簡單線性規(guī)劃

3.3.2簡單線性規(guī)劃問題xyo

例2畫出表示的平面區(qū)域x－ｙ＋５≥０x＋ｙ≥０解：不等式ｘ－ｙ＋５≥０表示直線ｘ－ｙ＋５＝０上及右下方的點的集合，ｘ＋ｙ≥０表示直線ｘ＋ｙ＝０上及右上方的點的集合，OXYx+y=0x－y+5=0上式加上一個條件x≤3,平面區(qū)域會是什么圖形?變式例題分析xyo35-5x-y+5=0x+y=0x=3如果讓你求圍成的三角形的面積，你能求么？

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域。

確定步驟：直線定界，特殊點定域；若C≠0，則直線定界，原點定域；小結(jié)回顧：簡單的線性規(guī)劃“簡單的線性規(guī)劃”是在學(xué)習(xí)了直線方程的基礎(chǔ)上，介紹直線方程的一個簡單應(yīng)用，這是大綱對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的重視.線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財、物、時、空等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟效益.它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)常管理等許多方面的實際問題.問題1:

某工廠用A,B兩種配件生產(chǎn)甲,乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件,按每天工作8小時計算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么?

若生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?32利潤(萬元)821所需時間1240B種配件1604A種配件資源限額

乙產(chǎn)品

(1件)甲產(chǎn)品

(1件)產(chǎn)品消耗量資源把問題1的有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下:設(shè)甲,乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件,0xy4348將上面不等式組表示成平面上的區(qū)域,區(qū)域內(nèi)所有坐標(biāo)為整數(shù)的點P(x,y),安排生產(chǎn)任務(wù)x,y都是有意義的.設(shè)甲,乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件,由己知條件可得:問題：求利潤2x+3y的最大值.若設(shè)利潤為z,則z=2x+3y,這樣上述問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x,y在滿足上述約束條件時,z的最大值為多少?當(dāng)點P在可允許的取值范圍變化時,0xy4348M（4，2）問題：求利潤z=2x+3y的最大值.象這樣關(guān)于x,y一次不等式組的約束條件稱為線性約束條件Z=2x+3y稱為目標(biāo)函數(shù),(因這里目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于x,y的一次式,又稱為線性目標(biāo)函數(shù)

在線性約束下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃,滿足線性約束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解變式：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利1萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？0xy4348N（2，3）變式：求利潤z=x+3y的最大值.使z=2x+y取得最大值的可行解為

，且最大值為

；練習(xí)1.已知二元一次不等式組{x-y≥0x+y-1≤0y≥-1（1）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域；滿足

的解(x,y)都叫做可行解；z=2x+y

叫做

；（2）設(shè)z=2x+y，則式中變量x,y滿足的二元一次不等式組叫做x,y的

；y=-1x-y=0x+y=12x+y=0返回(-1,-1)(2,-1)使z=2x+y取得最小值的可行解

，且最小值為

；這兩個最值都叫做問題的

。線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)線性約束條件(2,-1)(-1,-1)3-3最優(yōu)解xy011解線性規(guī)劃問題的步驟：

（2）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線

（3）求：通過解方程組求出最優(yōu)解；

（4）答：作出答案。

（1）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；例2、一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤（生產(chǎn)1車甲的利潤1萬，一車乙的利潤為5千）？解：設(shè)x、y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤Z萬元。目標(biāo)函數(shù)為Z＝x＋0.5y，

可行域如圖：

把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。

xyo

由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大。

答：生產(chǎn)甲種、乙種肥料各

2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3萬元。M

容易求得M點的坐標(biāo)為（2，2），則Zmax＝33、制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.

某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損率分別為30﹪和10﹪.投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

【解題回顧】要能從實際問題中，建構(gòu)有關(guān)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型.關(guān)鍵求出約束條件和目標(biāo)函數(shù).解：設(shè)投資方對甲、乙兩個項目各投資x、y萬元依題意線性約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為：作出可行域可知直線Z=x+0.5y通過點A時利潤最大由（萬元）答：體驗:二、最優(yōu)解一般在可行域的頂點處取得．三、在哪個頂點取得不僅與B的符號有關(guān)，而且還與直線Z=Ax+By的斜率有關(guān)．一、先定可行域和平移方向，再找最優(yōu)解。練習(xí)題1、某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺A、B上加工1件甲所需工時分別為1h、2h，加工1件乙所需工時分別為2h,1h.A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺時數(shù)分別為400h和500h。如何安排生產(chǎn)可使收入最大？解：

設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，每月收入為Z千元，目標(biāo)函數(shù)為Z＝3x＋2y，滿足的條件是

目標(biāo)函數(shù)Z＝3x＋2y

變形為

它表示斜率為的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān)。XYO400200250500

由圖可以看出當(dāng)直線經(jīng)過點M時，截距最大，Z最大。M解方程組可得M（200，100）Z的最大值Zmax＝3x＋2y＝800（千元）故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品100件，收入最大，為80萬元。復(fù)習(xí)回顧：二元一次不等式

表示平面區(qū)域直線定界，

特殊點定域簡單的線性規(guī)劃約束條件目標(biāo)函數(shù)可行解可行域最優(yōu)解應(yīng)用求解方法：畫、移、求、答例、要將兩種大小不同規(guī)格的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

規(guī)格類型鋼板類型第一種鋼板第二種鋼板A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格212131今需要A,B,C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少。解：設(shè)需截第一種鋼板x張、第二種鋼板y張，可得x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*

經(jīng)過可行域內(nèi)的整點B(3,9)和C(4,8)且和原點距離最近的直線是x+y=12，它們是最優(yōu)解.答:(略)作出一組平行直線z=x+y，目標(biāo)函數(shù)z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打網(wǎng)格線法在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，當(dāng)直線經(jīng)過點A時z=x+y=11.4,但它不是最優(yōu)整數(shù)解，將直線x+y=11.4繼續(xù)向上平移,2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直線x+y=12經(jīng)過的整點是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解.

作出一組平行直線z

=

x+y，目標(biāo)函數(shù)z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)當(dāng)直線經(jīng)過點A時z=x+y=11.4,但它不是最優(yōu)整數(shù)解.作直線x+y=12x+y=12解得交點B,C的坐標(biāo)B(3,9