等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和泉港一中黃生生?你想得到什么樣的賞賜？陛下賞小人幾粒麥子就可以.OK每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的2倍，直到第64個(gè)格子…

請(qǐng)問:國(guó)王需準(zhǔn)備多少麥粒才能滿足發(fā)明者的要求?他能兌現(xiàn)自己的諾言嗎?國(guó)際象棋起源于印度，相傳國(guó)王要獎(jiǎng)勵(lì)國(guó)際象棋發(fā)明者上述問題實(shí)際上是求1,2,4,8‥‥263

這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)和.

令S64=1+2+4+8+‥‥‥+262+263，

①2S64=2+4+8+16+‥‥‥+263+264

，

②

②－①得S64=264－1.錯(cuò)位相減=18446744073709551615(粒).判斷國(guó)王能否實(shí)現(xiàn)他的諾言？

算

一

算

如果按1000粒麥粒40克計(jì)算，這里大約有_____麥粒；如果按人均每天吃______糧食計(jì)算,此棋盤上的糧食可供全世界_____億人吃上_____年.7000億噸702741000克

.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：設(shè)有等比數(shù)列a1，a2，a3·

·

·

an·

·

·

公比是q，前n項(xiàng)和為Sn=a1+a2+a3+·

·

·

+an.即Sn=a1+a1q+a1q2+·

·

·+a1qn–2+a1qn–1①兩邊同時(shí)乘以公比qqSn=a1q+a1q2+·

·

·+a1qn–2+a1qn–1+a1qn②

①-②得，

(1-q)Sn=a1–a1qn錯(cuò)位相減因?yàn)閍1qn=(a1qn-1)q=anq,所以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式還可以寫成Sn=na1

(1-q)Sn=a

1–a

1

qn.當(dāng)q=1時(shí)，即是一個(gè)常數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=na1(q

=1)(q≠1)

注：（1）當(dāng)已知a1，q，n時(shí)用第一個(gè)公式，當(dāng)已知a1，q，an

時(shí)用第二個(gè)公式.

（2）如果公比q是一個(gè)字母，在求和時(shí)要對(duì)公比是否為1進(jìn)行討論.

（3）要把公式記準(zhǔn)，通項(xiàng)公式an中，q的指數(shù)是n-1前n項(xiàng)和公式Sn中，q的指數(shù)是n.例1：求等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和．

代入公式

解：由題意知,例題講解對(duì)公式中的知三求一．

因?yàn)榧此詣t此數(shù)列的前6項(xiàng)之和等于變式：此等比數(shù)列前多少項(xiàng)的和等于?課堂練習(xí)練習(xí)1：已知等比數(shù)列中，，，則

_________.練習(xí)2：等比數(shù)列的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為_____.6例題講解例2.已知等比數(shù)列中，，求①②解:得則變式：等比數(shù)列{an}中，S5=10,S10=50,求S15解：

說(shuō)明：(1)等比數(shù)列求和時(shí)，首先要注意討論公比

q是否為1；(2)在和的運(yùn)算中，還要注意消元方法；(3)在和的運(yùn)算中，還要注意整體意識(shí)，即將作為一整體求解；例題講解例3.(1)求數(shù)列(2)求和：

為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)