專(zhuān)題8.1 期中期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之勾股定理十八大必考點(diǎn)（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專(zhuān)題8.1勾股定理十八大考點(diǎn)【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1勾股數(shù)】 1【考點(diǎn)2勾股樹(shù)】 3【考點(diǎn)3利用勾股定理求兩點(diǎn)間距離】 7【考點(diǎn)4利用勾股定理求線段長(zhǎng)度】 9【考點(diǎn)5勾股定理中的分類(lèi)討論】 13【考點(diǎn)6勾股定理中的規(guī)律探究】 16【考點(diǎn)7以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】 19【考點(diǎn)8利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 22【考點(diǎn)9利用勾股定理證明兩條線段的平方和（差）】 25【考點(diǎn)10利用勾股定理求面積】 30【考點(diǎn)11勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用】 33【考點(diǎn)12勾股定理在翻折中的應(yīng)用】 38【考點(diǎn)13利用勾股定理求最值】 42【考點(diǎn)14勾股定理的證明】 47【考點(diǎn)15勾股定理與無(wú)理數(shù)】 54【考點(diǎn)16判斷是否是直角三角形】 58【考點(diǎn)17利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題】 62【考點(diǎn)18利用勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 65【考點(diǎn)1勾股數(shù)】【例1】（2022·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是_________（填序號(hào)）．①6，8，10；②1.5，2，2.5；③32，42，52；④7，24，25；⑤3，【答案】①④##④①【分析】根據(jù)勾股數(shù)的特點(diǎn)判斷即可．【詳解】①．62②．1.5，2，2.5中，1.5，2.5不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；③．32④．72⑤．(3)2+(故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，并能夠熟練運(yùn)用．必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．【變式1-1】（2022·黑龍江·肇東市第十中學(xué)八年級(jí)期中）若3，4，a是一組勾股數(shù)，則a＝_____．【答案】5【分析】分a為最長(zhǎng)邊，4為最長(zhǎng)邊兩種情況討論，根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【詳解】解：①a為最長(zhǎng)邊，a=32+4②4為最長(zhǎng)邊，a=42-故答案為5．【點(diǎn)睛】此題考查勾股數(shù)，解題關(guān)鍵在于掌握勾股定理的運(yùn)算公式．【變式1-2】（2022·河南安陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．a(chǎn)68101214…b815243548…c1017263750…則當(dāng)a=24時(shí)，b+c的值為（

）A．162 B．200 C．242 D．288【答案】D【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出b、c的值，再求出答案即可．【詳解】解：從表中可知：a依次為6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24=2×(10+2)，b依次為8，15，24，35，48，…，即當(dāng)a=24時(shí)，b=12c依次為10，17，26，37，50，…，即當(dāng)a=24時(shí)，c=12所以當(dāng)a=24時(shí)，b+c=143+145=288．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，能根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出b=(n+2)2-1【變式1-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)：________；（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為_(kāi)_______．【答案】

11，60，61

n2-1【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一組勾股數(shù)：11、60、61；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【詳解】解：（1）∵112∴下一組勾股數(shù)為：11、60、61；故答案為：11，60，61．（2）后兩個(gè)數(shù)表示為n2-12∵n2n2∴n2又∵n≥3，且n為奇數(shù)，∴由n，n2-12故答案為：n2-12【點(diǎn)睛】此題考查了勾股數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、證明即可．【考點(diǎn)2勾股樹(shù)】【例2】（2022·北京·前門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是5、3、2、3，則最大正方形E的面積是（

）A．13 B．26 C．47 D．94【答案】C【分析】設(shè)正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長(zhǎng)為e，鄰近D的正方形邊長(zhǎng)為f，最大正方形的邊長(zhǎng)為g，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理依次計(jì)算即可．【詳解】如圖，設(shè)正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長(zhǎng)為e，鄰近D的正方形邊長(zhǎng)為f，最大正方形的邊長(zhǎng)為g，且a=5，b=3，c=2，d=3，所有的三角形都是直角三角形．所以a2所以g=5=47，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東菏澤·八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀材料：分析探索題：細(xì)心觀察如圖,認(rèn)真分析各式,然后解答問(wèn)題．OA22=QA32=OA421請(qǐng)用含有n(n為正整數(shù))的等式S2推算出OA10=3求出S1【答案】（1）2n；（2）210；（3【分析】（1）S1=2，S2=22（2）OA22=(2)2+4=8，QA3（3）根據(jù)上面Sn的規(guī)律，分別算出平方加起來(lái)即可【詳解】（1）∵S1=2，S2∴觀察規(guī)律得出Sn（2）∵OA2QA3OA4則OA102（3）由上面Sn則S=2=4+8+12+……40=（4+40）×10÷2=220【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是觀察題中給出的結(jié)論，由此結(jié)論找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，千萬(wàn)不可盲目計(jì)算．【變式2-2】（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，其面積為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S100A．2299 B．22100 C．【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S2+S2=S【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，ΔCDE∴DE2+C∴S觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S1=12=1，S2=∴S當(dāng)n=100時(shí)，S100故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，寫(xiě)出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·山東·濟(jì)寧市兗州區(qū)東方中學(xué)八年級(jí)期中）有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．1【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積＝1，∴“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2022．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．【考點(diǎn)3利用勾股定理求兩點(diǎn)間距離】【例3】（2022·河北邢臺(tái)·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A-2,1，點(diǎn)B4,6，點(diǎn)C-4,2，點(diǎn)DA．AB=2CD B．BC=2AD C．AC=2BD D．BC=2CD【答案】B【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得相關(guān)線段的長(zhǎng)，然后再代入判斷即可．【詳解】解：∵A-2,1，點(diǎn)B4,6，點(diǎn)C∴AB=-2-42BC=-4-42AC=-2+42∴A.AB=2CD，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.BC=2AD，該選項(xiàng)正確，符合題意；

