專題19 圓的基本性質(zhì)-解析版

專題19圓的基本性質(zhì)★知識點(diǎn)1：圓的基礎(chǔ)概念圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小?！狙a(bǔ)充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。典例分析【例1】（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）直徑是弦，但弦不一定是直徑；（2）半圓是弧，但弧不一定是半圓；（3）半徑相等且圓心不同的兩個(gè)圓是等圓；（4）一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)弧．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)弦和直徑的定義可得判斷（1）；根據(jù)弧的定義可以判斷（2）；根據(jù)等圓的定義可以判斷（3）；根據(jù)優(yōu)弧、劣弧的定義可以判斷（4）；從而得到答案．【詳解】解：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓中最長的弦，直徑是弦，但弦不一定是直徑，故（1）說法正確，符合題意；圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，半圓是弧，但弧不一定是半圓，故（2）說法正確，符合題意；半徑?jīng)Q定圓的大小，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓，半徑相等且圓心不同的兩個(gè)圓是等圓，故（3）說法正確，符合題意；弧可以分為劣弧、優(yōu)弧、半圓三種，一條直徑把圓分成兩個(gè)半圓，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半徑的弧叫做優(yōu)弧，直徑把圓分成兩段弧，既不是優(yōu)弧也不是劣弧，故（4）說法正確，不符合題意；綜上所述，正確的個(gè)數(shù)3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本概念，判斷命題的真假，熟練掌握圓的基本概念是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．【詳解】∵圓中最長的弦為直徑，∴．∴故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，圖中⊙O的弦共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)弦的定義即可求解．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是一個(gè)圓里最長的弦．【詳解】解：圖中有弦共3條，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了弦的定義，理解弦的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·甘肅定西·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P到圓上的點(diǎn)的最大距離為6，最小距離為4，則此圓的半徑為（

）A．2 B．5 C．1 D．5或1【答案】D【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，分別求解即可得到答案．【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，此時(shí)，，此圓的半徑為；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，此時(shí)，，此圓的半徑為；綜上可知，此圓的半徑為1或5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．★知識點(diǎn)2：弦、弧、弦心距弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。典例分析【例1】（2021秋·廣東江門·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E均在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，可得，由圓心角定理可得．【詳解】解：連接，如圖，

∵，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．【例2】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點(diǎn)G，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，若，，則的長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到，，再利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，再證明，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，是的直徑，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)A、B、C均在上，點(diǎn)A是中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系即可解答．【詳解】解：A、∵點(diǎn)A是中點(diǎn)，∴，∴，無法得出，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、如圖：連接，∵，∴，∵，∴，∴，故此選項(xiàng)正確；C、∵，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、無法得出，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，則度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓心角的度數(shù)得出即可．【詳解】解：圓心角，圓心角對的弧的度數(shù)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，注意：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．★知識點(diǎn)3：垂徑定理求值垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點(diǎn)）：（1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長度；（2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分。典例分析【例1】（2023春·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，的半徑垂直于弦，垂足為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，．若，，則的面積為（

）

A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)垂徑定理可得出，用勾股定理可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x的值,進(jìn)而得出的長度，再根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，在中，，即，解得：，即，∵為的中位線，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、三角形的中位線以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出的長度屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)勾股定理找出方程是關(guān)鍵．【例2】．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，且，則這段彎路所在圓的半徑為（

）

A． B．20m C．30m D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，由垂徑定理得到，再由可得三點(diǎn)共線，設(shè)圓的半徑為，則，再求出，解直角三角形得到，由此建立方程求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∵，∴三點(diǎn)共線，設(shè)圓的半徑為，則，∵，，∴，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，解直角三角形，利用垂徑定理證明三點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，圓的半徑垂直弦于點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)，連接．若，，則長為()A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的半徑為，根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)而在中，勾股定理求得半徑，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)的半徑為．，，為直徑，，是的中點(diǎn)，，在中，∴，∴，（負(fù)值舍去），，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，若，，則的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】連接，由垂徑定理求出的長，由勾股定理求出的長，即可得到的長．【詳解】解：如圖，連接，直徑，，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握定理，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)4垂徑定理求平行弦問題典例分析【例1】．（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\(yùn)用．【例2】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，原說法正確，符合題意；D、若也是直徑，則原說法不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時(shí)熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）的半徑為，弦，，，則、間的距離是：（

