第十一章動量定理

第十一章動量定理動力學普遍定理概述對質點動力學問題：建立質點運動微分方程求解。對質點系動力學問題：理論上講，n個質點列出3n個微分方程，聯(lián)立求解即可。實際上的問題是：1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難； 2、大量的問題中，不需要了解每一個質點的運動,僅需

要研究質點系整體的運動情況。從本章起,講述解答動力學問題的其它方法,而首先要討論的是動力學普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導出來的其它一些定理)。

表明兩種量

——一種是同運動特征相關的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關的量(沖量、力矩、功等)——之間的關系，從不同側面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學問題非常方便簡捷。幾個有意義的實際問題地面拔河與太空拔河，誰勝誰負？冰上拔河，誰勝誰負？幾個有意義的實際問題偏心轉子電動機工作時為什么會左右運動；會不會上下跳動？蛤蟆夯是如何工作的？光滑臺面幾個有意義的實際問題蹲在磅秤上的人站起來時，磅秤指示數會不會發(fā)生變化？水水池隔板抽去隔板后將會發(fā)生什么現(xiàn)象？第十一

章動量定理

§11-1動量與沖量

§11-3質心運動定理

結論與討論

§11-2動量定理

§11-1動量與沖量一、動量1、質點的動量質點的質量與速度的乘積mv

稱為質點的動量。動量是矢量，其方向與速度方向一致。動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。例：槍彈：速度大，質量?。淮核俣刃?，質量大。m在國際單位制中，動量的單位為kg·m/s。動量的量綱為dimmv

=MLT-12、質點系的動量（1）質點系內各質點動量的矢量和，稱為質點系的動量主矢，簡稱為質點系的動量。用p表示。[例]三物塊用繩連接如圖示，其質量為m1=2m2=4m3，如繩的質量和變形均不計，

則三物塊均以同樣的速度v運動。求該質點系的動量。m3m1m2v2v1v345°（2）利用質心求質點系動量m1m2mnzoxyrCCrimi設質點系內各質點對固定點O的矢徑為ri，則結論：質點系的動量等于質點系的總質量與其質心速度的乘積。（3）若一個質點系由多個剛體組成，則該質點系動量可寫為式中 mi、vCi

分別為第

i個剛體的質量和它的質心的速度。[例]求圖示均質物體或物體系統(tǒng)的動量。vCOvCO

C

C例題1畫橢圓的機構由勻質的曲柄OA，規(guī)尺BD以及滑塊B和D組成(圖a)，曲柄與規(guī)尺的中點A鉸接。已知規(guī)尺長2l，質量是2m1；兩滑塊的質量都是m2；曲柄長l，質量是m1，并以角速度ω繞定軸O轉動。試求當曲柄OA與水平成角φ時整個機構的動量。(a)xyOADφωB

整個機構的動量等于曲柄OA，規(guī)尺BD，滑塊B和D的動量的矢量和，即解：p=pOA+pBD

+pB+pD其中曲柄OA的動量pOA=m1vE，大小是pOA=m1vE=m1lω/2其方向與vE一致，即垂直于OA并順著ω的轉向(圖

b)。xyOADφωBvDvBvEExyOADφωBEpOA(b)因為規(guī)尺和兩個滑塊的公共質心在點A，它們的動量表示成p′=

pBD+pB+pD=2(m1+m2)vA由于動量pOA

的方向也是與vA

的方向一致，所以整個橢圓機構的動量方向與vA

相同，而大小等于xyOADφωBEpBD+pB+pDpOAxyOADφωBvDvAvBvEE思考：1、皮帶輪傳動系統(tǒng)由均質輪和均質皮帶組成，該系統(tǒng)的動量等于多少？ω2O2O1m2ω1m1mCCCvmm1m1dRRvv2、兩均質輪質量均為m1，半徑均為R，兩輪間距離為d，履帶質量為m，長為

L，求(1)系統(tǒng)的動量；(2)除去與地面接觸的履帶以外的履帶的動量。解：(1)系統(tǒng)的動量為各部分動量的矢量和p=p輪1

+p輪2

+p帶

=(2m1+m)v

p輪1

=p輪2

=m1

v；p帶=m

v

(2)p帶==mv=p帶二、沖量力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內對物體作用的累積效應的度量。1、常力的沖量······常力矢量與其作用時間的乘積。2、變力的沖量力的元沖量力在微小時間間隔dt內的沖量。力在有限時間內（瞬時t1至瞬時t2）的沖量與動量的量綱相同則沖量計算的投影式為若3、力系的沖量作用于質點系中力系的各力沖量的矢量和稱為力系的沖量，即結論：力系的沖量等于力系的主矢在同一時間內的沖量。一、質點的動量定理若質量m恒定，則牛頓第二定律可寫為即：質點的動量對時間的導數等于作用于其上的力。在t1至t2時間內積分，得即：質點在t1至t2時間內動量的改變量等于作用于其上的力在同一時間內的沖量?；?/p>