C.AC=2BD，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.BC=2CD，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求出相關(guān)線段的長(zhǎng)成為解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(-1，2)到原點(diǎn)的距離是_____________【答案】5【分析】根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解∶點(diǎn)P(-1，2)到原點(diǎn)的距離是12故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系中，用勾股定理推導(dǎo)出的兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)距離公式，熟記公式是解答的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,5，則AB兩點(diǎn)間的距離是_________．【答案】5【分析】利用勾股定理即可求解．【詳解】∵A(1,1)，B(4,5)，∴AB=(4-1)即AB之間的距離為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用勾股定理求解直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離的知識(shí)，熟練掌握勾股定理并靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A???(m,???0)、B???(0,???【答案】±4【分析】由A??(m,??0)、B??(0,??【詳解】解：∵A??(m,??∴A??∵AB=5，∴m2∴m=±4．故答案為：±4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用勾股定理求兩點(diǎn)距離，掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解決此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4利用勾股定理求線段長(zhǎng)度】【例4】（2022·重慶八中八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠D=∠ACB=90°，AD=8，CD=6，且四邊形ABCD的面積為49，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由四邊形ABCD的面積求出BC的長(zhǎng)，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵∠D=90°，AD=8，CD=6，∴Rt△ACD中由勾股定理可知：AC=∵四邊形ABCD的面積為49，且∠ACB=90°∴12AD?CD+12AC?BC=49∴BC=5在Rt△ABC中由勾股定理可知：AB=故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求線段長(zhǎng)、勾股定理的應(yīng)用等，本題屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過(guò)程中細(xì)心即可．【變式4-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形EFGD，邊BC與DE交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BC交FG于點(diǎn)Q，若BQ=2BP，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】25【分析】連接DQ，過(guò)點(diǎn)P作PH//EF，設(shè)PC=a，分別解得BP,BQ,CQ,GQ的長(zhǎng)，繼而證明△PHQ?△PCD(AAS)，由全等三角形的性質(zhì)得到PC=HQ=a,EP=FH=a，由此解得PD=8-a，最后在Rt△PCD中，利用勾股定理解得a的值，據(jù)此解題．【詳解】如圖，連接DQ，過(guò)點(diǎn)P作PH//EF，設(shè)PC=a，則矩形ABCD中BC=AD=8,AB=CD=6BP=8-a,BQ=2BP∴BQ=2(8-a)=16-2aCQ=16-2a-8=8-2a∴GQ=8-2a,FQ=2a∵FG//ED∴∠FQP=∠QPD在△PHQ與△PCD中，∠FQB=∠CPD∴△PHQ?△PCD(AAS)∴PC=HQ=a,EP=FH=a∴PD=8-a在Rt△PCD中，P(8-a)∴64-16a+∴a=∴BP=PQ=8-a=8-7故答案為：254【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，連接AE，BD交于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（

）A．22 B．2 C．23 D【答案】B【分析】由已知證得△ACE?△BCD，進(jìn)而確定△ABF三個(gè)內(nèi)角的大小，求得BF=1【詳解】解：∵∠ACB=90°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE∴∠ACE=∠BCD又∵AC=BC,CD=CE∴△ACE?△BCD∴∠CAE=∠CBD=15°∵在等腰直角三角形中∠ABC=∠BAC=45°∴∠ABF=∠ABC+∠CBD=60°,∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAF=90°∴BF=1∵AB=A∴BF=2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·全國(guó)·二模）七巧板是我國(guó)祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．由邊長(zhǎng)為62的正方形ABCD可以制作一副如圖中圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形EFGH內(nèi)拼成如圖中圖2所示的“拼搏兔”造型（其中點(diǎn)Q，R分別與圖2中的點(diǎn)E，G重合，點(diǎn)P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長(zhǎng)是_____．【答案】6【分析】根據(jù)題意連接EG，GM⊥EN交EN的延長(zhǎng)線于M，利用勾股定理解決問(wèn)題即可．【詳解】解：如圖2中，連接EG，作GM⊥EN交EN的延長(zhǎng)線于M．∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為62，∴PD=DR=RC=32∴PR=PD2+DR2=6，∴GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18，∴EG＝EM∴EH＝EG2故答案為：65【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，七巧板，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．【考點(diǎn)5勾股定理中的分類(lèi)討論】【例5】（2022·山東·德州市第五中學(xué)八年級(jí)期中）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長(zhǎng)為（

）A．21 B．6 C．21或6 D．21或9【答案】D【分析】分類(lèi)討論，當(dāng)三角形的高在三角形內(nèi)部時(shí)、外部時(shí)，用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，由勾股定理得，CD=A在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，由勾股定理得，BD=A∴當(dāng)AD在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，BC=BD+當(dāng)AD在三角形ABC外部時(shí)，BC=BD-CD=15-6=9綜上，BC的長(zhǎng)為21或9，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是要分類(lèi)討論．【變式5-1】（2022·陜西榆林·八年級(jí)期中）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，求第三邊的長(zhǎng)．【答案】第三邊的長(zhǎng)為4或34．【分析】由于此題中直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分5是直角三角形的斜邊和直角邊兩種情況討論．【詳解】解：∵直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，∴①當(dāng)5是此直角三角形的斜邊時(shí)，設(shè)另一直角邊為x，則x=52②當(dāng)5是此直角三角形的直角邊時(shí)，設(shè)斜邊為y，則y=5綜上所述，第三邊的長(zhǎng)為4或34．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·安徽安慶·八年級(jí)期中）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成三條線段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．若AM=1，MN=2，則BN的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】3或5##5或3【分析】分兩種情況：①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN即可．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，∴BN=M②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，∴BN=M綜上所述：BN的長(zhǎng)為3或5．故答案為：3或5．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“勾股分割點(diǎn)”、勾股定理；理解新定義，熟練掌握勾股定理，進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·云南·保山市第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(1)求BC邊的長(zhǎng)．(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值．【答案】(1)BC=8(2)t的值為4或25【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；（2）先求出BP=2tcm，再分①當(dāng)∠APB=90°，②當(dāng)∠BAP=90°兩種情況，利用勾股定理求解即可得．（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得BC∴BC=64（2）由題意知BP=2tcm①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，如圖1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=8cm∴t=8÷2=4．②當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，如圖2，CP=BP-BC=(2t-8)cm，AC=6在Rt△ACP中，AP在Rt△BAP中，AP因此62解得t=25綜上所述，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t的值為4或254

