運(yùn)用解題反思優(yōu)化數(shù)學(xué)思維能力

運(yùn)用解題反思優(yōu)化數(shù)學(xué)思維能力

不用說，解答教育是促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維優(yōu)化的重要手段。現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)告訴我們，解答教育和反思是結(jié)合起來實(shí)現(xiàn)良好循環(huán)效果的有效方法。在解決問題后進(jìn)行反思是提高數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑。我們不僅要考慮解決問題的糾正，解決方法的優(yōu)缺點(diǎn)，話題的推廣，重要的是要從思維的“視角”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生考慮和解決問題所使用的知識(shí)點(diǎn)。在解決問題的過程中，我們可以從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本文結(jié)合自身教育的實(shí)際情況，探討了“運(yùn)用解決問題和優(yōu)化數(shù)學(xué)思維能力”的基本方法。1基本知識(shí)學(xué)習(xí)過程,引導(dǎo)學(xué)生對結(jié)論過程中知識(shí)的思考和建構(gòu).數(shù)學(xué)知識(shí)是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ).探尋知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系是解題思維的重要出發(fā)點(diǎn)和解題思維活動(dòng)過程的重要方面.解題過程能有效展示知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系.反思解題所用知識(shí)點(diǎn),尋找知識(shí)之間的“交匯點(diǎn)”,理清由知識(shí)點(diǎn)形成的“知識(shí)鏈”,能使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)系和聯(lián)系的理解,逐步從縱向和橫向形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),擴(kuò)充知識(shí)結(jié)構(gòu),并在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”,形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系,促使解題活動(dòng)中的知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”效應(yīng),優(yōu)化解題過程.1.1天氣形式any對知識(shí)的“交匯點(diǎn)”的反思可遵循以下三個(gè)層次:由概括解題知識(shí)點(diǎn)→尋找知識(shí)點(diǎn)間的“聯(lián)合點(diǎn)”→認(rèn)識(shí)知識(shí)的“交匯點(diǎn)”,逐步提高對知識(shí)的理解層次.例1設(shè)復(fù)數(shù)z=3cosθ+i·2sinθ,求函數(shù)y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及對應(yīng)的θ值.(1999年全國高考題)解由0＜θ＜π20＜θ＜π2,得tanθ>0.由z=3cosθ+i·2sinθ,得0＜argz＜π20＜argz＜π2及tan(argz)=2sinθ3cosθ=23tanθ.tan(argz)=2sinθ3cosθ=23tanθ.故tany=tan(θ-argz)=tanθ-23tanθ1+23tan2θ=13tanθ+2tanθ.故tany=tan(θ?argz)=tanθ?23tanθ1+23tan2θ=13tanθ+2tanθ.因?yàn)?tanθ+2tanθ≥2√6,3tanθ+2tanθ≥26√,所以13tanθ+2tanθ≤√612.13tanθ+2tanθ≤6√12.當(dāng)且僅當(dāng)3tanθ=2tanθ(0＜θ＜π2)3tanθ=2tanθ(0＜θ＜π2),即tanθ=√612tanθ=6√12時(shí),上式取等號(hào).所以當(dāng)θ=argtan√6126√12時(shí),函數(shù)tany取最大值√612.6√12.由y=θ-argz得y∈(-π2,π2),由于在(-π2,π2)內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù),函數(shù)y也取最大值argtan√612.反思層次一,本題所用知識(shí)點(diǎn)是差角公式,同角三角函數(shù)的關(guān)系式,復(fù)數(shù)的幾何意義和性質(zhì),均值不等式或二次函數(shù)的性質(zhì)等.層次二,復(fù)數(shù)通過輻角與三角函數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起,弄清復(fù)數(shù)與函數(shù)的這一“聯(lián)合點(diǎn)”,是此題順利將求角度最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的關(guān)鍵.層次三,本題是以橢圓參數(shù)方程為背景,復(fù)數(shù)為依托,三角變換為工具,函數(shù)的最值為解決目的,不同的知識(shí)塊在網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)有機(jī)地融為一體.