）A． B． C．或 D．以上都不對【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，AB、CD在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)兩種情況分別計(jì)算求出EF即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)O作OF⊥CD于F，交AB于點(diǎn)E，∵，∴OE⊥AB，在Rt△AOE中，OA=10，AE=AB=8，∴OE=6，在Rt△COF中，OC=10，CF=CD=6，∴OF=8，當(dāng)AB、CD在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，、間的距離EF=OF-OE=8-6=2；當(dāng)AB、CD在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，AB、CD間的距離EF=OE+OF=6+8=14，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，在圓中通常利用垂徑定理和勾股定理求半徑、弦的一半、弦心距三者中的一個(gè)量.2．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，則DE的長為（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】設(shè)AB與CD交于H，連接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根據(jù)垂徑定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，進(jìn)而求得BC，求得ON，根據(jù)三角形函數(shù)求得DG，因?yàn)镸N=DG，即可求得OM，根據(jù)勾股定理求得DM，得出DE．【詳解】解：設(shè)AB與CD交于H，連接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴四邊形DMNG是矩形，∴DG=MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM=EM=DE，BN=CN，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH=DH=CD=3，∴OH==4，∴BH=9，∴BC==3，∴BN=BC=，∴ON=，∵sin∠BCH=，即，∴DG=，∴MN=DG=，∴OM=MN-ON=，∴DM==，∴DE=2DM=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的知識，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)5垂徑定理求其它問題典例分析【例1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知△ABC的邊BC=，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【答案】C【分析】連接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)可求得∠BOD=60°，從而求得答案.注意弦所對的圓周角有銳角和鈍角兩種情況.【詳解】①當(dāng)△ABC時(shí)銳角三角形時(shí)，連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，∴