圖1

圖2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，較難的是題（2），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)6勾股定理中的規(guī)律探究】【例6】（2022·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)期中）如圖，OP=1，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥OP，且PP1=1，得OP1=2；再過(guò)點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1且A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理分別求出每個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：∵OP=1，OP1=同理：OP∴OP故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．【變式6-1】（2022·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)寧家埠中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知△ABC是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類(lèi)推，則第2022個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是__________．

【答案】21011【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算第1個(gè)，第2個(gè)，第3個(gè)，第4個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，找到規(guī)律后即可求出第2022個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)．【詳解】根據(jù)勾股定理可得第1個(gè)Rt△ABC的斜邊AC=12第2個(gè)Rt△ACD的斜邊AD=(2第3個(gè)Rt△ADE的斜邊AE=22第4個(gè)Rt△AEF的斜邊AF=22第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊=(2∴第2022個(gè)等腰直角三角形的斜邊=(2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及找規(guī)律求等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·湖北湖北·八年級(jí)期末）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如圖2中的OA1=A1A2=A2A3=???AA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】OA1＝1，OA2＝12+12＝2，OA3＝12【詳解】解：找到OAn＝所以O(shè)A1到OA20的值分別為1，2，3…故正整數(shù)為1＝1，4＝2，9＝3，16＝4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，本題中找到OAn＝【變式6-3】（2022·山東濟(jì)寧·一模）如圖甲，直角三角形ABC的三邊a，b，c，滿(mǎn)足a2+b2＝c2的關(guān)系．利用這個(gè)關(guān)系，探究下面的問(wèn)題：如圖乙，△OAB是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延長(zhǎng)OA至B1，使AB1＝OA，以O(shè)B1為底，在△OAB外側(cè)作等腰直角三角形OA1B1，再延長(zhǎng)OA1至B2，使A1B2＝OA1，以O(shè)B2為底，在△OA1B1外側(cè)作等腰直角三角形OA2B2，…，按此規(guī)律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n為正整數(shù)），則A2B2的長(zhǎng)及△OA2021B2021的面積分別是（）A．2，22020 B．4，22021 C．22，22020 D．2，22019【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出A1B1，A2B2，A3B3，進(jìn)而得出規(guī)律，求出A2021B2021，再利用三角形的面積公式即可求出△OA2021B2021的面積．【詳解】解：∵△OAB是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，∴OA＝AB＝1，∵AB1＝OA，∴OB1＝2，∴A1B1＝OA1＝22OB1＝2∵A1B2＝OA1，∴OB2＝22，∴A2B2＝OA2＝22OB2＝2＝（2）2∵A2B3＝OA2，∴OB3＝4，∴A3B3＝OA3＝22OB3＝22＝（2）3???∴A2021B2021＝（2）2021，∴△OA2021B2021的面積＝12×（2）2021×（2）2021＝22020故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律——圖形的變化，利用等腰直角三角形的性質(zhì)確定變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】【例7】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分別以AB，BC，AC為直徑作三個(gè)半圓，則陰影部分的面積等于（

）cm2A．18 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓加上一個(gè)直角三角形ABC的面積減去一個(gè)以AB為直徑的半圓的面積．【詳解】解：S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC-直徑為AB的半圓的面積=1=1=1=1=12×6×8=24cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算公式和勾股定理的應(yīng)用，陰影部分可以看作是幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差，學(xué)會(huì)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·廣東·東莞市南城開(kāi)心實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（

