廣東省深圳市龍城高級(jí)中學(xué)2023年高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

廣東省深圳市龍城高級(jí)中學(xué)2023年高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．已知集合，則（）A. B.C. D.2．已知直線過，兩點(diǎn)，則直線的斜率為A. B.C. D.3．設(shè)，，，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，是該圖象與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交該圖象于兩點(diǎn)，點(diǎn)是的圖象的最高點(diǎn)在軸上的射影，則的值是A B.C.1 D.25．已知，若，則A.1 B.2C.3 D.46．如圖，一質(zhì)點(diǎn)在半徑為1的圓O上以點(diǎn)為起點(diǎn)，按順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為，5s時(shí)到達(dá)點(diǎn)，則（）A.-1 B.C. D.7．設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，，則xf(x)＜0解集為（）A.(－1，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(0，2)C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)8．下列函數(shù)中與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B.C. D.9．已知集合，a=3．則下列關(guān)系式成立的是A.aAB.aAC.{a}AD.{a}∈A10．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____.12．某醫(yī)藥研究所研發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（時(shí)）之間近似滿足如圖所示的關(guān)系.若每毫升血液中含藥量不低于0.5微克時(shí)，治療疾病有效，則服藥一次治療疾病的有效時(shí)間為___________小時(shí).13．直三棱柱ABC-A1B1C1，內(nèi)接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，則球O的表面積______14．若，則___________15．已知是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為___________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.17．通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)f（t）表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t（分鐘）的變化規(guī)律（f（t）越大，表明學(xué)生注意力越集中）經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得知：（1）講課開始后第5分鐘與講課開始后第25分鐘比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？（2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？（3）一道比較難的數(shù)學(xué)題，需要講解25分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？18．已知函數(shù)的最小正周期為（1）求當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)的值；（2）若的圖象過點(diǎn)，求的單調(diào)遞增區(qū)間19．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且.（1）求及的解析式及定義域；（2）如果函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)、在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上．若，（）求向量，夾角的正切值（）問點(diǎn)在什么位置時(shí)，向量，夾角最大？

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、D【解析】求出集合A，再求A與B的交集即可.【詳解】∵，∴.故選：D.2、C【解析】由斜率的計(jì)算公式計(jì)算即可【詳解】因?yàn)橹本€過，兩點(diǎn)，所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題考查已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率問題，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】先計(jì)算得到，，再利用展開得到答案.詳解】，，；，；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的計(jì)算，變換是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】分析：由圖象得到函數(shù)的周期，進(jìn)而求得．又由條件得點(diǎn)D,E關(guān)于點(diǎn)B對稱，可得，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解可得結(jié)果詳解：由圖象得，∴，∴又由圖象可得點(diǎn)B為函數(shù)圖象的對稱中心，∴點(diǎn)D,E關(guān)于點(diǎn)B對稱，∴，∴故選B點(diǎn)睛：本題巧妙地將三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)和向量數(shù)量積的運(yùn)算綜合在一起，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．解題的關(guān)鍵是讀懂題意，通過圖象求得參數(shù)；另外，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱中心將向量進(jìn)行化簡，從而達(dá)到能求向量數(shù)量積的目的5、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，則為奇函數(shù)，根據(jù)可求得，進(jìn)而可得到【詳解】令，則為奇函數(shù)，且，由題意得，∴，∴，∴.故選A【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，同時(shí)也考查觀察、構(gòu)造的能力，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】由正弦、余弦函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式得出.【詳解】設(shè)單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，則，所以，，故.故選：C7、C【解析】結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，得到，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，又，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且，函數(shù)f(x)的草圖如圖，又由，可得或，由圖可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集為(－2，0)∪(2，＋∞).故選：C.本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.8、B【解析】根據(jù)同一函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)的定義為，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)與函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)與函數(shù)的對應(yīng)法則不同，不是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋詢珊瘮?shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選：B.9、C【解析】集合，，所以{a}A故選C.10、B【解析】由基本不等式有，令，將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.【詳解】解：由題意，正實(shí)數(shù)滿足，則，令，可得，即，解得，或(舍去)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2，故選：B.