上述反思過程是對知識(shí)的“精加工”,以此產(chǎn)生的“頓悟”,能使學(xué)生加深對題目中所用知識(shí)點(diǎn)的理解,掌握通過對知識(shí)點(diǎn)反思提高知識(shí)理解層次的方法,并充分認(rèn)識(shí)到理清各知識(shí)點(diǎn)的“交匯點(diǎn)”,是解題思路的重要出發(fā)點(diǎn),也是提高解題思維能力的重要途徑.1.2優(yōu)化求解思維過程學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲取的知識(shí)越來越多,如果不經(jīng)過提煉概括,這些知識(shí)將呈松散無序狀,既不利于記憶貯存和提取應(yīng)用,又不利于知識(shí)的進(jìn)一步建構(gòu)和發(fā)展.華羅庚教授所倡導(dǎo)的“薄—厚—薄”的讀書法啟示我們,必須引導(dǎo)學(xué)生在深刻理解相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上,充分揭示它們的邏輯聯(lián)系,舍棄其本質(zhì)的差異,最后形成簡單明晰的“知識(shí)鏈”,這些經(jīng)過濃縮的“知識(shí)鏈”,在解決相關(guān)問題時(shí)可以釋放出大量的能量,優(yōu)化解題思維過程.解題反思能促使“知識(shí)鏈”的形成.例2已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與直線y=25有公共點(diǎn),且不等式f(x)>0的解是-1/2<x<1/3,求a,b,c的取值范圍.解因?yàn)閒(x)>0的解是-12＜x＜13所以方程ax2+bx+c=0的根為-12和13由韋達(dá)定理知:-12+13=-16=-ba,即a=6b.(-12)×13=ca,即a=-6c.又y=f(x)與y=25有公共點(diǎn),所以方程ax2+a6x-a6-25=0有實(shí)數(shù)解,即△=(a6)2-4a(-a6+25)=a236+23a2+100a≥0(a＜0).所以a≤-144即b≤-24,c≥24.反思①從此例可以看出,一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函數(shù)緊密聯(lián)系,相互作用形成了一個(gè)“知識(shí)鏈”.實(shí)質(zhì)上,一元二次方程的解就是一元二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一元二次不等式就是研究一元二次函數(shù)在定義域內(nèi)的正負(fù)區(qū)間.②進(jìn)一步反思,我們可以把方程、不等式等內(nèi)容都統(tǒng)一到函數(shù)思想下進(jìn)行研究.解方程f(x)=0就是求函數(shù)f(x)的零點(diǎn),解不等式f(x)>0,f(x)<0就是求函數(shù)f(x)的正負(fù)區(qū)間.這樣的反思能使掌握知識(shí)的層次更具深度和廣度,思維更深刻.事實(shí)上,數(shù)學(xué)知識(shí)中有很多這樣的“知識(shí)鏈”,都可以通過解題反思去體驗(yàn)、挖掘和提煉.2反思1+1在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,如何破題是關(guān)鍵,也就是如何選擇思維起點(diǎn).一個(gè)問題引發(fā)的思維起點(diǎn)是多向的.良好的思維起點(diǎn)是思維素質(zhì)的重要組成部分,解題之后反思思維起點(diǎn),總結(jié)破題策略是提高學(xué)生發(fā)散思維能力和收斂思維能力的重要途徑.例3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a,b,c,使不等式x≤f(x)≤1/2(1+x2)對一切實(shí)數(shù)x都成立,若存在,求出a,b,c,若不存在,說明理由.解假設(shè)存在這樣的符合條件的a,b,c因?yàn)閒(x)的圖象過點(diǎn)(-1,0),所以f(-1)=0,即a-b+c=0.因?yàn)閤≤f(x)≤12(1+x2)對一切實(shí)數(shù)x都成立,所以令x=1,則1≤a+b+c≤12(1+1)=1,即a+b+c=1.所以b=12,a+c=12,f(x)=ax2+12x+12-a.因?yàn)閧f(x)≥xf(x)≤12(x2+1)即{ax2-12x+(12-a)≥0(1)(a-12)x2+12x-a≤0(2)對于x∈R成立由(1),a=0時(shí),x≤1不合題意所以{a＞0△≤0?{a＞014-4a(12-a)≤0?{a＞0(4a-1)2≤0?a=14將a=14代入(2)得:x2-2x+1≥0的解集為R.所以存在滿足條件的a,b,c:a=c=14,b=12.反思①本題把滿足題目中的條件“使不等式x≤f(x)≤1/2(1+x2)對一切實(shí)數(shù)x都成立”作為思維的起點(diǎn).②在本題中,令x=1是關(guān)鍵的破題步驟,是思維起點(diǎn)的延續(xù).通過將x=1代入上式不等式得到a+b+c=1可使問題簡化.這種在一般規(guī)律中以適當(dāng)?shù)奶厥庵荡?是解決函數(shù)問題的重要方法之一.上述反思①是提煉此題思維起點(diǎn),反思②是總結(jié)破題策略.通過反思,讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何選擇思維起點(diǎn),積累破題經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律,培養(yǎng)思維的廣闊性.3數(shù)學(xué)能源動(dòng)力的提高一般地,我們在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,思維是按層次展開的,大體可以分為三個(gè)層次:最高位層次——一般性解決,它力求通過對問題的已知、未知及整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行概略思考,以明確解題的大體方向,主要利用高層次的數(shù)學(xué)思想和方法,如:符號(hào)化思想、集合對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等;第二個(gè)層次——功能性解決,它力求明確解題中所需運(yùn)用的基本解題方法,主要指較高層次的邏輯型思想方法,包括類比、歸納、演繹、分析、抽象等;第三個(gè)層次——特殊性解決,它主要是明確解題的具體方法,程序,主要運(yùn)用低層次的數(shù)學(xué)思想和操作性較強(qiáng)的技巧型方法,比如:配方法、換元法、待定系數(shù)法、消參法、錯(cuò)位相減法等.