）A．150 B．200 C．225 D．無(wú)法計(jì)算【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理列式求解，從而得出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得，AC∴正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·河南·靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關(guān)系滿(mǎn)足S1+SA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理得到三角形三邊a、b、c的關(guān)系，根據(jù)等邊三角形、半圓形、等腰直角三角形及正方形的面積求法，逐一驗(yàn)證S1【詳解】由勾股定理得a2第一個(gè)圖形中，S1=a2，S2第二個(gè)圖形中，S1=14a2，第三個(gè)圖形中，S1=34a2，第四個(gè)圖形中，S1=π8a2，綜上所述，滿(mǎn)足題意的圖形有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形、等邊三角形、圓和正方形面積求法，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）已知ΔABC中，∠ACB=90°，如圖，作三個(gè)等腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，AB，AC，BC為斜邊，陰影部分的面積分別為S1，S2，S3（1）當(dāng)AC=6，BC=8時(shí)，①求S1②求S4-S2-（2）請(qǐng)寫(xiě)出S1，S2，S3【答案】（1）①9；②9；（2）S4【分析】（1）①在等腰直角三角形ΔACD中，根據(jù)勾股定理AD=CD=32②設(shè)SΔBEG=S5，則SΔBEA（2）設(shè)SΔBEG=S5，假設(shè)一個(gè)等腰直角三角形的斜邊為a，則面積為14a2【詳解】解：（1）①∵ΔACD是等腰直角三角形，AC=6，∴AD=CD=32∴S②∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵ΔEAB和ΔFCB是等腰直角三角形，∴AE=BE=52，CF=BF=4設(shè)SSΔBEA（2）設(shè)SΔBEG如圖，等腰直角三角形的面積公式S△ABC=1∵等腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，∴S△ADC∵AC∴14AC∴S4∴S4【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定理和直角三角形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．【考點(diǎn)8利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】【例8】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點(diǎn)，重點(diǎn)還是在于勾股定理的熟練掌握．【變式8-1】（2022·河北·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF//BC交AC于M，若A．8 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義推出△ECF為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求得CE2+CF2=EF2．【詳解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的定義，直角三角形的判定，勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.【變式8-2】（2022·北京·首都師大二附八年級(jí)期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AB=6，CD=10【答案】136【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，BO2在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，BO∴BO2+C∴AD故答案為：136．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·陜西·咸陽(yáng)市秦都區(qū)電建學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，射線AM⊥AN于點(diǎn)A、點(diǎn)C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點(diǎn)，且DE⊥BC于點(diǎn)E．（1）若BC=10，直接寫(xiě)出AC（2）若AC=8，△ABC的周長(zhǎng)為24，求△ABC的面積；（3）若AB=6，C點(diǎn)在射線AM上移動(dòng)，問(wèn)此過(guò)程中，BE【答案】（1）100；（2）24；（3）是定值，值是36【分析】（1）根據(jù)AC⊥AB，由勾股定理即可得解；（2）由△ABC周長(zhǎng)及其三邊符合勾股定理，列式，聯(lián)立方程即可得AB和BC的長(zhǎng)，代入三角形面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)DE⊥BC，得Rt△BDE和Rt【詳解】解：（1）AC（2）因?yàn)锳M⊥AN，所以△ABC是直角三角形．因?yàn)锳C=8，△ABC的周長(zhǎng)為24，所以AB=16-BC，所以16-BC2+82=B所以S△ABC（3）在Rt△BDE中，BE2=BD所以BE因?yàn)镈為線段AC的中點(diǎn)，所以AD=DC，所以BE在Rt△ABD中，B所以BE故在點(diǎn)C移動(dòng)的過(guò)程中，BE2-E【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理的使用條件是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9利用勾股定理證明兩條線段的平方和（差）】【例9】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，BD⊥AC交于點(diǎn)E．求證：AD2+BC2＝AB2+CD2．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，繼而證得結(jié)論【詳解】證明：∵BD⊥AC，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°，∴在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式9-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DE⊥DF，求證：EF【答案】證明見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，證明△EDF≌△GDF（SAS），△BDE≌△CDG（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝CG，∠B＝∠BCG，進(jìn)而可得AB∥CG，在Rt△FCG中，由勾股定理即可得證．【詳解】證明：延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：在△EDF和△GDF中DF=DF∠EDF=∠FDG=∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D為斜邊BC中點(diǎn)∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，BD=DC∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG

∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：F∴EF【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，證明∠GCA＝90°是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，連接AE．(1)求證：△CEA≌(2)求證：BD【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠ACE=∠BCD，利用SAS即可證明△CEA≌△CDB；（2）根據(jù)△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論．(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△CDB與△CEA中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△CDB≌(2)∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°，由（1）得△CDB≌∴∠EAC=∠B=45°，BD=AE，∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°，∴AE∴BD【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·福建·漳平市教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，在Rt△ABD中，∠D=90°，AD與BC交于點(diǎn)E，且（1）∠CAE=∠DBC；（2）AC【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定∠CEA+∠CAE=90°，∠DEB+∠DBC=90°，再根據(jù)等角的余角相等即可證明；（2）延長(zhǎng)BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．先根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ADF≌△ADB，進(jìn)而得到BF=2BD，再根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ACE≌△BCF，進(jìn)而得到【詳解】證明：（1）如下圖所示，標(biāo)出∠1，∠2，∠3．∵∠ACB=90°，∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠DBC=90°．∵∠1和∠2是對(duì)頂角，∴∠1=∠2．∴∠3=∠DBC，即∠CAE=∠DBC．（2）在（1）中圖延長(zhǎng)BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．由（1）可知∠3=∠DBC，即∠3=∠DBE．∵∠DBE=∠DAB，∴∠3=∠DAB．∵∠ADB=90°，∴∠ADF=90°．∴∠ADF=∠ADB．在△ADF和△ADB中，∵∠3=∠DAB,∴△ADF≌∴FD=BD．∴BF=2BD．∵∠ACB=90°，即∠ACE=90°，∴∠BCF=90°．∴∠ACE=∠BCF．由（1）可知∠3=∠DBC，即∠3=∠CBF．在△ACE和△BCF中，，∵∠3=∠CBF,∴△ACE≌△BCFASA∴AE=BF．∴AE=2BD∵在Rt△ACE中，A∴AC【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理，綜合應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，同時(shí)注意等價(jià)代換思想的使用．【考點(diǎn)10利用勾股定理求面積】【例10】（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4．若S1A．183 B．87 C．119 D．81【答案】B【分析】利用勾股定理的幾何意義解答．【詳解】解：由題意可知：S1=AB2，S2如圖，連接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD即S1因此S4=故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的靈活運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是利用兩個(gè)直角三角形公共的斜邊．【變式10-1】（2022·安徽·潛山市羅漢初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°．若AE=2，BE=3，則正方形ABCD的面積為（A．10 B．13 C．36 D．169【答案】B【分析】利用勾股定理求出AB【詳解】解：∵∠AEB=90°，∴AB∴正方形ABCD的面積＝AB故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，即在直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方．【變式10-2】（2022·廣東·河源市東華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）已知直角三角形的三邊分別為7，n+1，n+2（n+2是斜邊），則該三角形的面積為_(kāi)________．【答案】84【分析】直角三角形的三邊已知，且n+2是斜邊，由勾股定理，即可求出n的值，由此可求出答案．【詳解】解：直角三角形的三邊分別為7，n+1，n+2（n+2是斜邊），∴72+(n+1)2∴2n=46，即n=23，∴直角三角形的三邊分別是：7，24，25（斜邊），∴三角形的面積是：12×7×24=84故答案是：84．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的勾股定理，三角形的面積，掌握直角三角形的勾股定理和面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直線l上依次擺放著7個(gè)正方形，斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是4，6，8，正放置的四個(gè)正方形的面積分別是S1,S2【答案】12【分析】如圖，易證△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．【詳解】解：如圖，∵∠EDC=∠CBA=∠ECD+∴∠ECD=∵在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠CBA∠ECD=∠CAB∴△CDE≌△ABC（AAS），∴AB=CD，BC=DE，∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，同理可證FG2+LK2=HL2=4，∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，本題中證明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)11勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用】【例11】（2022·廣東·湛江市雷陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形變成都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫(huà)圖：(1)畫(huà)一個(gè)三角形△ABC，使它的三邊長(zhǎng)分別為8，5，3.(2)求方格圖中所畫(huà)的△ABC的面積【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）分別畫(huà)出三邊長(zhǎng)為8，5，3的線段，順次連線即可；（2）利用三角形面積公式計(jì)算即可．（1）解：如圖，∵AB=22+22=∴△ABC即為所求；（2）△ABC的面積=12【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理作圖，計(jì)算網(wǎng)格中圖形的面積，正確掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）（1）已知△ABC三邊長(zhǎng)分別為22，13，17，小迪在解決這一問(wèn)題時(shí)有以下思路：先畫(huà)如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長(zhǎng)均為1），再畫(huà)出格點(diǎn)三角形ABC，利用外接長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積，即可求出△ABC的面積．請(qǐng)你幫助小迪計(jì)算出△ABC（2）若△DEF三邊長(zhǎng)分別為5a，10a，13a，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長(zhǎng)均為a）中，畫(huà)出格點(diǎn)三角形DEF（3）若△OPQ三邊長(zhǎng)分別為2m2+n2，9m2+16n2，m2【答案】（1）5；（2）作圖見(jiàn)解析，72a2；（【分析】（1）用長(zhǎng)為4寬為3的長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)三角形的面積求解即可；（2）先根據(jù)勾股定理的確定周?chē)齻€(gè)三角形的邊長(zhǎng)，再作圖即可，再利用外接長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積，即可求出面積；（3）先根據(jù)勾股定理的確定周?chē)齻€(gè)三角形的邊長(zhǎng)，再作圖即可，再利用外接長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積，即可求出面積．【詳解】（1）△ABC的面積=3×4-1所以，△ABC的面積為5；（2）5a是直角邊長(zhǎng)分別為a,2a的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，10a是直角邊長(zhǎng)分別為a,3a的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，13a作圖如下：△DEF的面積=3a×3a-1（3）2m2+n2是直角邊長(zhǎng)分別為2m,2n的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，9m2格點(diǎn)三角形OPQ如圖所示：△OPQ的面積=3m?6n-1【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及三角形的面積問(wèn)題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門(mén)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形．(1)使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，25，5（在圖①中畫(huà)一個(gè)即可）；(2)使三角形為鈍角三角形，且面積為6（在圖②中畫(huà)一個(gè)即可）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先在正方形網(wǎng)格中取線段長(zhǎng)為整數(shù)的線段BC＝3，然后根據(jù)勾股定理找出點(diǎn)A的位置；（2）先在正方形網(wǎng)格中取EF＝2；然后由三角形的面積公式入手，求得EF邊上的高線的長(zhǎng)度，最后根據(jù)鈍角三角形的定義確定點(diǎn)D的位置．（1）解：如圖所示，BC＝3，AB＝12+22=△ABC即為所求；（2）解：如圖所示：根據(jù)三角形的面積公式知，12×EF×h解得hD△DEF是符合題意的鈍角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，作圖﹣﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．此題屬于開(kāi)放題，答案不唯一，利用培養(yǎng)發(fā)散思維能力．【變式11-3】（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，僅用無(wú)刻度的直尺完成以下作圖（保留必要的作圖痕跡）．(1)在圖1中，畫(huà)一個(gè)面積為5的正方形．(2)在圖2中，畫(huà)一個(gè)面積為92【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意以及格點(diǎn)和勾股定理找到為5的線段作為正方形的邊長(zhǎng)即可求解．（2）同理找到長(zhǎng)為32（1）如圖面積為5的正方形，∵正方形的邊長(zhǎng)為1+2∴正方形的面積為5（2）如圖，面積為92根據(jù)格點(diǎn)可得邊長(zhǎng)為12×3【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度的直尺作圖，勾股定理與網(wǎng)格，利用網(wǎng)格和勾股定理構(gòu)造長(zhǎng)為5以及32【考點(diǎn)12勾股定理在翻折中的應(yīng)用】【例12】（2022·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)寧家埠中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6，BC＝8．現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設(shè)CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對(duì)稱(chēng)，∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△ABC中，AB∴AB＝10，BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則DB＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2解得x＝3，即CD＝3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）如圖所示，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到直角三角形BEF，若BC=1，則BE的長(zhǎng)度為（

）A．2-1 B．2+12 C．2【答案】A【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，然后再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出∠ADE=45°，進(jìn)而得出AE=AD，利用勾股定理，得出DE的長(zhǎng)，再由第二次折疊，得出CD=DE，進(jìn)而得出AB=2【詳解】解：由折疊補(bǔ)全圖形如圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，由第一次折疊得：∠DA'E=∠A=90°，∠ADE=1∴∠AED=∠ADE=45°，∴AE=AD=1，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2由第二次折疊可知，CD=DE，∴AB=2∴BE=AB-AE=2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的折疊和勾股定理，搞清楚折疊中線段的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，若CD＝2，AD＝3，則邊AE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】136##【分析】根據(jù)勾股定理列方程可求解【詳解】根據(jù)折疊知，AG=CD=2,GE=DE,∠G=∠D=90設(shè)AE=x，則GE=3-x．根據(jù)勾股定理，得：4+(3-x)解得，x=136故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，利用折疊的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的關(guān)系為關(guān)鍵．【變式12-3】（2022·山西·太原師范學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝13BC，DE＝2，P是直線AC上一點(diǎn)，把△CDP沿DP所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線DE上的點(diǎn)H處，CP的長(zhǎng)是_____【答案】53或【分析】分兩種情況：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)．分別畫(huà)出圖形，利用折疊性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)，如圖1，由折疊性質(zhì)得PC＝PH，DC＝DH，∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，∴BC＝10，∵CD＝13BC∴CD=1∵DE⊥AC，DE＝2∴CE=(∴DH＝CD＝103∴EH＝ED+DH＝2+103＝16設(shè)PC＝x，則PH＝x，PE＝x-83∵PH∴x2解得，x＝203即CP＝203當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)，如圖2，由折疊知，DH＝DC＝103∴EH＝DH﹣DE＝103設(shè)PC＝a，則PE＝CE-PC＝83-a，PH＝a∵PH∴a2解得，a＝53即PC＝53綜上，PC＝53或20故答案為：53或20【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，注意分類(lèi)討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)13利用勾股定理求最值】【例13】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC上的中點(diǎn)，若AE=1，求EM+CM的最小值為（