，∵OB=2∴∴∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，∵=，∴；②當(dāng)△ABC時(shí)鈍角三角形時(shí)，如圖，由①可知∠E=60°，∵四邊形ABEC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠A=180°，∴∠A=180°-60°=120°.故∠A的度數(shù)為60°或120°.故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【例2】（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．【答案】D【詳解】解：O為圓心的兩個(gè)同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，C點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，即AC=BC==6；并且OC⊥AB，在中，由勾股定理得，所以；AO=8cm，所以，所以O(shè)C=故選：【點(diǎn)睛】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質(zhì)，熟悉勾股定理的內(nèi)容.即學(xué)即練1．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，那么所對的圓心角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作，的垂直平分線即可得到圓心，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：作的垂直平分線，作的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過，所以點(diǎn)為這條圓弧所在圓的圓心．連接，，在與中，∴，∴，，∵，∴，∴，即所對的圓心角的大小是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也常用來確定圓心的方法．2．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE=6，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面積求得CF，最后由垂徑定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【詳解】解：如圖，過O作OG⊥AB于G，連接OC、OM，∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC＝DE＝3，∵OM＝3，∴只有OG最小，GM才能最大，從而MN有最大值，∴只有C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小，過C作CF⊥AB于F，∴G和F重合時(shí)，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∵AC?BC＝AB?CF，∴CF＝，∴OG＝CF?OC＝，∴MG＝＝，∴MN＝2MG＝故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂線段最短，垂徑定理等知識，正確作出輔助線，得出C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)6判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部QUOTEd>r?d>r?點(diǎn)QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上QUOTEd=r?d=r?點(diǎn)QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部QUOTEd<r?d<r?點(diǎn)QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的內(nèi)部.典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）在中，，，．以點(diǎn)C為圓心，4為半徑畫圓，則（）A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓外 C．點(diǎn)B在圓上 D．點(diǎn)B在圓外【答案】C【分析】先由勾股定理求得，再由和，的大小關(guān)系即可判斷點(diǎn)和點(diǎn)與的位置關(guān)系．【詳解】解：，，．，，，，可得點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷，勾股定理．關(guān)鍵要記住若半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【例2】（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑是8，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程的一個(gè)根，則點(diǎn)P在（）A．的內(nèi)部 B．的外部C．上或的內(nèi)部 D．上或的外部【答案】A【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比較d與半徑8的大小，若，則點(diǎn)P在的外部，若，則點(diǎn)P在的內(nèi)部，若，則點(diǎn)P在上，即可解答．【詳解】解：解方程可得，，，∵點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程的一個(gè)根，∴，∴點(diǎn)P在的內(nèi)部，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、解一元二次方程，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法是解答的關(guān)鍵．即學(xué)即練1.（2023秋·河南信陽·九年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的半徑是4，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓上 C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】先利用勾股定理求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離d，再判斷d與半徑r的大小關(guān)系，從而得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴由勾股定理可得點(diǎn)P到圓心的距離，又半徑，∴∴點(diǎn)在內(nèi)外，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)與圓的3種位置關(guān)系，設(shè)的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離，則有：點(diǎn)P在圓外，點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)P在圓內(nèi)．2．（2023春·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系被一塊圓形鐵皮覆蓋了一部分．下列有序?qū)崝?shù)對表示的點(diǎn)中，被這塊圓形鐵皮覆蓋的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分別求出該點(diǎn)到圓心的距離，與半徑比較即可得到該點(diǎn)的位置，由此判斷．【詳解】解：由題意得，圓的半徑r滿足，圓的圓心為原點(diǎn)，A、距原點(diǎn)距離為，故該點(diǎn)在圓外；B、距原點(diǎn)距離為，故該點(diǎn)在圓外；C、距原點(diǎn)距離為，故該點(diǎn)在圓內(nèi)；D、距原點(diǎn)距離為，故該點(diǎn)在圓外；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)7利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑典例分析【例1】（2022秋·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P在半徑為的圓內(nèi)，則點(diǎn)P到圓心的距離可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓點(diǎn)的半徑是，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)P在圓內(nèi)，得到點(diǎn)P到圓心的距離的范圍，再根據(jù)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在半徑為的圓內(nèi)，∴點(diǎn)P到圓心的距離小于，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)在圓上時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于半徑；點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離小于半徑；點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離大于半徑．【例2】（2023秋·浙江·九年級期末）已知點(diǎn)P到圓心O的距離為3，若點(diǎn)P在圓外，則的半徑可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷得出即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在圓外，且，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離，則有：①點(diǎn)P在圓外則，②點(diǎn)P在圓上則，③點(diǎn)P在圓內(nèi)則．即學(xué)即練1．（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）點(diǎn)P到圓O的距離為6，若點(diǎn)P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P到圓O的距離為6，點(diǎn)P在圓O外，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．2．（2022秋·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先利用勾股定理可得,再根據(jù)“點(diǎn)在上”可得即是圓的半徑．【詳解】解：在中,,,,,點(diǎn)在上,,故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．★知識點(diǎn)8:求三角形外心的坐標(biāo)典例分析【例1】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，，，，則外心的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取格點(diǎn)，，，，且直線是線段的垂直平分線，四邊形是正方形，則可得，的交點(diǎn)為為的外心，再分別求解，的解析式即可得到答案．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)，，，，則直線是線段的垂直平分線，四邊形是正方形，∴直線是線段的垂直平分線，記，的交點(diǎn)為，則為的外心，∵，，，∴直線為，，，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，即的外心坐標(biāo)為：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，正方形的性質(zhì)，三角形的外心的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)”是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，點(diǎn)O，A，B，C均在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角直角坐標(biāo)系，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作的垂直平分線，根據(jù)勾股定理和半徑相等得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：連接，作的垂直平分線，如圖所示：在的垂直平分線上找到一點(diǎn)，則滿足：，點(diǎn)是過、、三點(diǎn)的圓的圓心，即的坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外接圓的外心、垂徑定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．勾股定理等知識；關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出外接圓的圓心位置．即學(xué)即練1.（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．則△ABC的外心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到直線BC∥y軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=1，再由外心的定義可知△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，則設(shè)△ABC的外心為P（a，-1），利用兩點(diǎn)距離公式和外心的性質(zhì)得到，由此求解即可．【詳解】解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴直線BC∥y軸，∴直線BC的垂直平分線為直線y=1，∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，∴△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，設(shè)△ABC的外心為P（a，1），∴，∴，解得，∴△ABC外心的坐標(biāo)為（-2，1），故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．★知識點(diǎn)9確定圓心典例分析【例1】（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，則該弧的圓心的坐標(biāo)為（）

A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，則圓心是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．【例2】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，A，B，C是正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，則是（

