【線性常微分方程解的分析11000字（論文）】

線性常微分方程解的分析1 緒論 12 一階線性常微分方程 12.1 概念以及通解 12.2 解的存在性、唯一性 33 高階線性常微分方程 53.1 二階線性常微分方程 53.2 n階線性微分方程 84 線性常微分方程組 135 二階線性偏微分方程 186 結(jié)語 22參考文獻(xiàn) 23緒論自然界中的物質(zhì)運動和演變都有其自身的規(guī)律，有共性的一面，也有著各自的特點。為了能定性和定量地研究，提出合適的模型來描述運動規(guī)律，找出不同變量之間相互影響或制約的關(guān)系式。方程對于我們來說并不陌生，代數(shù)方程、函數(shù)方程等都是以前學(xué)過的方程類型，都是把問題的已知量和未知量之間的聯(lián)系找出來，得到含有一個或多個未知量的一個或多個方程式，然后對方程進(jìn)行求解。在實際問題中，常常出現(xiàn)一些和上述方程完全不同的情形。比如，在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析物體運動的規(guī)律時，各因素的關(guān)系不能直接反映，易建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。微分方程考慮了與未知量的變化率相關(guān)的情況。常微分方程是指未知量為一元函數(shù)時；偏微分方程是指未知量為多元函數(shù)時17世紀(jì)末以來，對天體問題，鐘擺的運動和彈性理論問題，引出一系列線性常微分方程。雅各布·伯努利用簡單的微分方程解決了與鐘擺運動有關(guān)的等時問題和懸鏈線問題，隨后還解決了與彈性相關(guān)的很多問題。微分方程還涉及物理，工程，經(jīng)濟(jì)學(xué)，醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。一階線性常微分方程概念以及通解設(shè)P dydx=P為一階線性微分方程。Qx=0， dydx=2?2為齊次的。Qx≠0，則由分離變量2?2有通解 y=cec是常數(shù)，可以任意取。例如求dydx=?xy，將接下研究2?1由常數(shù)變易有 y=c求解2?4有dc可得c2?1Q y=e例如：將x+1dy先求dy可得y令c=cy微分，可得dy即c所以原方程的通解為y考慮伯努利方程 dydx=n≠0，1利用變量變換，對y≠0，用y?ny令z可得dz因此dz當(dāng)n>0時，y例如：dydx=6yz因此，1另外y=0解的存在性、唯一性設(shè)矩形域E:x，y dydx=定理2[1]設(shè)fx，y∈CE，關(guān)于 φx0且φx是唯一的，其中h=mina證明思路：可分五個命題來證明，具體證明過程在參考文獻(xiàn)[1]，用逐步逼近法證明此定理。首先，將2?7轉(zhuǎn)化為y令y=φφ如果φ1x=φ如果φ2x= φnx可得序列φ若limn→∞φlimn→∞所以φx=y0+x0xfx，φx高階線性常微分方程二階線性常微分方程設(shè)px，qx， y''+稱為二階線性微分方程。對應(yīng)的齊次方程為 y''+引進(jìn)算子L其中D=ddx，D2= LDy LDyLDL其中，C1，C2是兩個任意常數(shù)；y1定理3.1.1[2]設(shè)y1x，y2Y仍是方程3?2的解（其中C1，C證由條件可知?xL于是LDYx此式表明Yx是方程3?2定理3.1.2[2]方程3?2的任一解Yx與方程3?1的任一解yx的和Yx證由條件可知?xL于是L即Yx+y定理3.1.3[2]設(shè)y1x，y2x為3?1的解，則y1證由條件可知?xL于是LD則12y1定義3.1.1[3]設(shè)函數(shù)y1x，y2 d1y則稱y1x，函數(shù)y1x，y其中k為常數(shù)。例1判斷以下函數(shù)組的線性相關(guān)性；sin2x，cos21，x，x2ex，e2x，e解（1）取k1=1，k2=2，k所以sin2x，cos2（2）反證法。若1，x，x2在a，b線性相關(guān)，那么存在 k1?1+上式表明?x∈a，b都是3?4的解。所以函數(shù)1，x，（3）令k將方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，并與原方程聯(lián)立得 exk由于e方程只有零解，即k1=k2=k3=0，因此函數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[1]，可得為了求出3?2的通解，先求出它所對應(yīng)的3?2的兩個通解，求3?1本身的一個特解。然后應(yīng)用這兩個結(jié)構(gòu)定理便可寫出它們的通解。定義3.1.2[2]（余函數(shù)）方程y''y稱為方程y''例5若方程y''y請寫出方程的通解，并驗證。解因為y是齊次方程的兩個特解，又因為y所以ex?x與e2xn階線性微分方程一般概念形如 yn+稱為高階線性微分方程，當(dāng)fx≡0 yn+稱為n階齊次的，3?7為n階非齊次的，它們的差別在fx是否等于定理1[1]如果方程3?7的系數(shù)aixi=1，2，?，n，fx∈C φx0即方程3?7的解得存在唯一性定理。