）A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】先連接BM，再根據(jù)MB=MC，將EM+CM轉(zhuǎn)化為EM+BM，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得BE的長(zhǎng)，即為EM+CM的最小值．【詳解】解：連接BM，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC∴MB=MC當(dāng)B、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+CM=EM+BM=BE∵等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)∴直角三角形ABE中，BE=AB即EM+CM的最小值3故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，最小值問(wèn)題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．【變式13-1】（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）如圖Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，若動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)，則線段CP的最小值是_______．【答案】125##2.4##【分析】過(guò)C作CP1⊥AB于P1，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置時(shí)，CP【詳解】解：過(guò)C作CP1⊥AB由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置時(shí)，CP在Rt△ABC中，AC=5∴S△ABC∴12∴CP∴則線段CP的最小值是:125故答案為：125【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂線段最短，等面積法求高，掌握勾股定理和垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，鐵路上A、B兩站相距8km，C、D為兩個(gè)村莊，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B，已知AC=2km，BD=4km，現(xiàn)在要在鐵路AB上修建一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使得P到C、D兩村的距離和最短．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出P點(diǎn)的位置，并求出PC+PD【答案】圖見(jiàn)解析，10【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求最短路線作出C點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D即可得出P點(diǎn)位置，再利用勾股定理得出C′D即為中轉(zhuǎn)站P到C、D兩村莊的距離和最小值．【詳解】解：作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接C'D與AB過(guò)C'作C'E⊥DB則BE=AC'∴DE=BD+BE=6在Rt△DECC'∴C∴PC+PD的最小值為10km【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路線問(wèn)題，根據(jù)已知得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．【變式13-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折疊紙片的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，AE為折痕，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）求線段DE的長(zhǎng)度；（2）若點(diǎn)P為線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP和FP，則線段BP+FP的最小值是．【答案】（1）5；（2）2【分析】（1）由折疊知AF＝AD＝10，設(shè)DE＝EF＝x，則EC＝DC?DE＝8?x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程即可得出答案；（2）由折疊知：D、F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，得PF＝PD，則BP＋PF＝BP＋PD≥BD，最小值即為BD的長(zhǎng)．利用勾股定理求出其長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）長(zhǎng)方形紙片ABCD中，折疊紙片，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，則AF＝AD＝BC＝10，BF＝AFFC＝BC?BF＝10?6＝4，∵折疊紙片，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE，∴DE＝EF，設(shè)DE＝EF＝x，則EC＝DC?DE＝8?x，又∵△EFC為直角三角形，∴FC2＋EC2＝FE2，即42＋（8?x）2＝x2，∴x＝5，∴DE＝5；（2）連接BP，PF，PD，BD，∵折疊紙片，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE，∴D、F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，∴PF＝PD，則BP＋PF＝BP＋PD≥BD，∴BP＋PF最小為BD，BD＝BC∴BP＋PF最小值為：241故答案為：241【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，明確點(diǎn)D、F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)14勾股定理的證明】【例14】（2022·安徽省安慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀理解：【問(wèn)題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個(gè)直角三角形的面積從而得數(shù)學(xué)等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化簡(jiǎn)證得勾股定理：a2＋b2＝c2【初步運(yùn)用】（1）如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；（2）現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6此時(shí)空白部分的面積為；【遷移運(yùn)用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個(gè)特殊圖形呢？帶著這個(gè)疑問(wèn)，小麗拼出圖3的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫(xiě)出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過(guò)程．知識(shí)補(bǔ)充：如圖4，含60°的直角三角形，已知yx【答案】【探索新知】a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；【初步運(yùn)用】（1）5：9；（2）28；【遷移運(yùn)用】a2＋b2＋ab＝c2，理由見(jiàn)解析【探索新知】根據(jù)大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個(gè)直角三角形的面積，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題；【初步運(yùn)用】（1）如圖1，求出小正方形的面積，大正方形的面積即可．（2）根據(jù)空白部分的面積＝小正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積計(jì)算即可．【遷移運(yùn)用】根據(jù)大正三角形面積＝三個(gè)全等三角形面積＋小正三角形面積，構(gòu)建關(guān)系式即可．【詳解】解：[探索新知]由題意：大正方形的面積＝（a＋b）2＝c2＋4×12ab∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2，故答案為：a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；[初步運(yùn)用]（1）由題意：b＝2a，∴c=a∴小正方形面積：大正方形面積=c故故答案為5：9．（2）由題意得：空白部分的面積＝小正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積∴空白部分的面積為=a故答案為28．[遷移運(yùn)用]結(jié)論：a2＋b2＋ab＝c2．