一般性解決、功能性解決為特殊性解決提供了方向和策略,是數(shù)學(xué)思維能力系統(tǒng)作用于數(shù)學(xué)問題的結(jié)果.引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程中不同的思維層次,總結(jié)不同層次思維的規(guī)律,探討發(fā)揮數(shù)學(xué)能力效應(yīng)解題的方法,對提高學(xué)生的解題思維能力將大有幫助.現(xiàn)實(shí)中許多學(xué)生解題思路混亂的主要原因就是忽略了高位層次思維規(guī)律的總結(jié),把注意力放在零亂的,支節(jié)方面的技巧上,不能把握問題本質(zhì),阻礙了思維能力的進(jìn)一步提高.例4已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)時(shí),該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),設(shè)數(shù)列{Xn}由f(xn)=n(n=0,1,2,…)定義.(Ⅰ)求x1,x2的表達(dá)式;(1999年高考題)解依題意f(0)=0.由f(x1)=1,當(dāng)0≤y≤1時(shí)函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段,故f(x1)-f(0)x1-0=1,得:x1=1.由f(x2)=2,當(dāng)1≤y≤2時(shí)函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段,故f(x2)-f(x1)x2-x1=b,即x2-x1=1b,得:x2=1+1b.記x0=0,由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn-1,故得f(xn)-f(xn-1)xn-xn-1=bn-1.又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1,所以xn-xn-1=(1b)n-1,n=1,2,3??由此知數(shù)列{xn-xn-1}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為1b.因b≠1,得:xn=n∑k=1(xk-xk-1)=1+1b+?+1bn-1=b-(1b)n-1b-1.反思此題是1999年全國高考題第(23)題第Ⅰ問,其特點(diǎn)是綜合程度高,涉及的知識(shí)點(diǎn)多,思維跨度大,考查了較高層次的數(shù)學(xué)思想和方法.選擇這樣有深刻思維含量的難題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思,能使學(xué)生在剖析暴露題目的思維過程、思維模式、思維層次的過程中,激活自身思維的潛力,幫助學(xué)生構(gòu)建適當(dāng)?shù)乃季S模式,從而豐富學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn),提高思維能力.反思此題,我們不難發(fā)現(xiàn)其解題思維過程包含以下三個(gè)思維層次:①高位層次——一般性解決:由此題函數(shù)y=f(x)的定義是用圖象給出的已知,應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合的思維將函數(shù)圖象的深入分析作為解題的“大方向”.②第二層次——功能性解決:通過對圖象綜合分析,聯(lián)想斜率與坐標(biāo)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的關(guān)系,求出x1,x2,并歸納得出xn.③第三層次——特殊性解決:在具體計(jì)算中,先用布列方程法求出x1,x2,然后用換元法和累加法求出xn.上述思維層次是緊緊抓住解題目標(biāo)層層深入的,解題方法與技巧只是實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的手段,而不是解題目的.通過反思,讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)思想和方法在解題中的作用;認(rèn)識(shí)到只有在對解題目標(biāo)作深入分析的基礎(chǔ)上,才能靈活地創(chuàng)造性地使用各種解題方法;養(yǎng)成“由整體到局部再到細(xì)節(jié)”的思維習(xí)慣,循著這種思路去分析問題,會(huì)大幅度提高解題能力.4利用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求解多動(dòng)點(diǎn)軌跡問題,提高思維層次,促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展,提高思維層次心理學(xué)家的大量實(shí)驗(yàn)表明:學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與他們在解題過程中對各自信息的概括和解題后信息保持能力成正相關(guān).因此,在問題解答后,進(jìn)一步把特殊問題納入一個(gè)已知的更一般的范圍,從特殊推廣到一般,揭示普遍規(guī)律,使學(xué)生由會(huì)解一道題到會(huì)解一類題,由低層次到高層次,把數(shù)學(xué)思維提高到一個(gè)由例及類的檔次,形成有效的“思維鏈”,加速數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化,同時(shí)對提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率,發(fā)展概括能力,促進(jìn)思維的更高層次發(fā)展有著重要作用.例5如圖給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0)和直線L:x=-1.B是直線L上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.(1999年全國高考題)解(略)反思①此類題的共同特點(diǎn)是存在兩個(gè)