2022年北師大版九年級數(shù)學下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系專項測試試卷

九年級數(shù)學下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系專項測試

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、在△48C中，ZJ6S=90°,AC=1,BC=2,則sin6的值為（）

A.直B?邁D

55c"-T

2、已知某水庫大壩的橫斷面為梯形,其中一斜坡AB的坡度i=1:6，則斜坡AB的坡角a為

()

A.30°B.45°C.60°D.150°

3、請比較sin30°、cos45°、tan60°的大小關(guān)系（）

A.sin30°<cos45°<tan60°B.cos45°<tan600<sin30°

C.tan60°<sin30°<cos45°D.sin30°<tan60°<cos45°

4、若tan4=2,則//的度數(shù)估計在（）

A.在0°和30°之間B.在30°和45°之間

C.在45°和60°之間D.在60°和90°之間

5、在RAABC中，ZC=90°,AB=5,AC=2,則cosA的值是()

A?亨B.|C.fD.|

6、如圖，在中，Z^90°,N4?俏30°,〃是“1的中點，則tan/〃%的值是（）

A.6B.C.—D.由

26

7、如圖，在直角坐標平面內(nèi)有一點P（6,8）,那么射線。尸與*軸正半軸的夾角a的正切值是（

8、已知銳角a滿足tan（。+10。）=1,則銳角用a的度數(shù)為（）

A.20°B.35°C.45°D.50°

9,在鹿△/6C中，NO=90°,AC=5,BC=3,則sin4的值是（）

A.返B.2C.之D.場

34543

10、球沿坡角31。的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（）.

A.5sin31°米B.5cos310米C.5tan310米D.5coi310米

第n卷（非選擇題7。分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1,在欣△46C中，Z(>90°,如果cos/=§,A(=2,那么46的長為.

2、計算：78+2sin45°-^(,=.

3、計算：COS245°+tan30°,sin60°—sin245°=.

5i

4、如圖，在R〃AC8中，ZACB=90,BC=0，tanA="，點￡在線段AC上，CE=~,〃是線段

32

A8上一點，連接OE,將四邊形8CEO沿直線OE翻折，得到四邊形GFED,當點G恰好落在AC上

時，折痕DE的長為.

5、若一個小球由桌面沿著斜坡向上前進了10cm,此時小球距離桌面的高度為5cm,則這個斜坡的坡

度為.

三、解答題(5小題，每小題10分，共計50分)

1、如圖所示，在7x6的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1,線段AB的端點A、B均在小正方形

的頂點上.

25

(1)在方格紙中畫出等腰AA8C,點C在小正方形的頂點上，AA8C的面積為了；

(2)在方格紙中畫出以A8為斜邊的RtAAB。，點。在小正方形頂點上，tan/ZM4=2,連接CD,并

直接寫出C。的長.

2、如圖，在比1中，N8=30°,8c=40cm,過點力作8a垂足為2N4切=75°.

(1)求點C到48的距離；

(2)求線段股的長度.

3、如圖，在平面直角坐標系中，點/在x軸的正半軸上，點6在x軸的負半軸上，點。在y軸的正

半軸上，直線比1的解析式為尸Ax+12(后0),ACVBC,線段辦的長是方程V-15x-16=0的

根.請解答下列問題：

(1)求點］、點6的坐標.

Itn

(2)若直線/經(jīng)過點4與線段勿交于點〃，且tanNOg：,雙曲線尸一(咨0)的一個分支經(jīng)

4x

過點〃，求加的值.

(3)在第一象限內(nèi)，直線⑦下方是否存在點R使以。、4。為頂點的三角形與相似.若存

在，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

4、某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋.如圖，河旁

有一座小山，山高3c=80m,點C、A與河岸E、尸在同一水平線上，從山頂8處測得河岸E和對岸

F的俯角分別為Zt?8E=45。，ZDBF=3l°.若在此處建橋，求河寬EF的長.(結(jié)果精確到hn)[參

考數(shù)據(jù)：sin310==().52,cos31o?O.86,tan31°?0.60]

5、如圖，在。力頗中，過6作也”于點￡,連結(jié)力反少為上一點，且NAFB=ND.

(1)求證：XABFsMEAD.

(2)若AB=46,AD=6,Nfi4￡=30°,求防的長.

-參考答案-

一、單選題

1、A

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出斜邊的值，再利用正弦函數(shù)的定義計算即可.

【詳解】

解：?在△48C中，N4690°,AO\,BC=2,

止-JAC2+BC2=A/5>

..心AJ石

??sin廬---，

AB5

故選：A.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理.解決此類題時，要注意前提條件是在直角三角形中，此

外還有熟記三角函數(shù)的定義.