§11-2動量定理質點動量定理的微分形式質點動量定理的積分形式二、質點系的動量定理設質點系有n個質點，第i個質點的質量為mi，速度為vi；受力Fi(e)········外力，F(xiàn)i(i)········內力，對于整個質點系質點系動量的增量等于作用于質點系的外力元沖量的矢量和。其中：或質點系的動量對時間的一階導數等于作用于質點系的外力的矢量和在某一時間間隔內，質點系動量的改變量等于在這段時間內作用于質點系外力沖量的矢量和。在瞬時t1至t2段時間內積分，有動量定理的投影式：質點系動量定理的微分形式質點系動量定理的積分形式v1v2xyθIxIyI例題1質量為1kg的小球，以v1=4m/s的速度與一固定水平面相碰撞，α＝30o，小球彈起的速度為v2=2m/s，β＝60o。求：作用于小球的沖量的大小和方向。解：以小球為研究對象，并取如圖所示的坐標系。帶入數值得H=1.5mPN*x例題2重30kN的重錘自高H＝1.5m自由落下并打在工件上，工件在鍛錘的打擊下發(fā)生變形，變形所經歷的時間τ＝0.01s。求：鍛錘對工件的平均壓力。解：以鍛錘為研究對象。工件的反力與工件的變形有關，工件變形是在時間τ內的變化，所以工件的反力也是變化的，現(xiàn)取平均值N*。由質點動量定理得0－0＝N*τ－P(t＋τ)ωC2C1φe例題3已知定子m1，轉子m2；角速度ω；偏心距為e。求基礎對電機的反力。研究定子與轉子組成的系統(tǒng)，受力如圖，解：系統(tǒng)的動量為p

=p

1+p

2設t=0時，C1C2鉛直，則φ=ωt時，px=m2ωecosωt

p

y=m2ωesinωt由質點系動量定理：xyp2FyFxm1gm2g∴p=p2=m2ωeA三.質點系的動量守恒定律★當作用于質點系上的外力主矢恒等于零時，則質點系的動量保持不變?！锂斪饔糜谫|點系上的外力主矢在某軸（如x軸）上投影恒等于零時，則質點系的動量在該軸上的投影保持不變。當=常矢量當=常量質點系動量守恒的實例炮身與炮彈水平飛行時的火箭人與小船結論：只有外力才能改變質點系的動量；內力不能改變質點系的動量，但能改變其中各部分的動量。動量守恒方程中的速度必須是絕對速度；應確定一個正方向，嚴格按照動量投影的正負號去計算；動量守恒定理常用來求速度。C實例分析—太空拔河宇航員A、B的質量分別為mA、mB。開始時二人在太空保持靜止。若A的力氣大于B，則拔河勝負如何？∴二人拔河不分勝負！例題4火炮（包括炮車與炮筒）的質量是m1，炮彈的質量是m2，炮彈相對炮車的發(fā)射速度是vr

，炮筒對水平面的仰角是

（圖a）。設火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。ABFAFBm1gm2gvm1xyvrα解:炸藥（其質量略去不計）的爆炸力是內力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸x

