第03講 三角函數(shù)的應用及利用三角函數(shù)測高（原卷版）

第03講三角函數(shù)的應用及利用三角函數(shù)測高目標導航目標導航課程標準1.能夠把實際問題轉化為數(shù)學問題，能夠借助計算器進行有關三角函數(shù)的計算，并能夠進一步對結果的意義進行說明，發(fā)展數(shù)學應用意識及解決實際問題的能力。2.把直角三角形的邊角關系與實際問題聯(lián)系起來，在解決實際問題時，養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習慣。3.能夠設計活動方案、自制測傾器和運用側傾器進行實地測量以及撰寫活動報告。4.能夠對所得的數(shù)據進行分析，能夠對側傾器進行調整及對測量結果進行矯正，從而得出符號實際的結果。5.能夠綜合運用直角三角形邊角關系的知識解決實際問題。知識精講知識精講知識點01三角函數(shù)的應用1．直角三角形知識解決實際問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型。

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題。

(3)根據直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形。

(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解。

知識點02有關概念

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示。

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成的形式。

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖。

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°。

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。

注意：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖。

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角形或矩形來解。3．解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據條件選擇合適的方法求解。知識點03測量傾斜角測量傾斜角可以用側傾器。簡單的側傾器由度盤、鉛錘和支桿組成（如下圖所示）。1．簡易測傾器的制作方法簡單的測傾器可以自己制作。用木板做一個半圓刻度盤，用螺栓、螺母把它的直徑的中心和一根長木桿連在一起,并在半圓圓心掛一鉛垂線，沿直徑的兩端做一水平頂線。當木桿與地面垂直時，通過頂線的視線是水平的，此時的鉛垂線位置作為零刻度線，即可制作出一個簡易的測傾器，如圖①所示。2．使用測傾器測量傾斜角的步驟①如圖①所示，把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置。

②如圖②所示，轉動度盤，使度盤的直徑對準目標M，記下此時鉛垂線所指的度數(shù)。

③根據同角的余角相等可知，所測傾斜角(即仰角AOM)等于鉛垂線所指的度數(shù),讀出鉛垂線所指的度數(shù)，即為AOM的度數(shù)。知識點04測量底部可以到達的物體的高度所謂“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體的底面之間的距離。測量步驟①在測點安置側傾器；②測量物體頂端相對于測點的仰角；③測量測點到物體的水平距離；④量出側傾器的高度。示意圖物體的高度為MN，測點為A，過點C作于點E測量數(shù)據①測得M的仰角；②測點A到物體的水平距離；③側傾器的高度。計算關系由示意圖知，，。在中，，則，，即物體的高度為。知識點05測量底部不可以到達的物體的高度所謂“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體的底部之間的距離。測量步驟（如下圖所示，測量物體MN的高度）：（1）在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角；（2）在測點A與物體之間的B處安置測傾器(A，B與N在一條直線上，且A，B之間的距離可以直接測得)，測得此時M的仰角；（3）量出測傾器的高度AC=

BD=a，以及測點A，B之間的距離

AB

=

b。

結果的計算過程:由上圖知E，D，C三點在同一直線上，且，則四邊形BDEC和四邊形ACEN都是矩形，。在中，，則。在中，，則。由，得，即物體MN的高度為。能力拓展能力拓展考法01解直角三角形在解決幾何圖形計算問題中的應用【典例1】如圖，在△AOB中，∠0＝90°．AP平分∠OAB．若△AOP～△BOA，OA＝2，則OP的長為（

）A． B． C．1 D．【即學即練】如圖，在正方形中，點G是上一點，且，連接交對角線于F點，過D點作交的延長線于點E，若，則的長為（

）A． B． C． D．【典例2】如圖，在△ABC中，點D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC邊上的高，若沿AE所在直線折疊，點C恰好落在點D處，若AB=，則△ADC的周長等于（

）A．1 B． C．2 D．3【典例3】如圖，等邊ABC的邊長為3，點D在邊AC上，AD＝，線段PQ在邊BA上運動，PQ＝，則四邊形PCDQ面積的最大值為（

）A． B． C． D．考法02解直角三角形在解決實際生活、生產問題中的應用【典例4】如圖，一棵大樹被臺風攔腰刮斷，樹根A到刮斷點的距離是4米，折斷部分與地面成的夾角，那么原來這棵樹的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【即學即練】為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學校每日都在學生進校前進行體溫檢測．某學校大門高6.5米，學生身高1.5米，當學生準備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點D處測得攝像頭A的仰角為，當學生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時，在點C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（

）A．米 B．米 C．10米 D．米【典例5】如圖，某漁船正在海上P處捕魚，先向北偏東30°的方向航行10km到A處．然后右轉40°再航行到B處，在點A的正南方向，點P的正東方向的C處有一條船，也計劃駛往B處，那么它的航向是（