2、A

【分析】

直接利用坡角的定義得出答案.

【詳解】

解：???某水庫大壩的橫斷面是梯形，其中一斜坡AB的坡度i=l:百，

設(shè)這個斜坡的坡角為a,

故tana-,

由3

故a=30°.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確得出坡角與坡比的關(guān)系.

3、A

【分析】

利用特殊角的三角函數(shù)值得到sin30°=；,cos45°=變，tan600=內(nèi)，從而可以比較三個三角

22

函數(shù)大小.

【詳解】

解答：解：Vsin30°cos45°=—,tan60°=6，

22

而片立<6,

22

/.sin30°<cos450<tan60°.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，實數(shù)比大小，準確計算是解題的關(guān)鍵.

4、D

【分析】

由題意直接結(jié)合特殊銳角三角函數(shù)值進行分析即可得出答案.

【詳解】

解：***tan60°=^3<tanA=2，

：.NA>60°,

???60<ZA<90\

故選：D.

【點睛】

本題考查特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握tan30°=3,tan45°=1,tan60。=6是解題的關(guān)鍵.

3

5、B

【分析】

根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合余弦函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】

解：由題意，可得圖形如下：

根據(jù)余弦函數(shù)的定義可得cosA=籌=5，

AB5

故選：B

【點睛】

此題考查了余弦函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，并掌握余弦函數(shù)的定義.

6、D

【分析】

根據(jù)正切的定義以及tan3(T=且，設(shè)AC=G“，貝=結(jié)合題意求得。C,進而即可求得

3

tanZDBC.

【詳解】

解：在△力比'中，Z(^90°，N/除30。，

tanZABC=生=tan30。=且設(shè)AC=耳，貝UBC=3a,

BC3

???〃是4c的中點,

DC=-AC=—a

22

.

tanNDBC=—=-2—=@'

BC3a6

故選D

【點睛】

本題考查了正切的定義，特殊角的三角函數(shù)值，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

7、D

【分析】

作局吐X軸于點M構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】

解：作月匕x軸于點機

VA6,8),

佐6,4滬8,

84

..tano--——=—=—

OM63

故選：D.

【點睛】

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

8、B

【分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可；

【詳解】

Vtan(a+10°)=1,且tan45°=1,

a+10°=45°,

,c=35°；

故選B.

【點睛】

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，準確計算是解題的關(guān)鍵.

9、A

【分析】

先根據(jù)銀河股定理求出力6,根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，可得答案.

【詳解】

解：如圖，

：/C=90°，47=5,BC=3,

AB=^AC2+BC2=庖

.?.盾=空=/=通

AB取34

故選：A.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)是對邊比斜邊是解題關(guān)鍵.

10、A

【分析】

過鉛球。作3，底面45于氏在中，/建5米，根據(jù)銳角三角函數(shù)sin31°與,即可求

AC

解.

【詳解】

解：過鉛球。作/_L底面于6,

如圖在Rt△,中,小5米,則sin31。嘿

.?.除sin31°XJO5sin31°.

故選擇A.

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

二、填空題

1、6

【分析】

sri

根據(jù)余弦的定義可得cosA=^=；,代入AO2即可求得A8

AB3

【詳解】

解:如圖，

AC1、

cosA==—,AC=2

AB3

:.AB=6

故答案為：6

【點睛】

口的鄰邊

本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵，在心△中,cosa=

斜邊

2、3及T3&

【分析】

先算化簡二次根式，三角函數(shù)值和0次基，再利合并同類二次根式即可得出答案.

【詳解】

解：原式=2拉+2x^-1,

2

=2夜+夜-1,

=30-1.

故答案為：3五T.

【點睛】

本題考查的是實數(shù)的運算，二次根式化簡，特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)累，比較簡單，需要熟練掌握實

數(shù)的運算，二次根式化簡，特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)基是解題關(guān)鍵.

3-

提2

【分析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入進而得出答案.

【詳解】

解：cos245°+tan300sin600-sin245°

故答案為y.

【點睛】

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

4、述

8

【分析】

這點D作■B3可以推出坐=竺，乙4/旗N/%=90°,再由tan4=〃^=^=也得到

BD2HC2AHAC3

DH=^AH,AC=^=3,由折疊的性質(zhì)可得：EF=CE=^,FG=BC=^2,

3

N6KAN及方=90°,DG=BD,從而求出GE=j,

36

AG=1,設(shè)GH=x,則HE=GE-G”=/-x,￡>”=注（1+尤），AH=AG+GH=l+x,

C7/=A//_CH=2_x,再由勾股定理得至I」BD2=DG2=GH2+DH2=x2++,

AD2=AH2+D/72=^(1+x)2+(1+x)2=^(1+x)2,則一^------二尸,由此求出％=：,然后

99V+如爐(2-2療8

求出HE=GE-EH=］。"=述，最后利用勾股定理求解即可.

