福建省寧德市高中同心順聯(lián)盟校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

福建省寧德市高中同心順聯(lián)盟校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高4cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為3cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為A.B.C.D.2．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則A. B.C.-2 D.4．某人圍一個(gè)面積為32m2的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其平面示意圖如下），墻高3m，新墻的造價(jià)為1000元/m2，則當(dāng)A.9 B.8C.16 D.645．若不等式對(duì)一切恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.6．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.7．函數(shù)的最大值是（）A. B.1C. D.28．圓的圓心到直線的距離是（）A. B.C.1 D.9．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，并作等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，以此類(lèi)推，得到的螺線如圖所示．當(dāng)螺線與直線有6個(gè)交點(diǎn)（不含A點(diǎn)）時(shí)，則螺線長(zhǎng)度最小值為（）A. B.C. D.11．設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則()A.c>b>a B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c12．=（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知函數(shù)，則的值是________14．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.15．計(jì)算______.16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集，集合，集合.（1）求集合A，集合B；（2）求.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若方程式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的值范圍.19．已知平面向量，，，且，.（1）求和：（2）若，，求向量與向量的夾角的大小.20．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.21．在中，已知，，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

直線MN的方程22．如圖，正方體中，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：平面.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)已知條件得出正方體上底面截球所得截面圓的半徑為2cm，球心到截面圓圓心的距離為，再利用球的性質(zhì)，求得球的半徑，最后利用球體體積公式，即可得出答案【詳解】設(shè)球的半徑為R，設(shè)正方體上底面截球所得截面圓恰好為上底面正方形的內(nèi)切圓，該圓的半徑為，且該截面圓圓心到水面的距離為1cm，即球心到截面圓圓心的距離為，由勾股定理可得，解得，因此，球的體積為故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了球體的體積的計(jì)算問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，求出球體的半徑，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合，求解作答.【詳解】函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)的圖象是恒過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，函數(shù)在上的圖象與直線，如圖，觀察圖象得：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，將此時(shí)的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線的位置，直線(除時(shí)外)與函數(shù)在上的圖象最多一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)或或a不存在，將時(shí)的直線(含)繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線(不含直線)的位置，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的直線與函數(shù)在上的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).3、B【解析】按三角函數(shù)的定義，有.4、B【解析】由題設(shè)總造價(jià)為y=3000(x+64x)，應(yīng)用基本不等式求最小值，并求出等號(hào)成立時(shí)的【詳解】由題設(shè)，總造價(jià)y=1000×3×(x+2×32當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)等號(hào)成立，即x=8時(shí)總造價(jià)最低.故選：B.5、D【解析】由絕對(duì)值不等式解法，分類(lèi)討論去絕對(duì)值，再根據(jù)恒成立問(wèn)題的解法即可求得a的取值范圍【詳解】根據(jù)絕對(duì)不等式，分類(lèi)討論去絕對(duì)值，得所以所以所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)方法，恒成立問(wèn)題的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】通過(guò)分析冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案A沒(méi)有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】利用正余弦的差角公式展開(kāi)化簡(jiǎn)即可求最值.【詳解】，∵，∴函數(shù)的最大值是.故選：C.8、A【解析】根據(jù)圓的方程得出圓心坐標(biāo)（1，0），直接依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以得出答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為（1，0），∴圓心到直線的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的右面，即，即可求得答案.【詳解】函數(shù)為對(duì)稱(chēng)軸開(kāi)口向上的二次函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的右面，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，明確二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系是解題關(guān)鍵.10、A【解析】根據(jù)題意，找到螺線畫(huà)法的規(guī)律，由此對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而得到答案【詳解】第1次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為；第2次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為，交累計(jì)1次；第3次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為3，交累計(jì)2次；第4次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為；第5次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為，交累計(jì)3次；前5次累計(jì)畫(huà)線；第6次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為，交累計(jì)4次，累計(jì)畫(huà)線；第7次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為；第8次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為，交累計(jì)5次；第9次畫(huà)線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為，交累計(jì)6次，累計(jì)畫(huà)線，故選項(xiàng)A正確故選：A另解：由前三次規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，每畫(huà)三次，與l產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，故要產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn)，需要畫(huà)9次；每一次畫(huà)的圓弧長(zhǎng)度是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以前9項(xiàng)之和為：﹒故選：A﹒11、D【解析】，，；且；.考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.12、B【解析】利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值直接計(jì)算作答.【詳解】.故選：B二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、-1【解析】利用分段函數(shù)的解析式，代入即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t.故答案為：-114、5【解析】直接求出集合A、B，再求出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以，所以的元素個(gè)數(shù)為5.故答案為：5.15、7【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得解.【詳解】解：.故答案為：7.16、【解析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則及對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0恒成立，列出不等式組求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，函?shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以有，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1），；（2），.【解析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法解出集合A，根據(jù)分式不等式解出結(jié)合B；（2）由交集、并集的概念和運(yùn)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，且【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，所以，.18、（1）（2）【解析】（1）將代入函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，計(jì)算函數(shù)值域得到答案.（2）根據(jù)函數(shù)定義域得到，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解不等式得到答案.【小問(wèn)1詳解】，，，故，即，函數(shù)上單調(diào)遞增，故.【小問(wèn)2詳解】，且，解得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得或，故；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，故在上單調(diào)遞增，故，解得，，不成立.綜上所述：.19、（1），；（2）.【解析】（1）本題首先可根據(jù)、得出，然后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)題意得出以及，然后求出、以及的值，最后根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，，且，，所以，解得，故?（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，，，，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，向量與向量的夾角為.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行、向量垂直以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，若、且，則，考查通過(guò)向量的數(shù)量積公式求向量的夾角，考查計(jì)算能力，是中檔題.20、（1）；（2）8.【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn)，進(jìn)而進(jìn)行弦化切，最后求出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，，所以.【小問(wèn)2詳解】由題意，，則原式.21、（1）；（2）【解析】（1）邊AC中點(diǎn)M在y軸上，由中點(diǎn)公式得，A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的平均數(shù)為0，同理，B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和的平均數(shù)為0．構(gòu)造方程易得C點(diǎn)的坐標(biāo)（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)公式，我們可求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)式即可求出直線MN的方程解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y），∵邊AC的中點(diǎn)M在y軸上得=0，∵邊BC的中點(diǎn)N在x軸上得=0，解得x=﹣5，y=﹣3故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣5，﹣3）（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，﹣），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，0），直線MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=0點(diǎn)評(píng)：在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式