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，如圖所示：當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，且，令，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，∴，若時(shí)，恒成立，只需，當(dāng)上，均有恒成立，結(jié)合圖形知：，∴，∴，令，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴最大，∴，∴.考點(diǎn)：1.函數(shù)圖像；2.恒成立問題；3.數(shù)列的最值.12、【解析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，然后由已知構(gòu)造不等式，解不等式即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是一個(gè)線段，由于過原點(diǎn)與點(diǎn)，故其解析式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，因?yàn)樵谇€上，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為，綜上，，由題意有或，解得，所以，所以服藥一次治療疾病有效時(shí)間為個(gè)小時(shí)，故答案為：13、【解析】利用三線垂直聯(lián)想長方體，而長方體外接球直徑為其體對角線長，容易得到球半徑，得解【詳解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1兩兩垂直，可知其為長方體的一部分，利用長方體外接球直徑為其體對角線長，可知其直徑為，∴=41π，故答案為41π【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱柱的外接球和球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象能力.14、【解析】只需對分子分母同時(shí)除以，將原式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的表達(dá)式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得結(jié)論【詳解】解：，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查二倍角的正切公式，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】根據(jù)偶函數(shù)定義求解【詳解】由題意恒成立，即，恒成立，所以故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、(1)（2）3(3)1【解析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)化簡求值；（3）利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.試題解析：(1)原式＝-10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.（2）原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝17、（1）講課開始25分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中（2）講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘（3）不能【解析】（1）分別求出比較即可；（2）由單調(diào)性得出最大值，從而得出學(xué)生的注意力最集中所持續(xù)的時(shí)間；（3）由的解，結(jié)合的單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋灾v課開始25分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，是増函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，且所以講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，令，則則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間為所以老師不能在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題18、（1）；（2）.【解析】（1）由為偶函數(shù)，求出的值，結(jié)合的范圍，即可求解；（2）由函數(shù)的周期求出值，將點(diǎn)代入解析式，結(jié)合的范圍，求出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，整體代換，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，；（2）函數(shù)的最小正周期為，，當(dāng)時(shí)，，將點(diǎn)代入得，，，單調(diào)遞增需滿足，，，所以單調(diào)遞增是；當(dāng)時(shí)，，將點(diǎn)代入得，，的值不存在，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，利用三角函數(shù)值求角，要注意角的范圍，考查計(jì)算求解能力，不要忽略的正負(fù)分類討論，是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題.19、（1），（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）的取值范圍為.【解析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)計(jì)算得到，得到答案.（2）化簡得到，，計(jì)算，得到是增函數(shù).（3）化簡得到，參數(shù)分離，求函數(shù)的最大值得到答案.【詳解】（1）因?yàn)樵诙x域R上是奇函數(shù).所以，即，所以．又由，即，所以，檢驗(yàn)知，當(dāng)，時(shí)，原函數(shù)是奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞增.證明：由（1）知，任取，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，且，所以，又，所以，即，所以函數(shù)R上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，從而不等式等價(jià)于，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，由上式推得，即對一切有恒成立，設(shè)，令，則有，，所以，所以，即的取值范圍為.20、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，結(jié)合，以取代入上式得到，聯(lián)立求解；（2）易得，，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，，根據(jù)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在有一個(gè)零點(diǎn)求解.【小問1詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，∵，①∴令取代入上式得，即，②聯(lián)立①②可得，，【小問2詳解】，，，可得，∴，.設(shè)，∴，，∵當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即使得函數(shù)，在有一個(gè)零點(diǎn)，（時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)）即方程在內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根，∵，令，則使即可，∴或.∴的取值范圍.21、（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析：（）設(shè)向量與軸的正半軸所成的角分別為，則向量所成的夾角為，由兩角差的正切公式可得向量夾角的正切值為；（）由（1）知，利用基本不等式即可的結(jié)果.詳解：（1）由題意知，A的坐標(biāo)為A（0，6），B的坐標(biāo)為B（0，4），C（x，0），x＞0設(shè)向量，與x軸的正半軸所成的角分別為α，β，則向量，所成的夾角為|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函數(shù)的定義知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夾角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夾角的正切值為tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值