回歸分析的基本思想及初步應(yīng)用

1．回歸分析(1)函數(shù)關(guān)系是一種________關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種________關(guān)系，即自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做__________．線性回歸模型[導(dǎo)入新知]確定性非確定性相關(guān)關(guān)系(2)由《數(shù)學(xué)3》的知識可知，回歸分析是對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，回歸分析的基本步驟是____________________，___________________，并用__________________進(jìn)行預(yù)報(bào)．2．線性回歸模型(1)線性回歸模型y＝____________，其中___和___是模型的未知參數(shù)，___稱為隨機(jī)誤差．自變量x稱為_________，因變量y稱為_________．畫出兩個變量的散點(diǎn)圖求回歸直線方程回歸直線方程bx＋a＋eabe解釋變量預(yù)報(bào)變量中心[化解疑難]線性回歸分析[導(dǎo)入新知]yi－bxi－a(2)殘差圖作圖時(shí)，縱坐標(biāo)為________，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或xi數(shù)據(jù)，或yi數(shù)據(jù)，這樣作出的圖形稱為殘差圖．(3)殘差分析殘差分析即通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果，其步驟為：計(jì)算殘差——畫殘差圖——在殘差圖中分析殘差特性．殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度_______，回歸方程的預(yù)報(bào)精度_______．殘差越高越高越好越差[0,1]1殘差分析的注意點(diǎn)在殘差圖中，可疑數(shù)據(jù)的特征表現(xiàn)為：(1)個別樣本點(diǎn)的殘差過大，即大多數(shù)的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，而個別殘差點(diǎn)偏離該區(qū)域過于明顯，需要確認(rèn)在采集這些樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯誤．如果采集數(shù)據(jù)有錯誤，那么需要糾正，然后重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，那么需要尋找其他原因．(2)殘差圖有異常，即殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，此時(shí)需要考慮所采用的線性回歸模型是否合適．[化解疑難][例1]

某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖(要求：點(diǎn)要描粗)；線性回歸分析x681012y2356[類題通法]某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)廣告費(fèi)支出1000萬元的銷售額；(2)若廣告費(fèi)支出1000萬元的實(shí)際銷售額為8500萬元，求誤差．[活學(xué)活用]x24568y3040605070(2)8500萬元即85百萬元，實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)報(bào)值的誤差為85－82.5＝2.5(百萬元)．[例2]

某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)如下：(1)建立零件數(shù)為解釋變量，加工時(shí)間為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差；(2)你認(rèn)為這個模型能較好地刻畫零件數(shù)和加工時(shí)間的關(guān)系嗎？殘差分析編號12345678910零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時(shí)間y/min626875818995102108115122解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示．由圖可看出，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．計(jì)算得加工時(shí)間對零件數(shù)的線性回歸方程為＝0.668x＋54.93.(2)以零件數(shù)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)畫出殘差圖，如圖所示．由圖可知，殘差點(diǎn)分布較均勻，即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好．但需注意，由殘差圖可以看出，第4個樣本點(diǎn)和第5個樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯誤．2023/12/1225[類題通法][活學(xué)活用]非線性回歸分析非線性回歸分析的步驟非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式．這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：[類題通法]某電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，現(xiàn)測得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：試求電壓U對時(shí)間t的回歸方程．(提示：對公式兩邊取自然對數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題)[活學(xué)活用]t/s012345678910U/V100755540302015101055[典例]某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單元