解法齊次方程首先一階方程 y'+a是常數(shù)，通解x= y=e3?11中的λ是待定常數(shù)，則λ其中eλx Pλ=稱3?12為3?9的特征方程，根稱為特征根。情形一：λi是單根定理1如果λ1，λ2，?，λ例1求方程x'''?3解特征方程為λ3λ特征根為λ基本解組為etx情形二：λi定理2如果λ1，λ2 eλ1其中3?13是3?9基本解組。例2求y4解特征方程是λ4λ可知λ1,2=?1+所以通解為y非齊次方程方法一：常數(shù)變易法若設(shè)yi線性無關(guān)，i=1，?，n，yi是Ly=yn+p?C1x，C3?14系數(shù)行列式?0，則Ci'x例如：方程x''x代入原方程，可得cos解得c綜上所述，c1t=lncos所以x方法二：比較系數(shù)法設(shè)ft=Pmteλtt當(dāng)λ不是特征根時，就取k=0，否則k等于λ的重數(shù)，Qmt與例如：方程y''λ特征根為λ1=0，λ2=1，因為A通解為y方法三：拉普拉斯變換法若ft∈0，0則稱F是ft的拉普拉斯變換，ft為原函數(shù)，F(xiàn)s為像函數(shù)，記ρft=Fs，這里設(shè)給定微分方程d及初值條件xa1，a2，?，an是常數(shù)，而FX根據(jù)原函數(shù)性質(zhì)ρρ例如：方程x''+2x'+x作拉普拉斯變換s則X查表得x所以x線性常微分方程組討論形如的一階線性微分方程組，其中aij設(shè)n× At= ft=At滿足矩陣相加、相乘等性質(zhì)。4?1 x'=若aijAf函數(shù)矩陣有以下等式成立：AtftAtAt同樣地，若abAtaa當(dāng)At，ft滿足連續(xù)，由文獻(xiàn)[1]可知，方程例如向量u是cauc?y問題x在?∞，例如可將x4+x=tet，x且x1x其中x=x設(shè)t0 xn+a1t，a2t，?，ant，ftx令x可知xx則4?6可化為方程組4?7， x'=其中x若ψt是4?5的任一解。則ψt，ψφ若φ1tφ't=因此是4?6的解。另外，若ut是4?6u若ωt=u1t，則ωωnt由此知ω同時，可得ω即，ωt是4?5綜上所述，4?5與4?6等價的；問題4?5可以化為4?6x不能轉(zhuǎn)化為二階微分方程。例1設(shè)Φt為x'=Ax，其中A為證明：方法一：Φ∴代入t=E=Φ∴方法二：ΦΦtΦ?1例2設(shè)y=φx為二階常系數(shù)線性微分方程cauc?y問題y''+ay'證明：y=0xφ∴y''+ay二階線性偏微分方程數(shù)學(xué)物理方程建立過程中，研究了波動方程，熱傳導(dǎo)方程，穩(wěn)定場方程。這三種類型的偏微分方程描寫了不同的物理現(xiàn)象及過程。在解析幾何中知道對于二次實曲線 ax2+bxy其中a，b，c，d，e，f∈二階線性偏微分方程的普遍形式為Ax作坐標(biāo)變換ξ=ξ則?u???代入5?2得到AA定理5.1如果? Ady2的一般積分，則ξ=?x A???x的一個特解。例1求uxx解Δ=1dy可得兩簇積分曲線y+x=作變換ξ=y+x，u則通解為u=f例2求u解Δ=?1為橢圓方程，其特征方程為d可分解為兩個方程：dy可得兩簇特征線：y?2x±ix=作變換ξ=y?2x，u則通解為u=f例3求x2解Δ=xyx可解得一簇積分曲線y作變換ξ=yu此方程的通解為u=f綜上，原方程通解為u=f

結(jié)語線性微分方程具有一種特殊結(jié)構(gòu)，其解的存在性、唯一性受到重視。本文介紹了線性微分方程的解的存在性、唯一性，同時看是否有規(guī)律可尋，在此基礎(chǔ)上熟練掌握同時會做一些簡單的應(yīng)用。本文討論了一階到n階n≥2線性常微分方程的應(yīng)用，但是對于偏微分方程以及高階線性偏微分方程的結(jié)論相對較少，我們好需要繼續(xù)在這方面坐做一點努力。參考文獻(xiàn)王高雄等編.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.陳仲.微分方程與線性代數(shù)[M].南京:東南大學(xué)出版社,2014.1.何希勤,屠良平,武力兵等編著.常微分方程.[M].沈陽:東北大學(xué)出版社,2017.8.方道元,薛儒英.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2017.7.宣立新.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1999.羅兆富,王林.微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,2018.1.華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論第一卷第一分冊[M].科學(xué)出版社,1963.楊萌;唐剛.n階線性微分方程初值解的存在性與唯一性[J].黃石理工學(xué)院學(xué)報,2007,56-58.張瑩;趙偉.高階線性微分方程解法探討[J].鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2020,32(04):32-36.汪斌.n階線性微分方程解的存在