理由：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥EM于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，由題意：AD=32AB=∵大正三角形面積＝三個(gè)全等三角形面積＋小正三角形面積∴12∴（a＋b）2＝3ab＋c2，∴a2＋b2＋ab＝c2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式14-1】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）（1）【閱讀】公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于__________，這個(gè)結(jié)論在中國(guó)稱(chēng)之為“勾股定理”．（2）【驗(yàn)證】我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱(chēng)“趙爽弦圖”），其中四邊形ABDE和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過(guò)程，請(qǐng)你將他下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c．求證：a證明：由圖可知S∵S正方形ABDE=c2，S△ABC∴即c2（3）【操作】如圖2，將等腰直角三角板ABD頂點(diǎn)A放在直線l上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥l，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l，垂足分別為C、E．求證：CE＝BC＋DE．（4）【發(fā)現(xiàn)】聰聰認(rèn)真觀察圖2后發(fā)現(xiàn)：如果設(shè)AC＝b，BC＝a，AB＝c，此圖也可以利用面積法證明勾股定理．請(qǐng)你幫聰聰完成證明過(guò)程．（5）【拓展】如圖3．將圖1中的這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，直接寫(xiě)出該飛鏢狀圖案的面積．【答案】（1）斜邊的平方；（2）12ab，(a﹣b)；（3）見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析；（5）飛鏢狀圖案的面積＝【分析】（1）由勾股定理內(nèi)容可知；（2）根據(jù)圖形可得；（3）證明Rt△ABC≌Rt△DAE，可得BC=AE，AC=DE，轉(zhuǎn)化線段即可；（4）運(yùn)用等面積法表示梯形BCED的面積，變形即可；（5）首先求出AB=5，可知OB=3，OA=4，可求飛鏢圖形的面積．【詳解】（1）斜邊的平方．（2）S△ABC＝12ab，正方形FCHG邊長(zhǎng)為（a﹣b（3）解：在等腰直角三角板ABD中由已知得AD＝AB，∠BAD＝90°∴∠BAC＋∠DAE＝90°又∵BC⊥l，DE⊥l∴∠BCA＝∠DEA＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠DAE＝∠ABC∴Rt△ABC≌Rt△DAE（AAS）∴BC＝AE，AC＝DE又∵CE＝AC＋AE∴CE＝BC＋DE．（4）解：由上可知BC＝AE＝a，AC＝DE＝b∴S梯形BCED＝12(BC＋DE)×CE＝12(a＋b)2＝12a2＋ab＋又∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△ADE＝12ab＋12c2＋∴12a2＋ab＋12b2＝12ab＋12c整理得a2＋b2＝c2（5）解：∵飛鏢模型的周長(zhǎng)為24，觀察可知4（AB+AC）=24∴AB+AC=6∵OB=OC∴AB=5，OB=3，OA=4∴飛鏢狀圖案的面積＝4S△ABO＝4×12×3×4＝24【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證和運(yùn)用，理解勾股定理解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式14-2】（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a，b（a<b），斜邊長(zhǎng)為c．(1)結(jié)合圖①，求證：a2(2)如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長(zhǎng)為48，OH=6．求該圖形的面積；(3)如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，S1+S2+S3【答案】(1)見(jiàn)解析(2)S=96；(3)8【分析】（1）用兩種方法分別表示中間小正方形面積即可；（2）設(shè)AH=BC=x，則AB=12-x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題；（3）設(shè)正方形EFGH的面積為x，其他八個(gè)全等三角形的面積為y，則S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，根據(jù)S1+S2+S3=24（1）證明：S小正方形S小正方形即b2∴a2（2）解：∵AB+BC=48÷4=12，設(shè)AH=BC=x，則AB=12-x，OB=OH=6．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB即62解得：x=2，∴AB=12-x=10，∴S=12×6×8×4=96（3）解：設(shè)正方形EFGH的面積為x，其他八個(gè)全等三角形的面積為y，∵S1+S2+S∴S1=8y+x，S2=4y+x，S3∴S1+S2+S3=3x+12∴x+4y=8，∴S2=8故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，運(yùn)用整體思想、方程思想是解題的關(guān)鍵．【變式14-3】（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，AC⊥BD，CA=CD，點(diǎn)E在線段CA上，且滿(mǎn)足DE=AB，連接DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F．(1)求證：DE⊥AB；(2)若已知BC=a，AC=b，AB=c，請(qǐng)借助本題提供的圖形，用等積法證明勾股定理a2（提示：用兩種不同的方法表示出△ABD的面積）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，進(jìn)而求出∠BFD=90°，即可得出答案；（2）根據(jù)S△ABD=12?AB?DF,S△ABE=12?AB?EF=12?cx,S△ABD=S△BCE+S△ACD+（1）證明：∵AC⊥BD，∴△ABC和△DCE都是直角三角形，∵CA=CD，DE=AB，∴Rt△ABC≌∴∠BAC=∠CDE，∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠CDE+∠ABC=90°，∴∠BFD=90°，∴DE⊥AB；（2）解：∵Rt△ABC≌∴DE=AB=c，CE=BC=a，設(shè)EF=x，則DF=c+x，∵DE⊥AB，∴S△ABD=1∵S△ABD∴12∴a2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用面積關(guān)系證明勾股定理是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)15勾股定理與無(wú)理數(shù)】【例15】（2022·山東·青島超銀中學(xué)八年級(jí)期中）為了比較17與10+1的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通過(guò)計(jì)算可得17__10+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）【答案】＜【分析】依據(jù)勾股定理即可得到AD＝CD2+AC2=10，AB＝AC2+BC2＝17，BD＝BC－CD＝1，BD+AD＝10+1，再根據(jù)△ABD【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AC＝1，∴AD＝CD2+AC2=10，AB＝AC2+BC∴BD+AD＝10+1，又∵△ABD中，AD+BD＞AB，∴17＜10+1，故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形兩邊之和大于第三邊.【變式15-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形OABC放在數(shù)軸上，OA＝2，OC＝1，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于P點(diǎn)，則P點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A．2﹣5 B．﹣5C．5-2 D．【答案】A【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根據(jù)數(shù)軸寫(xiě)出點(diǎn)P所表示的數(shù)即可．【詳解】解：∵長(zhǎng)方形OABC的長(zhǎng)OA為2，寬OC為1，∴由勾股定理得，AC=2∴AP=5，∵點(diǎn)A表示的數(shù)是2，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是2-5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，主要是無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上的表示，熟記定理是解題的關(guān)鍵．【變式15-2】（2022·安徽黃山·八年級(jí)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，則網(wǎng)格上△ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊長(zhǎng)有(