）A．優(yōu)弧 B．劣弧 C．半圓 D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)確定一個(gè)圓，圓心的確定方法：任意兩點(diǎn)中垂線的交點(diǎn)為圓心即可判斷．【詳解】解；如圖，分別連接AB、AC、BC，取任意兩條線段的中垂線相交，交點(diǎn)就是圓心．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查已知圓上三點(diǎn)求圓心，取任意兩條線段中垂線交點(diǎn)確定圓心是解題關(guān)鍵．即學(xué)即練1.（2010·河北·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過Q，所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也常用來確定圓心的方法．2．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．小麗按照下列方法作圖：①作的角平分線，交于點(diǎn)D；②作的垂直平分線，交于點(diǎn)E．根據(jù)小麗畫出的圖形，判斷下列說法中正確的是（

）A．點(diǎn)E是的外心 B．點(diǎn)E是的內(nèi)心C．點(diǎn)E在的平分線上 D．點(diǎn)E到邊的距離相等【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”，可得是底邊BC的垂直平分線，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】∵在中，，∴的角平分線也是底邊BC的垂直平分線，∵的垂直平分線，交于點(diǎn)E，∴點(diǎn)E是的外心，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外心的定義，掌握“三角形各邊上的垂直平分線的交點(diǎn)是三角形的外心”是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)10三角形外接圓1）經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．2）三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.3）外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.典例分析【例1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，小明為檢驗(yàn)，，，四點(diǎn)是否共圓，用尺規(guī)分別作了，的垂直平分線，它們交于點(diǎn)，則，，，四點(diǎn)中，不一定在以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】C【分析】連接，，，，由，的垂直平分線交于點(diǎn)，可得，則，，在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而與的大小關(guān)系不能確定，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，，，∵，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴，，在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，∴與的大小關(guān)系不能確定，∴點(diǎn)不一定在圓上．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，三角形的外接圓的確定，熟練的確定三角形的外心是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知是的外心，，分別是，的中點(diǎn)，連接，，分別交于點(diǎn)，．若，，，則的面積為（

）A．72 B．96 C．120 D．144【答案】B【分析】連接AF，AD，AE，BE，CE，根據(jù)三角形外心的定義，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，進(jìn)而求得AF，DF，AD的長度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面積．【詳解】如圖，連接AF，AD，AE，BE，CE，∵點(diǎn)E是△ABC的外心，∴AE=BE=CE，∴△ABE，△ACE是等腰三角形，∵點(diǎn)P、Q分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴PE⊥AB，QE⊥AC，∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，∴AF=BF=10，AD=CD=8，在△ADF中，∵，∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，∴S△ABC=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外心的定義，勾股定理逆定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得到△ADF是直角三角形．即學(xué)即練1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為r，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，，延長交于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】連接，，延長交于D，∵等邊三角形是，∴，，，∴，∴由勾股定理得：，∴則的面積是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓，三角形的面積等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作輔助線后求出的長，題目具有一定的代表性，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．2．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，，，，則此Rt△ABC的重心P與外心Q之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形外心的定義可知外心Q為斜邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形重心的定義可知C、P、Q三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理求出AB=13，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出CQ=AB=，然后利用重心的性質(zhì)得到PQ=CQ=．【詳解】解：根據(jù)Rt△ABC的重心P與外心Q，可知，C、P、Q三點(diǎn)共線．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB=∵Rt△ABC的外心為Q，∴Q為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CQ=AB=，∵Rt△ABC的重心為P，∴PQ=CQ=．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的外接圓與外心，三角形的重心，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形外心與重心的定義得出C、P、Q三點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)11三點(diǎn)定圓的方法經(jīng)過點(diǎn)QUOTEAA的圓：以點(diǎn)QUOTEAA以外的任意一點(diǎn)QUOTEOO為圓心，以QUOTEOAOA的長為半徑，即可作出過點(diǎn)QUOTEAA的圓，這樣的圓有無數(shù)個(gè)．經(jīng)過兩點(diǎn)QUOTEA、BA、B的圓：以線段QUOTEABAB中垂線上任意一點(diǎn)QUOTEOO作為圓心，以QUOTEOAOA的長為半徑，即可作出過點(diǎn)QUOTEA、BA、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè)．3）經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)：情況一：過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)QUOTEA、B、CA情況二：若QUOTEA、B、CA、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段QUOTEABAB與QUOTEBCBC的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)QUOTEOO是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．三點(diǎn)定圓的畫法：連接線段AB,BC。分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為O，此時(shí)OA=OB=OC,于是點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個(gè)。定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．典例分析【例1】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則以下P點(diǎn)坐標(biāo)不滿足要求的是（

