比較后可得【詳解】，，，所以故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查實數(shù)的大小比較，對于冪、對數(shù)、三角函數(shù)值的大小比較，如果能應(yīng)用相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)該利用單調(diào)性比較，如果不能轉(zhuǎn)化，或者是不同類型的的數(shù)，可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)與特殊值如0或1等比較后可得結(jié)論5、C【解析】由于，故四邊形是平行四邊形，根據(jù)向量加法和減法的幾何意義可知，該平行四邊形的對角線相等，故為矩形.6、C【解析】本題首先可根據(jù)方程存在兩個不同的實數(shù)根得出、，然后設(shè)，分為、兩種情況進(jìn)行討論，最后根據(jù)對稱軸的相關(guān)性質(zhì)以及的大小即可得出結(jié)果.【詳解】因為方程存在兩個不同的實數(shù)根，所以，，解得或，設(shè)，對稱軸為，當(dāng)時，因為兩個不同實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，當(dāng)時，因為兩個不同的實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.7、B【解析】作函數(shù)與的圖象，從而可得函數(shù)有5個零點，設(shè)5個零點分別為，從而結(jié)合圖象解得【詳解】解：作函數(shù)與的圖象如下，結(jié)合圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個交點，故函數(shù)有5個零點，設(shè)5個零點分別為，∴，，，故，即，故，故選B【點睛】本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于?？碱}型.8、B【解析】首先根據(jù)已知條件求出，的值并判斷它們的范圍，進(jìn)而得出的單調(diào)性，然后利用零點存在的基本定理即可求解.【詳解】∵，，∴，，∴，且為增函數(shù)，故最多只能有一個零點，∵，，∴，∴在內(nèi)存在唯一的零點.故選：B.9、C【解析】是非奇非偶函數(shù)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)；是奇函數(shù)，在定義域內(nèi)不單調(diào)；y=－x3是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)；非奇非偶函數(shù)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)；故選C10、C【解析】設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算計算可得.詳解】設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則，即由于在定義域上單調(diào)遞減，∴∴他至少經(jīng)過5小時才能駕駛.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】因為函數(shù)圖象恒過定點，則可之令2x-3=1,x=2,函數(shù)值為4，故過定點（2，4），然后根據(jù)且點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè),故可知=9，故答案為9.考點：對數(shù)函數(shù)點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象過定點（1，0），即令真數(shù)為1求對應(yīng)的x和y，則是所求函數(shù)過定點的坐標(biāo)12、①.##②.##0.96【解析】利用平方關(guān)系求出，再利用商數(shù)關(guān)系及二倍角的正弦公式計算作答.【詳解】因，且是第三象限角，則，所以，.故答案為：；13、【解析】根據(jù)維恩圖可知，求，根據(jù)補集、交集運算即可.【詳解】，A是小于10的所有偶數(shù)組成的集合，，，由維恩圖可知，陰影部分為,故答案為：14、1【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過定點，即可求出【詳解】函數(shù)其中且的圖象過定點，，，則，故答案為1【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)圖象恒過定點的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，最后利用求解即可.【詳解】由，且得則，則.故答案為：.16、；【解析】因為函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到,所以的最小值為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）43.5(萬元)；（2）甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元.【解析】（1）直接代入收益公式進(jìn)行計算即可.（2）由收益公式寫出f(x)=-x+3+26，令t=，將函數(shù)轉(zhuǎn)為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）當(dāng)x=50時，此時甲城市投資50萬元，乙城市投資70萬元，所以公司的總收益為3-6+×70+2=43.5(萬元).（2）由題知，甲城市投資x萬元，乙城市投資(120-x)萬元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，依題意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=，則t∈[2，4]，所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.當(dāng)t=6，即x=72萬元時，y的最大值為44萬元，所以當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44萬元.【點睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求解，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)見解析【解析】（1）取BC中點E連結(jié)AE，三棱錐C1﹣CB1A的體積，由此能求出結(jié)果．（2）在矩形BB1C1C中，連結(jié)EC1，推導(dǎo)出Rt△C1CE∽Rt△CBF，從而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，連結(jié)CF，CF即為所求直線解析：（1）取中點連結(jié).在等邊三角形中，，又∵在直三棱柱中，側(cè)面面，面面，∴面，∴為三棱錐的高，又∵，∴，又∵底面為直角三角形，∴，∴三棱錐的體積（2）作法：在上取，使得，連結(jié)，即為所求直線.證明：如圖，在矩形中，連結(jié)，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵面，而面，∴，又∵，∴面，又∵面，∴.點睛：這個題目考查的是立體幾何中椎體體積的求法，異面直線垂直的證法；對于異面直線的問題，一般是平移到同一平面，再求線線角問題；或者通過證明線面垂直得到線線垂直；對于棱錐體積，可以等體積轉(zhuǎn)化到底面積和高好求的椎體中19、（1）（2）這樣規(guī)定公平，詳見解析【解析】（1）利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解；（2）利用古典概型及其概率的計算公式，求得的概率，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)從甲、乙兩個盒子中各取1個球，其數(shù)字分別為x、y.用表示抽取結(jié)果，可得，則所有可能的結(jié)果有16種，（1）設(shè)“取出的兩個球上的標(biāo)號相同”為事件A，則，事件A由4個基本事件組成，故所求概率.（2）設(shè)“甲獲勝”為事件B，“乙獲勝”為事件C，則，.可得，即甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率也是，所以這樣規(guī)定公平.【點睛】本題主要考查了古典概型的概率的計算及應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題題.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法則可求出、的值，進(jìn)而可計算出的值；（2）設(shè)，設(shè)，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，可得出關(guān)于、的表達(dá)式，然后用、表示，最后利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義即可計算出的值.【詳解】（1），，，因此，；（2）設(shè)，再設(shè)，則，即，所以，，解得，所以，因此，.【點睛】本題考查利用平面向量的基本定理求參數(shù)，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來表示向量，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）（2），在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（3）【解析】（1）把題給不等式轉(zhuǎn)化成對數(shù)不等式，解之即可；（2）利用題給條件分別去求和的函數(shù)解析式，再綜合寫成分段函數(shù)即可解決；