的投影都是零，即有Fx

=0；可見，系統(tǒng)的動量在軸x上的投影守恒。ABFAFBm1gm2gvm1xyvrαvm1vrα

v取火炮和炮彈（包括炸藥）這個系統(tǒng)作為研究對象。設火炮的反座速度是vm1，炮彈的發(fā)射速度是

v，對水平面的仰角是

（圖b）。（b）（a）px=m2vcos

m1vm1=0對于炮彈應用速度合成定理，可得v=ve+vr考慮到ve

=vm1，并將上式投影到軸x和y上，就得到vcos

=vrcos

vm1

vsin

=vrsin

聯(lián)立求解上列三個方程，即得考慮到初始瞬時系統(tǒng)處于平衡，即有pox=0，于是有（b）vm1vrα

v§11-3質心運動定理一、質心（質量中心）m1m2mnzoxyrCCrimixCyCzC投影得到質心的位置坐標：質心和重心是兩個不同的概念

重心是與重力場相聯(lián)系的，離開了重力場就沒有意義。而質心是質點系的質量分布情況的一個幾何點，它是客觀存在的，與作用力無關。即質點系的質量與質心加速度的乘積等于作用于質點系外力的矢量和（外力主矢）。二、質心運動定理質心運動定理的投影式質心運動定理質心運動定理描述的是質點系隨同質心的平行移動。三、幾點說明（1）質系質心的運動，可以視為一質點的運動，如將質系的質量集中在質心上，同時將作用在質系上所有外力都平移到質心上，則質心運動的加速度與所受外力的關系符合牛頓第二定律。如在定向爆破中，爆破時質系中各質點的運動軌跡不同，但質心的運動軌跡近似一拋物線，由此可初步估計出大部分物塊堆落的地方。Pv定向爆破宜賓一樓定向爆破不成，炸樓炸成“比薩斜塔”跳高運動員的過桿姿勢h3=254~305mmh3=51~102mm跳高運動員的過桿姿勢（2）質系的內力不能改變質心的運動，只有外力才能改變質心的運動。N2驅動汽車行駛的力N1F2F1FrMaCW汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動機內氣體的爆炸力，對汽車來說是內力。當F1＞F2＋Fr時，aC＞0（3）若質點系是由n個剛體組成的系統(tǒng)，則剛體系內各剛體的質量與其質心加速度乘積的矢量和，等于作用于剛體系的外力的主矢。即在直角坐標上投影形式

若，則常矢量，質心作勻速直線運動；若開始時系統(tǒng)靜止，即則常矢量,質心位置守恒。若則常量，質心沿x方向速度不變；若存在則常量，質心在x軸的位置坐標保持不變。四、質心運動守恒定律質心運動定理的投影式例題5電動機的外殼用螺栓固定在水平基礎上，定子的質量是m1，轉子的質量是m2，轉子的軸線通過定子的質心O1。制造和安裝的誤差，使轉子的質心O2對它的軸線有一個很小的偏心距b（圖中有意夸張）。試求電動機轉子以勻角速度

轉動時，電動機所受的總水平力和鉛直力。bωtW1W2O1O2ωxyFyFx解:

取整個電動機（包括定子和轉子）作為研究對象。選坐標系如圖所示。質心C的坐標為質心C的運動微分方程為bωtW1W2O1O2ωxyFyFx從而求得質心加速度在坐標系上的投影把上式代入式(1)和(2)，即可求得Fx=

m2bω2cosωtFy=(m1+m2)g

m2bω2sinωt解法二：分析系統(tǒng)中各剛體的運動bωtW1W2O1O2ωxyFyFx當ω>

時，有<0，如果電動機未用螺栓固定，將會離地跳起來。砸夯機例題6如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設人質量為m2，船的質量為m1

，船長l，水的阻力不計。求船的位移。Olsabxxym1gm2gm1gm2g取人與船組成質點系。因不計水的阻力，故外力在水平軸上的投影等于零，因此質心在水平軸上保持不變。

人走到船尾時，船移動的距離為s，則質心的坐標為解：取坐標軸如圖所示。在人走動前，質心的坐標為由于質心在軸上的坐標不變，解得Olsabxxym1gm2gm1gm2g例題7圖示水平面上放一均質三棱柱A，在其斜面上又放一均質三棱柱Ｂ．兩三棱柱的截面均為直角三角形．三棱柱Ａ的質量ma為三棱柱Ｂ的質量mb

的三倍，其尺寸如圖示.設各處摩擦不計,初始時系統(tǒng)靜止.求當三棱柱B沿三棱柱A滑下接觸到水平面時,三棱柱A移動的距離，三棱柱A的加速度和地面的約束反力αaAbB解：（1）以整體為研究對象，水平向質心運動守恒θaAbBmAgmBgFNaAaAar（2）以整體為研究對象，由質心運動定理

單獨考慮B塊，經求解可得A、B塊的加速度為（3）確定地面的反力,根據質心運動定理mBgFNBaAar

xtB沿xt方向運動微分方程為：牛頓第二定律動量定理動量守恒定理工程力學中的動量定理和動量守恒定理比物理學中的相應的定理更加具有一般性，應用的領域更加廣泛，主要研究以地球為慣性參考系的宏觀動力學問題，特別是非自由質點系的動力學問題。這些問題的一般運動中的動量往往是不守恒的。結論與討論1、牛頓第二定律與動量守恒2、質點動量定理的微分形式質點動量定理的積分形式I－質點系統(tǒng)的沖量質點系統(tǒng)動量在一段時間內的改變量等于系統(tǒng)中所有質點沖量的矢量和。3、質點系的動量定理建立了動量與外力主矢之間的關系，涉及力、速度和時間的動力學問題。對于大錘，；對