指數(shù)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊

第4章指數(shù)與對數(shù)4.1指數(shù)某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)······如果分裂一次需要10min，那么，1個(gè)細(xì)胞1h后分裂成多少個(gè)細(xì)胞?假設(shè)細(xì)胞分裂的次數(shù)為x，相應(yīng)的細(xì)胞個(gè)數(shù)為y，則y＝2x.由題中條件可知，x＝60÷10＝6，那么，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝26＝64，即1個(gè)細(xì)胞1h后分裂成64個(gè)細(xì)胞.

●2x中的x能取分?jǐn)?shù)甚至無理數(shù)嗎?4.1.1根式我們知道，如果x2＝a，那么x稱為a的平方根；如果x3＝a，那么x

稱為a的立方根.一、n次方根一般地，如果xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么稱x為a

的n次方根.

可用下表表示：n為奇數(shù)n為偶數(shù)a∈Ra＞0a＝0a＜0x＝_______x＝______

x＝0不存在

需要注意的是，0的n

次方根等于0.【思考】正數(shù)a的n次方根一定有兩個(gè)嗎?提示：不一定.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根只有一個(gè)且仍為正數(shù).二、根式

【思考】

例1求下列各式的值：

＝5.＝－2.

觀察下列各式：

a，a≥0，－a，a＜0，a∣a∣可以發(fā)現(xiàn)：練習(xí)1.計(jì)算：

2.求下列各式的值：

＝4

3.化簡：

＝∣a－4∣＝a－4＝2－a

＝∣a－1∣＋a＝1－a＋a

＝14.1.2指數(shù)冪的拓展觀察下面的變形：(25)2＝210，

······這表明，當(dāng)m

被n

整除時(shí)，就有

一般地，我們規(guī)定

這就是正數(shù)a

的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.由此可知，2的意義為

仿照負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，我們規(guī)定

一、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(a＞0，m，n

均為正整數(shù))正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

a

＝_______＝______

【思考】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，為什么規(guī)定底數(shù)a＞0?提示：當(dāng)a＝0時(shí)，a0及a的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義；當(dāng)a＜0時(shí)，若n為偶數(shù)，m為奇數(shù)，則，無意義.a

a

二、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)asat

＝as＋t，(as)t

＝ast，(ab)t

＝atbt，其中s，t∈Q，a＞0，b＞0.【思考】

例2求下列各式的值：(1)100；

(2)8；

＝(102)＝10＝10.

＝(23)＝2＝22＝4.

(3)9；

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a＞0)：

我們已將指數(shù)式ax中的指數(shù)從整數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)(有理數(shù))，是否還可以將指數(shù)推廣到無理數(shù)呢?

例如，“2”有意義嗎?

利用計(jì)算器，可以計(jì)算出表中的數(shù)值：x2x用計(jì)算器計(jì)算2x的值12121.421.42.639015821···1.4121.412.657371628···1.41421.4142.664749650···1.414221.41422.665119088············？？

一般地，當(dāng)a＞0且x是一個(gè)無理數(shù)時(shí)，ax也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用.這樣，指數(shù)冪的概念從有理指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.以后可以證明，當(dāng)a＞0，a≠1，N＞0時(shí)，一定有唯一的實(shí)數(shù)x，滿足ax＝N.練習(xí)1.用根式的形式表示下列各式(a＞0)：(1)a；(2)a；(3)a；(4)a；(5)a；(6)a.

2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：

＝

a(a＞0)＝

x

＝

a

＝

x(x＞0)

＝

x2y(y＞0)

＝

m(m＞0)

＝

(a＋b)＝m－n，(m＞n)3.求下列各式的值：(1)25；

(2)64；

(4)32；

＝(52)

＝(43)＝4

(5)25；

(7)27；

＝(52)＝53＝125

＝(33)＝32＝9

4.化簡下列各式(a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)：(1)a

a；

(2)a

a；

∵a＞0，∴

原式＝a

＝a

∵a＞0，∴

原式＝a

＝a

(3)a

aa；

(4)(a)；

∵a＞0，∴

原式＝a

＝a

∵a＞0，∴

原式＝a

＝a

(5)(a

)；

(6)(x

y)6；

∵a＞0，∴

原式＝a

＝a

∵x＞0，y＞0，∴

原式＝xy

＝x3y－2

(7)(a

b)；

(8)(x

y)2÷(xy).

∵a＞0，b＞0，∴

原式＝a

b＝ab

∵x＞0，y＞0，∴

原式＝x3y2÷xy

＝x2y

【基礎(chǔ)小測】?

??

D

解析

解析

習(xí)題4.1感受·理解1.求下列各式的值：

＝102－100＝－0.1＝∣x－y∣＝x－y＝－(2x＋y)＝－2x－y2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式(a＞0，b＞0)；

＝a

＝a

＝a

＝a

＝a

＝a

＝a

＝ab

3.求下列各式的值：(1)36；

(3)10000；

(5)4；

＝10

4.用計(jì)算器計(jì)算下列各式的值：(1)5；

(2)321；

(3)25.8；

(4)723；

5.化簡下列各式(a＞0，b＞0)：(1)a

a

a；

(2)a

a÷a；

(3)(a

a

)12；

(4)(a

b)12；

(7)(2a＋3b)(2a

－3b)；

(8)(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2).6.設(shè)a，b是正數(shù)，下列各題中的兩個(gè)代數(shù)式是否恒等?

為什么?(am)n與aman；

(4)(a＋b)n

與an＋bn.思考·運(yùn)用

8.已知a＋a－1＝