2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)-旋轉(zhuǎn)綜合題（幾何變換）

2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題復(fù)習(xí)-旋轉(zhuǎn)綜合題（幾何變換）

一、解答題

1.如圖1,若△ABC和△AOE為等邊三角形，M,N分別為EB,CC的中點(diǎn)，易證：CD=BE,XAMN是等

邊三角形：

（1）當(dāng)把AAOE繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=8E嗎？若相等請證明，若不等于請說明理由;

圖2

（2）當(dāng)把AACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AAMN還是等邊三角形嗎？若是請證明，若不是，請說明

理由（可用第一問結(jié)論）.

2.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知拋物線y=or2+bx+c與x軸交于點(diǎn)4（7,0）,B（3,0）,與y軸交于

點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，如圖.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，連接AP、BP、CP,記AA8P的面積為S/,ACBP的面積為S2,若

S.5

不=彳，求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)；

d23

(3)點(diǎn)P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C、。重合)，連接。P,將。P繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

DP',旋轉(zhuǎn)角等于連接PP,BP,若NPP8=90。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.問題發(fā)現(xiàn)：

⑴如圖1,在RSABC中,ZBAC=30°,NABC=90。,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角a=2ZBAC,

NBCD的度數(shù)是—；線段BD,AC之間的數(shù)量關(guān)系是—.

類比探究：

(2)在RSABC中，ZBAC=45°,ZABC=90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角a=2/BAC,請

問(1)中的結(jié)論還成立嗎？；

拓展延伸：

(3)如圖3,在Rt/iABC中，AB=2,AC=4,NBDC=90。，若點(diǎn)P滿足PB=PC,/BPC=90。，請直

接寫出線段AP的長度.

圖1圖2圖3

4.如圖1,在RtA8C中，?B90?,A8=8,BC=6,D、E分別是8C、4c的中點(diǎn)，連接￡>E,將△￡DC

繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

當(dāng)a=0。時(shí)，一=，當(dāng)a=180。時(shí)，一=

BD------BD-----

(2)拓展探究：

①當(dāng)0?￡<360。時(shí)，煞的值有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.

BD

②當(dāng)?圓為直角三角形時(shí)，直接寫出線段30的長.

5.在，ABC中，AB=AC,ZBAC^a,點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)B,C重合的一動點(diǎn)，連接尸C,將線段PC

繞點(diǎn)戶順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段PQ,連接BQ,CQ,AP,點(diǎn)M,N分別是線段C8,CQ的中點(diǎn)，連接

(1)【觀察猜想】如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B在直線CA兩側(cè)，。=60。時(shí)，F(xiàn)?的值是,直線MN與直線

PA所成的銳角的度數(shù)是；

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8在直線CA兩側(cè)，a=120。時(shí)，求絆的值及直線MN與直線刑所成

PA

的銳角的度數(shù)；

(3)【解決問題】當(dāng)點(diǎn)尸在直線BC上方，a=90。，且點(diǎn)A,P,。在同一條直線上時(shí)，連接BP,已知

請直接寫出M黑N的值.

PA

6.如圖①，四邊形ABC。與四邊形AEFG是共一個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)大小不同的正方形.

(1)操作發(fā)現(xiàn)，如圖②，正方形AEFG繞頂點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在邊AZ)上時(shí)，填空：

①線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系是；

②NABE與NADG的關(guān)系是.

(2)猜想與證明：如圖③正方形AEFG繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某一角度a(0<a<90°)時(shí)，猜想(1)中的

結(jié)論是否成立？并證明你的結(jié)論；

(3)拓展應(yīng)用：如圖④，正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)尸落在邊40上時(shí)，若AB=2應(yīng)，AE=1,

則BE=.

7.如圖1,在矩形ABC。中(8C>A8),點(diǎn)尸是線段BC上一動點(diǎn)，連接AP,并將線段"繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段AE,連接ERE。，延長交BC的延長線于點(diǎn)F,延長交8A的延長線于點(diǎn)Q.

(1)在圖1中，NEA。NAPB.(填或“=”)

(2)如圖2,若AP//DE,寫出三個(gè)與NEA。相等的角：.

(3)如圖3,若AB=1,8C=2,AP//OE,求證：四邊形4PEQ是平行四邊形.

(4)如圖4,若AB=1,BC="+1("為正數(shù))，且AP〃￡>E.

①求EP的值(用含”的代數(shù)式表示)；

②求4烏的最小值.

8.已知，在AABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,點(diǎn)0是邊AC的中點(diǎn)，連接。8,將AA0B繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a。至AANM,連接CM,點(diǎn)P是線段CM的中點(diǎn)，連接PB,PN.

(1)如圖1,當(dāng)a=180時(shí)，請直接寫出線段PN和P8之間滿足的位置和數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)0Va<180時(shí)，請?zhí)剿骶€段PN和PB之間滿足何位置和數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論

(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至C,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，線段BP的長為.

9.如圖，△ABC中，AB^AC,ZBAC=30°,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a。.得到△AOE,連接

BD,CE交于點(diǎn)F.

(1)求證：△A3。四△ACE；

(2)用a表示NACE的度數(shù);

(3)若使四邊形A8FE是菱形，求a的度數(shù).

10.如圖,ABC和VADE是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，N84C=ND4E=90。，點(diǎn)尸為射線8D,CE的交

點(diǎn).

