平面向量數(shù)量積的物理背景及幾何意義

平面向量數(shù)量積物理背景及其含義已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS那么力F所做的功W為：W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。數(shù)量積的定義（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，注意

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即（2）a·b不能寫成a×b

，‘·’不能省.向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零。例題講解例1．已知=5，=4，與

的夾角，求.變式:如圖的菱形ABCD中，角A等于，AB=2,求下列各數(shù)量積.DABC例2已知=(1,1),=(2,0),求。解：

設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1求模的方法判斷垂直的又一條件求角

物理上力所做的功實(shí)際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF

對(duì)非零向量a與b，定義|b|cosθ叫向量b在a

方向上的投影．|a|cosθ叫向量a在b

方向上的投影．?dāng)?shù)量積的幾何意義，過點(diǎn)B作則

的數(shù)量是|b|cosθ（不是向量）a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上投影|b|cos

的乘積。

θ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0數(shù)量積的幾何意義

OABbaB1B1OAB

baOAB

ba回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)的運(yùn)算律，類比數(shù)量積得運(yùn)算律:

在實(shí)數(shù)中在向量運(yùn)算中交換律:ab=ba()結(jié)合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b≠0)a=c

()√√√

×

×數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)，則:典型例題例1.已知向量a，b,求證下列各式證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·a－a·b－b·b

＝a2－b2.向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式運(yùn)算解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是（a+kb）·（a-kb）=0即a2-k2b2=09-16=0所以，k=例4、已知點(diǎn)O、N、P在△ABC所在平面內(nèi)，且A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心判斷正誤，并說理.1.已知向量

和實(shí)數(shù)1．若

，則

中至少有一個(gè)為．2.若b≠0，a·b＝c·b

，則a=c4.對(duì)任意向量a有3.(a·b)c=a(b·c)××××√鞏固練習(xí)2.已知△ABC中,AB=a,AC=b,當(dāng)a·b<0,a·b=0時(shí),△ABC各是什么三角形？當(dāng)a

·

b＜0時(shí)，cos<0，為鈍角三角形當(dāng)a

·

b=0時(shí)，為直角三角形鞏固練習(xí)3.在△ABC中a=5,b=8,C=60o,

求思考：用向量方法證明：直徑所對(duì)的圓周角為直角。ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向