第四章+指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)檢測練習 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)檢測練習一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調遞減的是（

）A． B． C． D．2．設，，，則，，的大小是（

）A． B．C． D．3．設，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則的圖象是（

）A． B．C． D．5．北京時間2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預定時間精準點火發(fā)射，約582秒后，神舟十三號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功.據(jù)測算，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的質量M（kg）、火箭（除燃料外）的質量m（kg）的關系式為v＝2000，若火箭的最大速達到10km/s，則燃料質量與火箭（除燃料外）質量的比值約為（）（參考數(shù)據(jù)：e5≈148.4）A．146.4 B．147.4 C．148.4 D．149.46．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設（），且，則等于（）A．16 B．10C．2 D．818．計算：（

）A．1 B．2 C．3 D．6二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的。正確選項全對得5分，正確選項不全得2分，有錯誤選項得0分）9．已知函數(shù)，下列是關于函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，其中正確的是（

）A．當時，有3個零點 B．當時，有2個零點C．當時，有4個零點 D．當時，有1個零點10．已知，函數(shù)，則下列區(qū)間一定包含的零點的是（

）A． B． C． D．11．設，，則下列結論正確的有（

）．A． B．C． D．12．設函數(shù)的定義域為，值域為，若，，使得，則稱函數(shù)為Γ函數(shù)．則下列函數(shù)為Γ函數(shù)的是（

）A． B． C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．．14．已知函數(shù)，若函數(shù)（且）在區(qū)間上有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是.15．函數(shù)恒過定點．16．函數(shù)，則.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．某地空氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進行處理，據(jù)測算，每噴灑1個單位的去污劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時間（單位：天）變化的函數(shù)關系式近似為若多次噴灑，則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應時刻所釋放的濃度之和，由試驗知，當空氣中去污劑的濃度不低于（毫克/立方米）時，它才能起到去污作用.(1)若一次噴灑個單位的去污劑，則去污時間可達幾天？(2)若第一次噴灑個單位的去污劑，6天后再噴灑個單位的去污劑，要使接下來的4天能夠持續(xù)有效去污，求的取值范圍.18．已知函數(shù)．（1）用單調性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）若關于的方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍；（3）當關于的方程有兩個不相等的正根時，求實數(shù)的取值范圍．19．為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小張同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為6萬元，每年生產萬件，需另投入流動成本為萬元，且，每件產品售價為12元．經市場分析，生產的產品當年能全部售完．（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數(shù)解析式；(2)求年產量為多少萬件時，小張在這一產品的生產中所獲利潤最大，并計算出最大利潤值．20．已知為定義在的奇函數(shù)，且當>0時，．(1)求的解析式；(2)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．21．已知，.（1）求和；（2）定義且，求和.22．2021年某城市一家圖書生產企業(yè)計劃出版一套數(shù)學新教輔書，通過市場分析，全年需投入固定成本30萬元，印刷（萬本），需另投入成本萬元，且由市場調研知，每本書售價為60元，且全年內印刷的書當年能全部銷售完.（1）求出2021年的利潤（萬元）關于年產量（萬本）的函數(shù)關系式；（2）2021年年產量為多少本時，企業(yè)所獲利潤最大？求出最大利潤.參考答案1．C【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像與性質可判斷B，利用函數(shù)奇偶性的判斷以及其解析式即可判斷C，根據(jù)常見冪函數(shù)的圖像與性質即可判斷D.【詳解】對A，設，其定義域為，則其定義域關于原點對稱，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤，對B，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域為，可知其不具備奇偶性，故B錯誤，對C，當，，可知其在上單調遞減，設，其定義域為，關于原點對稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確，對D，根據(jù)冪函數(shù)圖象與性質知為奇函數(shù)，故D錯誤，故選：C.2．A【解析】利用指數(shù)函數(shù)的性質與對數(shù)函數(shù)的性質分別判斷與和的大小，即可得出結果．【詳解】∵根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質可得：，由對數(shù)函數(shù)的性質可得：，，∴.故選：A.3．C【分析】結合對數(shù)的性質，利用對數(shù)函數(shù)的單調性判斷.【詳解】解：因為，，所以，故選：C4．D【分析】先求得的解析式，再利用特值法排除錯誤選項，進而得到正確選項.【詳解】由，可得當時，，則的圖象過點，則排除選項AB；當時，，排除選項C，正確選項為D.故選：D5．B【分析】由10×1000＝2000，結合對數(shù)的運算求解即可.【詳解】由題意將v＝10km/s，代入v＝2000，可得10×1000＝2000，則，即≈148.4，解得.故選：B6．B【分析】判斷“”和“”之間的邏輯推理關系，即可得答案.【詳解】當時，，若，則推不出；由于在上單調遞增，當時，可得到，則有，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B7．A【分析】根據(jù)給定條件，用表示出，再求出即可計算作答.【詳解】由，，得，而，則有，解得，所以.故選：A8．B【分析】由對數(shù)的運算法則化簡即可求得.【詳解】由對數(shù)運算法則化簡得故選：B9．CD【分析】令y＝0得，利用換元法將函數(shù)分解為f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論．