）A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把每點(diǎn)代入函數(shù)解析式，根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓即可得出答案．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，A、當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)點(diǎn)不在同一直線上，可以確定一個(gè)圓，此項(xiàng)不符題意；B、當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)點(diǎn)不在同一直線上，可以確定一個(gè)圓，此項(xiàng)不符題意；C、當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)點(diǎn)在同一直線上，不可以確定一個(gè)圓，此項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)點(diǎn)不在同一直線上，可以確定一個(gè)圓，此項(xiàng)不符題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了確定一個(gè)圓、求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握確定一個(gè)圓的條件是解題關(guān)鍵．【例2】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列判斷中正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．垂直于弦的直線平分弦所對的弧C．平分弧的直徑平分弧所對的的弦 D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理和確定圓的條件對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一解答即可．【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、垂直于弦的直徑平分弦所對的弧，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、平分弧的直徑平分弧所對的的弦，故選項(xiàng)正確；D、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理和確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．即學(xué)即練1．（2020·湖南湘西·中考真題）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線【答案】B【分析】連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，∵B，C為切點(diǎn)，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無法證明與相互垂直平分，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）平面上有四個(gè)點(diǎn)，過其中任意3個(gè)點(diǎn)一共能確定圓的個(gè)數(shù)為（）A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4【答案】C【分析】根據(jù)四個(gè)點(diǎn)在平面上不同的位置確定有四種情況，分別討論構(gòu)成圓的個(gè)數(shù)即可得到答案.【詳解】如圖，當(dāng)四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，不能確定圓，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，只能作一個(gè)圓，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，可以作三個(gè)圓，當(dāng)四點(diǎn)不共圓時(shí)，且沒有三點(diǎn)共線時(shí)，能確定四個(gè)圓．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)構(gòu)成圓的個(gè)數(shù)，點(diǎn)的位置關(guān)系，正確分析點(diǎn)的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.1．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在上，與直線交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），則的長度為（

）

A． B．8 C． D．【答案】C【分析】連接，由正方形性質(zhì)可得，，，然后用勾股定理求出半徑，再求出的長即可．【詳解】解：連接，

∵正方形的邊長為4，，∴，，，∴在中，，∴，∴，∴在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)圓的性質(zhì)，屬于中考常考題型．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】試題分析：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，根據(jù)定義作答．解：由圖可知，點(diǎn)A、B、E、C是⊙O上的點(diǎn)，圖中的弦有AB、BC、CE，一共3條．故選B．考點(diǎn)：圓的認(rèn)識．3．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）一個(gè)在圓內(nèi)的點(diǎn)，它到圓上的最近距離為3cm，到最遠(yuǎn)距離為5cm，那么圓的半徑為（

）

A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm【答案】D【詳解】圓內(nèi)的點(diǎn)到圓上的最近距離和最遠(yuǎn)距離之和為此圓的直徑，故半徑為cm.故選D.4．（2022·九年級單元測試）點(diǎn)M在內(nèi)，cm，若的半徑是5cm，則過點(diǎn)M的最短弦的長度為（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理和垂徑定理即可求得．【詳解】解：在過點(diǎn)的所有的弦中，最短的弦長為垂直于的弦，即，連接，在中，．．根據(jù)勾股定理可得：，根據(jù)垂徑定理可得：cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了綜合運(yùn)用垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算，此題關(guān)鍵是能夠正確分析出其最短的弦．5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)有（）①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】已知直徑AB垂直于弦CD，那么可根據(jù)垂徑定理來判斷所給出的結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD，∴CE=DE，；故①③正確；∴∠CAB=∠DAB；故④正確由于沒有條件能夠證明BE=OE，故②不一定成立；所以一定正確的結(jié)論是①③④；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直徑是圓中最長的弦B．半圓是弧C．已知圓O的半徑為，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P在圓O外D．如果圓A的周長是圓B周長的2倍，那么圓A的面積是圓B面積的2倍【答案】D【分析】分別根據(jù)直徑的定義、弧的定義、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、周長與面積公式逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、直徑是圓中最長的弦，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、半圓是弧，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；C、已知圓O的半徑為，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，,則點(diǎn)P在圓O外，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；D、圓A的周長是圓B周長的2倍，則圓A的半徑是圓B半徑的2倍，那么圓A的面積是圓B面積的4倍，說法錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記圓的相關(guān)定義并靈活運(yùn)用．7．（2022秋·北京·九年級專題練習(xí)）若所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)到上點(diǎn)的最大距離為8，最小距離為2，則的直徑為（

