線段的垂直平分線

1.性質(zhì)2.判定3.作圖1.3.1線段的垂直平分線已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求證：△ABC≌△DEFABCPDEFQ變式1：若把∠BAC＝∠EDF,改為BC＝EF

，△ABC與△DEF全等嗎？請(qǐng)說明思路。變式2：若把∠BAC＝∠EDF,改為AC=DF，△ABC與△DEF全等嗎？請(qǐng)說明思路。變式3：請(qǐng)你把例題中的∠BAC＝∠EDF改為另一個(gè)適當(dāng)條件，使△ABC與△DEF仍能全等。試證明。知識(shí)回顧定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等已知:如圖,直線MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.ACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA=PB∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn)(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).幾何語言描述已知:如圖,PA=PB.求證:點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.ABP

逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.方法一：過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C

C∵PC⊥AB∴△APC和△BPC都是Rt△∵PC=PC,PA=PB∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)∴AC=BC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∴P在AB的垂直平分線上.ACBP.方法二：把線段AB的中點(diǎn)記為C,連接PC

幾何語言描述：∵PA=PB(已知),∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).∵C為AB的中點(diǎn)∴AC=BC∵PA=PB,PC=PC∴△APC≌△BPC(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB

即P在AB的垂直平分線上.例1：已知：如圖1-18，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC．證明：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上），同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上,∴直線AO是線段BC的垂直平分線段（兩點(diǎn)確定一條直線）．1.如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上的一點(diǎn),如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=

0.EDABC760隨堂練習(xí)F2.已知：如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E、Ｆ是AB上的兩點(diǎn)求證：∠ECF=∠EDF已知:線段AB,（如圖）.求作:線段AB的垂直平分線.

用尺規(guī)作線段的垂直平分線.1.分別以點(diǎn)A和B為圓心,以大于長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)C和D.ABCD2.作直線CD.

則直線CD就是線段AB的垂直平分線...作法：例3已知一個(gè)等腰三角形的底邊和底邊上的高，求作這個(gè)等腰三角形。ha已知：線段a、h

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。已知：線段a、h。求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。作法：NMCBhaAD1．作線段BC=a；2．作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；3．在直線MN上作線段DA,使DA=h；4．連接AB、AC.△ABC為所求的等腰三角形。P●l做一做

已知直線l和l上一點(diǎn)P,利用尺規(guī)作l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P。

如果點(diǎn)P在直線外呢？交流一下。議一議2.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長(zhǎng)等于50,求BC的長(zhǎng).BAEDC解：∵DE為AB的垂直平分線∴AE=BE∵△BCE的周長(zhǎng)等于50∴BE+EC+BC=50

即：AE+EC+BC=50∴AC+BC=50∵AC=27∴BC=23

3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn)。求證：PB=PCPBDCA

證明：∵AB=AC∴A在線段BC的垂直平分線上∵BD=CD∴D