【詳解】令，得，設f（x）＝t，則方程等價為f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵f（t）＝﹣1，∴此時方程f（t）＝﹣1有兩個根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此時x有兩解，由f（x）＝t1∈（0，1）知此時x有兩解，此時共有4個解，即函數(shù)y＝f[f（x）]+1有4個零點．②若k＜0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵f（t）＝﹣1，∴此時方程f（t）＝﹣1有一個根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）＝t1∈（0，1），此時x只有1個解，即函數(shù)y＝f[f（x）]+1有1個零點．故選：CD．【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用，考查復合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結合是解決本題的關鍵，屬于難題．10．CD【分析】通過計算得到，,分析即得解.【詳解】因為，所以.由的解析式可知其為二次函數(shù)，至多有兩個零點.因為，且，，所以，,又,（三個正數(shù)相加結果為正），所以.而，時，,時，,所以符號不確定，無法根據(jù)二分法得到零點所在區(qū)間.所以在區(qū)間和上各有一個零點.故選：CD11．BC【分析】由題意可得，，可判斷C；根據(jù)可判斷A；利用對數(shù)的運算可判斷B；根據(jù)可判斷D.【詳解】已知，，所以C正確；，即，因為，所以，A錯誤；，B正確；因為，，所以，D不正確．故選：BC.12．ABD【分析】逐一分析每個函數(shù)的定義域和值域后進行判斷即可.【詳解】A選項，的定義域值域都是，顯然符合題意，A選項正確；B選項，定義域，值域，由于定義域，值域的任意性，定義域內任取，在值域中顯然可以找到對應的相反數(shù)，B選項正確；C選項，，定義域為，值域為，若定義域內取到正數(shù)，則值域中沒有與之對應的正數(shù)的相反數(shù)，C選項錯誤；D選項，定義域為，值域為，由于值域的任意性，定義域內的任意正數(shù)都能在值域中找到與之對應的相反數(shù)，D選項正確.故選：ABD13．2【分析】根據(jù)指數(shù)及對數(shù)運算律計算即可得出結果.【詳解】故答案為:2.14．【解析】將函數(shù)（且）在區(qū)間上有4個不同的零點轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個不同的交點，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性作出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，利用圖象【詳解】，所以為偶函數(shù)，設，則，因為所以，即，因為，所以，所以，所以，所以，即，所以在上遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上遞減，所以當時，取得最小值，因為函數(shù)（且）在區(qū)間上有4個不同的零點，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個不同的交點，作出兩個函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，，即，解得.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解15．【分析】由恒成立可得定點坐標.【詳解】，恒過定點.故答案為：.16．【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.【詳解】依題意.故答案為：【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.17．(1)8天(2)【分析】（1）根據(jù)空氣中去污劑的濃度不低于，直接列出不等式，然后解出不等式即可；（2）根據(jù)題意，列出空氣中去污劑的濃度關于時間的關系式，然后利用基本不等式放縮，并解出不等式即可.【詳解】（1）解：當時，，解得，當時，，解得，綜上可得：，故去污時間可達8天；（2）解：設從第一次噴灑起，第天，空氣中去污劑的濃度為：，當且僅當，即時，取等號，則，又，解得：.18．（1）見解析；（2）；（3）.【分析】（1）任取，作差，通分，因式分解，然后分和兩種情況討論，判斷的符號，即可證明出函數(shù)在區(qū)間和上的單調性；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，由得知實數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可求解；（3）將問題轉化為直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用數(shù)形結合思想可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設，．當時，，，，，即，所以，函數(shù)在上單調遞減．當時，，，，，即，所以，函數(shù)在上單調遞增；（2）函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，且，．方程在有解，，因此，實數(shù)的取值范圍是；（3）方程為，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，如下圖所示：由上圖可知，當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用定義證明函數(shù)的單調性，同時也考查了利用方程根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題時可以利用參變量分離法，利用數(shù)形結合思想求解，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.19．(1)(2)8萬件，萬元【分析】（1）根據(jù)題意，結合流動成本關于年產量的函數(shù)關系式，即可求得結果；（2）判斷的單調性，根據(jù)單調性求得函數(shù)最值即可．【詳解】（1）因為每件產品售價為12元，則萬件產品銷售收入為萬元，依題意得，當時，，當時，，所以；（2）①當時，，即當時，取得最大值11；②當時，由雙勾函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，即當時取得最大值，因為，故當年產量為8萬元時，小張在這一產品的生產中所獲利潤最大，最大利潤為萬元．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質，可得答案；（2）利用參變分離和分離常數(shù)，結合基本不等式，可得答案.【詳解】（1）令，則，即，由函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，因為函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以，故.（2）由，則不等式，因為，當且僅當，即時，取等號，所以，即對恒成立，因為，當且僅當時等號成立，所以，所求實數(shù)的取值范圍為.21．(1)，；(2)，.【分析】(1)先分別求解出集合中的表示元素的范圍，即可求解出集合，即可求解出、的結果；(2)根據(jù)定義以及集合，即可求解出與的結果.【詳解】(1)因為，所以，所以，所以，又因為，所以或，所以，所以，所以，；(2)因為且，所以，.【點睛】本題考查指、對數(shù)不等式與集合的交并的綜合