）A．北偏東20° B．北偏東30° C．北偏東35° D．北偏東40°【典例6】如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部處的仰角為，看這棟樓底部處的俯角為，熱氣球處與樓之間的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）A． B． C． D．考法03利用三角函數(shù)測高【典例7】如圖，已知點、點是同一幢樓上的兩個不同位置，從點觀測標志物的俯角是65°，從點觀測標志物的俯角是35°，則的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．35° D．65°【典例8】2022年北京冬季奧運會日益臨近，國家跳臺滑雪中心建設已初具規(guī)模，國家跳臺滑雪中心的賽道線剖面因與中國傳統(tǒng)吉祥飾物“如意”的形曲線契合，被形象地稱為“雪如意”．“雪如意”的剖面示意圖如圖：跳臺由頂部的頂峰平臺、中部的大跳臺騰空起點、賽道、底部的看臺區(qū)組成．為有效進行工程施工監(jiān)測，現(xiàn)在處設置了監(jiān)測標志旗（標志旗高度忽略不計），賽道可近似視作坡度為的一段坡面，通過高程測量儀測得點、點的海拔高度差（即）是160米，從頂峰平臺點俯視處的標志旗，俯角約為37°．由處釋放的遙控無人機豎直上升到與平臺水平位置后，遙感測得之間距離為152米，若圖中各點均在同一平面，則賽道長度約為（）米．（參考數(shù)據：，，）A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2【即學即練】某興趣小組想測量一座大樓AB的高度．如圖，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為12米它的坡度．在離C點40米的D處，用測量儀測得大樓頂端A的仰角為37度，測角儀DE的高度為1.5米，求大樓AB的高度約為（

）米（）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7分層提分分層提分題組A基礎過關練1．如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測P、Q兩點距離為m米，，則河寬PT的長度是（

）A． B． C． D．2．如圖1，是我們經?？吹降囊环N折疊桌子，它是由下面的支架AD、BC與桌面構成，如圖2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，則點A到地面（CD所在的平面）的距離是（

）A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm3．如圖，在坡角為的山坡上A、B、C處栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹的坡面上的距離BC為（

）A． B． C． D．4．如圖，某河堤橫斷面迎水坡的坡度為，則坡角（

）A． B． C． D．5．某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于P的北偏東30°方向，且相距50海里．客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達B處，那么tan∠BAP=（）A． B． C． D．6．如圖，C、D分別是一個湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個村莊，CD=6km，且D位于C的北偏東30°方向上，則AB的長為（）A．2km B．3km C．km D．3km7．某水庫堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡度是1︰，堤壩高BC＝50m，則AB＝________m．8．如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC為______米．9．某校自開展課后延時服務以來，組建了許多興趣小組，小明參加了數(shù)學興趣小組，在課外活動中他們帶著測角儀和皮尺到室外開展實踐活動，當他們走到一個平臺上時，發(fā)現(xiàn)不遠處有一棵大樹，如圖所示，小明在平臺底部的點C處測得大樹的頂部B的仰角為60°，在平臺上的點E處測得大樹的頂部的仰角為30°．測量可知平臺的縱截面為矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大樹AB的高．（精確到1米，參考數(shù)據：）10．如圖，甲?乙兩樓相距，甲樓高，自甲樓樓頂看乙樓樓頂，仰角為，乙樓有多高？（結果精確到）題組B能力提升練1．如圖，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的點C處安裝水平遮陽板CD=1米，當太陽光線與水平線成α=60°角時，光線剛好不能直接射人室內，則m的值是（

）A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.82．如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點之間的距離為35米，，則纜車從A點到達B點，上升的高度（BC的長）為（

）A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米3．如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．4．一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A． B．C． D．5．如圖，小明同學在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC=（）米．A．250 B．500 C．250 D．5006．溫州市處于東南沿海，夏季經常遭受臺風襲擊．一次，溫州氣象局測得臺風中心在溫州市A的正西方向300千米的B處（如圖），以每小時10千米的速度向東偏南30°的BC方向移動，并檢測到臺風中心在移動過程中，溫州市A將受到影響，且距臺風中心200千米的范圍是受臺風嚴重影響的區(qū)域．則影響溫州市A的時間會持續(xù)多長？（）A．5 B．6 C．8 D．107．如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡從點A向上行駛了50米到點B處，則此時該小車離水平面的垂直高度為_____________.8．如圖，兩根竹竿和斜靠在墻上，量得，，則竹竿與的長度之比為__________．9．某學校九年級的學生去參加社會實踐，在風景區(qū)看到一棵古松，不知這棵古松有多高，下面是他們的一段對話：甲：我站在此處看樹頂仰角為45°.乙：我站在此處看樹頂仰角為30°.甲：我們的身高都是1.5m．乙：我們倆相距20m．請你根據兩位同學的對話，計算這棵古松DE的高度．（結果保留根號）．10．如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點與點在同一水平面上，與在同一平面內．某數(shù)學興趣小組為了測量樓的高度，在坡底處測得樓頂?shù)难鼋菫椋缓笱仄旅嫔闲辛嗣祝疵祝┑竭_點處，此時在處測得樓頂?shù)难鼋菫椋▍⒖紨?shù)據：，，）（1）求點到點的水平距離的長；（2）求樓的高度．題組C培優(yōu)拔尖練1．小林在放學路上，看到隧道上方有一塊宣傳“重慶﹣﹣行千里，致廣大”豎直標語牌CD．他在A點測得標語牌頂端D處的仰角為42°，由A點沿斜坡AB下到隧道底端B處（B，C，D在同一條直線上），AB＝10m，坡度為i＝1：，則標語牌CD的長為（

）m（結果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.82．如圖，在熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別為30°、45°，熱氣球C的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（）A．200米 B．200米 C．220米 D．100米3．如圖，在中，，為邊上的高，點沿所在的直線運動時，三角形的面積發(fā)生變化，當?shù)拿娣e為48時，的長為（

）．A． B． C． D．4．如圖，已知樓房AB高為50m，鐵塔塔基距樓房基間的水平距離BD為100m，塔高CD為m，則下面結論中正確的是（

）．A．由樓頂望塔頂仰角為60° B．由樓頂望塔基俯角為60°C．由樓頂望塔頂仰角為30° D．由樓頂望塔基俯角為30°5．如圖，一座金字塔被發(fā)