)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】如圖所示：AB＝52+BC=22+3AC=32+4所以無(wú)理數(shù)的邊長(zhǎng)有2個(gè).故選C.【變式15-3】（2022·江西·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)八年級(jí)期末）某課外學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中．對(duì)如何畫(huà)出在數(shù)軸上表示“±a(a≥0的整數(shù)A同學(xué)說(shuō)：按照下圖可畫(huà)出表示(第1個(gè)數(shù))2(第2個(gè)數(shù))5，（第3個(gè)數(shù)）10，(第n個(gè)數(shù))的7點(diǎn)；B同學(xué)說(shuō)：我找到了表示-5,-C同學(xué)說(shuō)：以上兩位同學(xué)的方法都不能在數(shù)軸上畫(huà)出，表示3,7等無(wú)理數(shù)點(diǎn)來(lái)．我可以在A同學(xué)的基礎(chǔ)上完美地畫(huà)出表示“±a問(wèn)題1按A同學(xué)的畫(huà)法，第4個(gè)數(shù)應(yīng)是．第n個(gè)數(shù)是．2請(qǐng)你在圖2上補(bǔ)畫(huà)出表示-83C同學(xué)說(shuō)的更完美的方法你能畫(huà)出嗎?若能使用直尺和圓規(guī)在同一數(shù)軸上畫(huà)出表示：5,6【答案】（1）17；n2+12；（【分析】（1）由題意可得，第4個(gè)數(shù)是以4，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求解；第n個(gè)數(shù)是以n，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長(zhǎng)，勾股定理求解即可；（2）在-2處，作垂直于x軸且長(zhǎng)度為2的線段，再畫(huà)弧即可，同理可求得-13（3）按照（1）中的方法，做出5的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作垂直于x軸且長(zhǎng)度為1的線段，然后畫(huà)弧與x軸正半軸交點(diǎn)即表示6，同理可求7．【詳解】解：（1）由題意可得，第4個(gè)數(shù)是以4，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長(zhǎng)，由勾股定理得，斜邊長(zhǎng)為42+1第n個(gè)數(shù)是以n，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長(zhǎng)，由勾股定理得，斜邊長(zhǎng)為n2+12，第故答案為17；n（2）∵8∴8為以2，2為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長(zhǎng)同理可得：13為以3，2為直角邊構(gòu)成的直角三角形的斜邊邊長(zhǎng)，20為以4，2為直角邊構(gòu)成的直角三角形的斜邊邊長(zhǎng)，n2+4為以n，分別在-2、-3，-4，-n處，作垂直于x軸且長(zhǎng)度為2的線段，原點(diǎn)為圓心，以對(duì)應(yīng)的斜邊長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧，與負(fù)半軸的交點(diǎn)即表示-8,-（3）按照（1）中的方法做出表示5的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作垂直于x軸且長(zhǎng)度為1的線段，以5,1為直角邊作直角三角形，此時(shí)斜邊長(zhǎng)為(5)2+12同理以過(guò)6的點(diǎn)作垂直于x軸且長(zhǎng)度為1的線段，以6,1為直角邊作直角三角形，此時(shí)斜邊長(zhǎng)為(6)2+12【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在數(shù)軸上的應(yīng)用，理解題意找到無(wú)理數(shù)的平方對(duì)應(yīng)的整數(shù)平方和，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)16判斷是否是直角三角形】【例16】（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能構(gòu)成直角三角形的有__．（填序號(hào)）【答案】（1）（2）（3）【分析】只需計(jì)算兩短邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方，即可得出答案．【詳解】解：（1）62+82＝102，可以構(gòu)成直角三角形；（2）52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形；（3）82+152＝172，能構(gòu)成直角三角形；（4）52+42≠62．不能構(gòu)成直角三角形；故答案為：（1）（2）（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，如果兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，熟記勾股定理的逆定理，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式16-1】（2022·黑龍江綏化·八年級(jí)期末）已知，如圖，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．(1)求BD的長(zhǎng)．(2)判斷△BCD是什么三角形，并說(shuō)明理由？【答案】(1)5(2)直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可．（1）如圖，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，∴由勾股定理得BD即BD=5（2）△BCD是直角三角形．理由如下：在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，∴BC2=169∴BC∴△BCD是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．【變式16-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求△ABC的面積；(3)判斷△ABC的形狀．【答案】(1)15(2)150(3)△ABC是直角三角形【分析】1)根據(jù)勾股定理求出BC即可；(2)根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)AB＝AD+BD求出AB，再求出面積即可；(3)根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，由勾股定理得：BC＝CD（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝AC∵BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，∴△ABC的面積S＝12（3）∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，能熟記勾股定理和勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．【變式16-3】（2022·重慶·八年級(jí)期中）有一旅游景點(diǎn)C在一條筆直河流的一側(cè)，河邊有兩個(gè)碼頭A，B.并且AB=AC，由于某種原因，由C到A的路已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊H點(diǎn)新建一個(gè)碼頭(點(diǎn)A，H，B在同一直線上)，并新修一條筆直的公路CH，測(cè)得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米．(1)判斷△BCH的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求原路線AC的長(zhǎng)．【答案】(1)△BCH是直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為253【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）設(shè)AC=AB=x千米，則AH=AB-BH=x-6千米，在Rt△ACH（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+B∴CH∴△BCH是直角三角形且∠CHB=90°；（2）設(shè)AC=AB=x千米，則AH=AB-BH=x-6在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，由勾股定理得：AC∴x解得x=25答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為253【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．【考點(diǎn)17利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題】【例17】（2022·山東德州·八年級(jí)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門(mén)的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為（）米．A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，得到CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE，進(jìn)而得到BE=AB-AE=1.6米，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D