）A．6 B．10 C．6或10 D．無法確定【答案】C【分析】由于點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：設(shè)⊙O的直徑為d,當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解答此題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解．8．（2021春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是數(shù)軸上一定點(diǎn)，點(diǎn)是數(shù)軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為，點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點(diǎn)在外，則的值可能是（）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可；【詳解】∵B在外，∴AB＞2，∴＞2，∴b＞或b＜，∴b可能是-1.故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，是的外接圓，則點(diǎn)O是的（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，進(jìn)而得出答案．【詳解】是的外接圓，點(diǎn)O是的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和外心，正確把握外心的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是的外心，，連接，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用外心的概念，轉(zhuǎn)換為求等腰三角形的頂角即可．【詳解】方法一、如圖，連接，

∵點(diǎn)是的外心，∴，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，方法二、如圖，

∵點(diǎn)是的外心，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外心，內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記以上知識及其應(yīng)用．11．（2023·河南焦作·統(tǒng)考一模）一個(gè)三角形的一邊長為12，另外兩邊長是一元二次方程的兩根，則這個(gè)三角形外接圓的半徑是（

）A． B．5 C． D．8【答案】C【分析】先求出方程的解，再根據(jù)直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半作答．【詳解】解：，因式分解得，解得，∵，∴這個(gè)三角形是直角三角形，且斜邊為13，∴這個(gè)三角形外接圓的半徑是斜邊長的一半即，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圓的半徑，熟記直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·四川內(nèi)江·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，弦，是上一點(diǎn)，，，則；

【答案】【分析】如圖所述，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，在中，根據(jù)勾股定理可求出的長，在中，可求出的長，根據(jù)，由此即可求解．【詳解】解：如圖所述，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是弦，，∴，∵是半徑，，，∴在中，，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理的運(yùn)用，掌握垂徑定理的性質(zhì)，勾股定理求邊長是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）在中，直徑，垂足為C，，則．【答案】8或2【分析】分兩種情況：第一：，第二：；連接，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，如圖1，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖2，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：8或2．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．注意方程思想在解題中的作用．14．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┰趫A中兩條平行弦的長分別6和8，若圓的半徑為5，則兩條平行弦間的距離為．【答案】或/7或1【分析】如圖，，，過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連，根據(jù)垂徑定理得，由于，，則，根據(jù)垂徑定理得，然后利用勾股定理可計(jì)算出，再進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：如圖，，，過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連，∴，∵，，∴，∴，在中，，同理可得，當(dāng)圓心在與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心不在與之間時(shí)，與的距離．故答案為7或1．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．15．（2021·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦的長為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為．【答案】【分析】先根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．16．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若，則BC的長為．【答案】7【分析】根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，根據(jù)題意可得平方，可得四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，A、B、C是上的點(diǎn)，，，D為OC的中點(diǎn)，，四邊形是菱形，，．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，，，點(diǎn)D在AC邊上，．求證：≌；若，求的度數(shù)；若，當(dāng)?shù)耐庑脑谥本€DE上時(shí)，，求AE的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】由三角形的外角的性質(zhì)可得，由“AAS”可證≌；由全等三角形的性質(zhì)可求，，可得，即可求解；由直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，可得點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，可證是等邊三角形，可得，即可求解．【詳解】證明：，且，，，，≌≌，，，，，，；，的外心是斜邊AC的中點(diǎn)，的外心在直線DE上，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，，又，，是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓和外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．18．（2022秋·浙江寧波·九年級校考階段練習(xí)）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按要求作圖并完成填空．（不限作圖工具，要保留作圖痕跡）(1)請作出的外心O；(2)將線段繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的線段．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，連接DE，則DE與FG的交點(diǎn)即為點(diǎn)O；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合勾股定理和勾股定理逆定理作圖即可．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)O即為所作；（2）如圖，線段即為所作；【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—作三角形的外心，作圖—旋轉(zhuǎn)變換．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．19．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，經(jīng)過，，三點(diǎn)．

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為．(2)判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系．【答案】(1)(2)點(diǎn)在內(nèi)【分析】（1）分別作的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）計(jì)算圓的半徑與的長度，比較大小即可；【詳解】（1）解：分別作的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)，

坐標(biāo)為：，（2）解：，，，，，點(diǎn)在內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)確定圓，確定圓心的位置、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知