88

【詳解】

解：如圖所示，過點。作力/〃6C,

AnAH

：.一=一,ZAHD=ZACB=90°,

BDHC

,DHBCy/2AD2AH2

??tunAA=-----=----=—，-----z-=----7"

AHAC3BD1HC2

?V2人.3BC々

??DH=AH,AC==3,

由折疊的性質(zhì)可得：￡F=CE=1,FG=BC=C，/。修/優(yōu)戶90°,DG=BD,

：.GE=y)EF2+GF2=-,

2

：.AG=AC-GE-CE=\,

3/?

設(shè)G”=x,則HE=GE-GH=——x,DH=—(\+x],AH=AG+GH=1+x,

23v7

CH=AH-CH=2-x,

：.BD2DG2=GH2+DH2=jc+-(\+,/ID2-^/72+D/72=-(l+x)2+(l+x)2=y(l+x)2,

?和卡尤『0+"2

"x2+1(l+x)2(2—x『‘

7

解得工=3，

o

/.HE=GE-EH=-,DH=—,

88

Z.DE=\JDH2+HE2=—,

8

故答案為：巫.

8

【點睛】

本題主要考查了平行線分線段成比例，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能正

確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形進行求解.

5、3

3

【分析】

過6作比工桌面于C,由題意得力廬10。如砥5面，再由勾股定理求出〃'的長度，然后由坡度的定

義即可得出答案.

【詳解】

如圖，過8作式工桌面于G

由題意得：AB=T0c/",BC=5cm,

：?AC=>JAB2-BC2=55/3，

???這個斜坡的坡度，?嘿=提=可

故答案為：走.

3

【點睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題以及勾股定理；熟練掌握坡度的定義和勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)見詳解；(2)圖見詳解，

【分析】

(1)由題意根據(jù)點C在小正方形的頂點上，AABC的面積為，25即可得到點C的位置；

(2)由題意根據(jù)以A3為斜邊的RtA4?。，點。在小正方形頂點上，tanMM=2,即可得到點。的

位置，進而依據(jù)勾股定理即可得出CO的長.

【詳解】

解：(1)如圖，等腰A/SC即為所畫，

由勾股定理可得A8=BC=132+42=5,

25

AABC的面積為彳，當月6為底邊可得高為5,

以4BC為直角作BC=5即可,

因為4G=BF,ZAGB=NCFB=90°,GB=CF,

所以AAGB祥BFC,ZABG=Z.BCF,

又因為NBCF+ZCBF=90°,

所以NABG+ZCBF=90°,ZABC=90"；

(2)如圖，RtAABO即為所畫，

由勾股定理可得80=Vl2+22=6AD=V22+42=2后,

并且AZ)2+8￡>2=ZBDA=90,

所以tanNDBA==2盧=2,

所以8=4+32=9.

【點睛】

本題主要考查應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練掌握勾股定理及其逆用以及三角函數(shù)的定義和等腰三角形定義和

全等三角形判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本

作圖的方法作圖.

2、(1)20cm；(2)1073+10

【分析】

(1)過C點作物于〃，如圖，在Rt△仇力中，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系易得位=

^?笈=20；

(2)在麻△63中利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得加20,BH=6CH=206,再利用三

角形外角性質(zhì)計算出/胡。=45°,則△467/為等腰直角三角形，所以4/=勿=20,然后利用面積法

求/〃.

【詳解】

解：(1)過。點作戊1"于〃，如圖，

在RtZ\6。/中，

'：ZB=30°,

ACH=yBC=yX40=20cm,即點C到4?的距離為20cm；

(2)在RtZS6。/中，

?.?N6=30°,

<7/=20cin,BH=CH=20cm,

,：AACD=AABAC,

：.ZBAC=75°-30°=45°,

.?.△4口為等腰直角三角形，

：.AH=CH=2Qcm,

."6=(20G+20)cm,

'：^AI>BC=^CII*AB,

：.AD~20x(2M+20)=(]oG+]o)cm.

40

A

H

【點睛】

本題主要考查了含30°直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的外角以及三角形的面積等知識

點，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.