B

圖2備用圖

BD

(1)如圖1,若二ABC和VADE是等腰三角形，則NBPC=-----，~CE

(2)如圖2,若NA￡>E=NABC=30。，求出N3PC的度數(shù)以及絲的值;

CE

(3)在(1)的條件下，AB=6,4)=4,若把VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NE4c=90。時(shí)，請直接寫出心的長

度.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,1),B(4,2),C(2,0).

(1)將△ABC沿y軸翻折得到畫出△4]/。；

(2)將△A8C繞著點(diǎn)(-1,-1)旋轉(zhuǎn)180°得到aAzB2c2,畫出282c2;

(3)線段B2C2可以看成是線段8/G繞著平面直角坐標(biāo)系中某一點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的

AC于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，

①線段C尸與。G的數(shù)量關(guān)系是；②NFC。的度數(shù)是;

(2)如圖2,當(dāng)。=90。時(shí)，點(diǎn)E在線段8c上時(shí)，請寫出線段C尸與。G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)當(dāng)“=120。時(shí)，若AB=6,AD=\,CE=4拒,請直接寫出CF的長度.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知RtADOE,ZDOE=90°,0D=3,點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)E在x軸

上，在△ABC中，點(diǎn)A,C在x軸上，AC=5.ZACB+ZODE=180°,ZABC=Z0ED,BC=DE.按下列要

求畫圖(保留作圖痕跡)：

(1)將^ODE繞O點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△0MN(其中點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

N),畫出AOMN；

(2)將△ABC沿x軸向右平移得到△ABC'(其中點(diǎn)A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)ATB\U),使得

與(1)中的AOMN的邊NM重合；

(3)求OE的長.

14.如圖①，在矩形ABC。中，AB=1,對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，NCO￡>=60。，點(diǎn)E是線段C。上一

點(diǎn)，連接0E,將線段0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段OF,連接OF.

(2)連接E尸交。。于點(diǎn)尸，求。尸的最大值；

(3)如圖②，點(diǎn)E在射線CD上運(yùn)動，連接AF,在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，若AF=AB，求。尸的長.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(-1,5),8(-3,1)和。(4,0),請按下列要求畫圖并填空.

（1）平移線段A8,使點(diǎn)A平移到點(diǎn)C,畫出平移后所得的線段C。，并寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

（2）將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段AE,并直接寫出cosNBCE的值為

（3）在y軸上找出點(diǎn)尸，使△回F的周長最小，并直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知AAOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4）,點(diǎn)B在第一象限，

點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AP,并把AAOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到

△ABD.

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（百，0）時(shí)，求此時(shí)DP的長及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

顯

（3）是否存在點(diǎn)P,使AOPD的面積等于4?若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);

參考答案:

1.(1)CD=BE；(2)aAMN是等邊三角形.

2.⑴y=-x'+2x+3

⑵（4導(dǎo)

⑶P(-2,-5)

3.(1)120°,BD=^AC；(2)不成立；(3)亞或36.

2

4.(1)|；|；(2)①無變化；②3上或3后

5.(1)3，60°；

(2)絆=且，直線MN與直線出所成的銳角的度數(shù)30。；

PA2

小、MN五

⑼---=—

PA2

6.(1)@BE=DG；?ZABE=ZADG-,(2)成立，證明詳見解析；(3)&

7.(1)=；(2)NF、NADE,ZAPB：(3)33(4)?PE-72^+2；②BC：BP的最小值為2.

8.(1)PB=PN,PBtPN；(2)PB=PN,PBSN；(3)網(wǎng)土0.

9.(1)11；(2)ZACE==90°--a；(3)120°.

2

10.(1)90°,1；(2)90°,百；(3)或^22^1

1313

11.(1)11；(2)22；(3)(-2,-2).

12.(1)@CF=DC；②60°；(2)CF=叵DG;(3)6或9G.

13.(1)12；(2)33；(3)6.

14.(1)13；(2)DP的最大值為L；(3)OF=1或

4

15.(1)(2,-4)(2)手(3)(0,4)

16.解：（1）如答圖1,過點(diǎn)B作BELy軸于點(diǎn)E,作BF_Lx軸于點(diǎn)F.

由已知得：BF=0E=2,OF=a2-22=26-

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(26,2).

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b(k#)),則有

{yk+b=2,解得尸等

b=4,

b=4

直線AB的解析式是y=—*x+4.

(2):△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，

.".△ABD^AAOP,；.AP=AD,ZDAB=ZPAO.

.".ZDAP=ZBAO=60°.Z\ADP是等邊三角形.

???DP=AP=^42+(>/3)2=M-

：.BG=BD?cos600=石xL也.DG=BD?sin60°=&x也=3.

2222

，OH=EG=一百，DH=-.

22

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為().

22

(3)存在.

假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動過程中，使AOPD的面積等于-百.

設(shè)點(diǎn)P為(30),下面分三種情況討論：

①當(dāng)t>0時(shí)，如答圖2,BD=OP=t,DG=^t,；.DH=2+且t.

22

VAOPD的面積等于

解得叵-2q-e-2G

（舍去）.

'323

.?.點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（后一2拒,（））.

3

②：當(dāng)D在x軸上時(shí)，如答圖3,

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=