64

3、(1)A(16,0),B(-9,0)；(2)-24；(3)存在，(16,12)或(25,12)或(32,—)或

(288384、

(石'石)

【分析】

(1)解一元二次方程15x-16=0,對稱點力(16,0),根據(jù)直線式'的解析式為尸Ax+12,求

出與y軸交點。為(0,12),利用三角函數(shù)求出tan/6C3tan/的建黑=[,求出吩

33

一OC=-xl2=9即可；

44

(2)過點〃作皿y軸于瓦加J_x軸于凡利用勾股定理求出AKcG+OA1=/122+162=20,

.___________CDCD11

BO4OB1+OC-=\J92+122=15?根據(jù)三角函數(shù)求出tan/CNZH.=：，求出CZ)=：x2()=5，

AC2044

3

利用三角函數(shù)求出好CDsinZBCO=5x-=3,再利用勾股定理求出點〃(-3,8)即可；

(3)過點4作14與過點C與x軸平行的直線交于先證四邊形以出為矩形，求出點A(16,

12),再證作84_1_4c交⑦延長線于凡可得/?？?/及力=90°,NP￡歸乙CAB,

可證先求三角函數(shù)值cosNG431g=^=U，再利用三角函數(shù)值cos/R價

4c204

cosZCM^—求出C^=25,得出點2(25,12)作在射線切截取

CPFCW\2,連結(jié)力辦先證物△物(SAS)再證△AOs△。反設(shè)P3(x,y)利用勾股定理列

(16-x)2+y2=162288384

方程；29)，解方程得出點A(餐,餐)，延長曲與延長線交4,過日作Mx軸于

(y-12)+X2=1222525

RC123cA

//,先證△ORs△力陽再證△月(ASA),利用cosN月。=力=^=￡=KT，求得

CAZUD

f5CA100刖」.

°舄=亍=亍即可.

【詳解】

解：(1)y-15A--16=0,

因式分解得(x—16)(x+l)=0,

解得演=16,x2=-l,

點｛在x軸的正半軸上，<24=16,

.?.點1(16,0),

?.?直線式'的解析式為尸Ax+12,

與y軸交點C為(0,12),

123

AtanZCM^—=-,Z0CA+Z0AO900,

164

*：ACLBQ

：.ZBC(^ZOCA=90°,

：.4BCW4OAC,

OB3

二?tan/a3tanN物為二—,

OC4

33

：.OB=-OC=-x\2=9

44f

?,?點8(-9,0)；

(2)過點〃作皿y軸于￡,肌Lx軸于個

在RW%中，AC=y/cO^OA2=>/122+162=20-

在RtZ\6%中BC=yjoB2+OC2=>/92+122=15，

CDCD

VtanZCAD———

AC~204

AC￡>=-x20=5,

4

AinNSS空，3

BC155

3

:,D5CDsinZBCO=5x-=3,

???行Jeb—世=&2-32=小阪叱陷12一4二8,

???點〃(-3,8),

'??雙曲線7=絲(加W0)的一個分支經(jīng)過點〃

x

/.tn=xy=-3xS=-24；

(3)過點力作m與過點C與x軸平行的直線交于R,

則/%/=/幺)=/物=90°,

...四邊形如A為矩形，

:.點R(16,12),

當點P、(16,12)時，CP/OA,

NRCA=NCAB,NACB=NCRA,

：./\PxCA^r\CAB,

作RHa'交中延長線于Pz,

80=90°,ZP2CA=ZCAB,

:.XCAPDXACB,

J64

：.cosZCAO=-=

AC20~5

AC204

AcosZ/iCA=cosZCAO^-^-=

5

/.C/>=25,

???點2的橫坐標絕對值=C6=25,縱坐標的絕對值二0012,

??.點幺(25,12),

作/月。二N%4,在射線〃截取力二除12,連結(jié)?1必

在△%力和△劃中，

CPy=CO

<Z,P3CA=NO。,

CA=CA

，△無力且△物(SAS),

J4打好16,

?_12_44A16_4

**cF-i5-5,C4-20-5,

...烏=9=i,zCP3A=ZBCA=90°

CBCA5

:.△RC"XCAB,

設(shè)R(x,y)

(16-x)2+y2=162

(y-12)2+x2=122

x2+y2=32x

整理得

y2+x2=24y9

288

x=-----

25

解得：

384'

y=——

25

.288384

??點月（石‘石）'

延長明與延長線交A,過A作用/J_x軸于〃

?:/RCQ/CAB,NRA?NBA俏90°,

:.XCAPoXACB,

?：NBA創(chuàng)/HAPF/CAR+/RAPF90。,ZCAP^ZBAC,

：./HAP尸乙RAP，,

NH月/二180°-Z6^J=180°-90°=90°=NPJIA,

在△/V3和物中,

4P3Ap4=/HAP&

<AP4=AP4

XPP噲XP\HA(ASA),

???/月二/滬16,PSPEPW,

P.C123CA