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4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程兩點(diǎn)間距離公式點(diǎn)到直線距離公式xyP0(x0,y0)OSRQd注意:
化為一般式.
生活中的圓復(fù)習(xí)引入問題一:什么是圓?初中時(shí)我們是怎樣給圓下定義的?
平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓。問題二:平面直角坐標(biāo)系中,如何確定一個(gè)圓?圓心:確定圓的位置半徑:確定圓的大小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓心是C(a,b),半徑是r,求圓的方程.xyOCM(x,y)設(shè)點(diǎn)M(x,y)為圓C上任一點(diǎn),|MC|=r則P={M
||MC|=r
}圓上所有點(diǎn)的集合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xyOCM(x,y)圓心C(a,b),半徑r標(biāo)準(zhǔn)方程三個(gè)獨(dú)立條件a、b、r確定一個(gè)圓的方程.特別地,若圓心為O(0,0),則圓的方程為:特殊位置的圓的方程:圓心在原點(diǎn):x2+y2=r2(r≠0)圓心在x軸上:(x
a)2+y2=r2(r≠0)
圓心在y軸上:x2+(y
b)2=r2
(r≠0)
圓過原點(diǎn):
(x
a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)
例1
寫出圓心為,半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程,并判斷點(diǎn),是否在這個(gè)圓上.
解:圓心是,半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:
把的坐標(biāo)代入方程左右兩邊相等,點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程,所以點(diǎn)在這個(gè)圓上;
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程,左右兩邊不相等,點(diǎn)的坐標(biāo)不適合圓的方程,所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上.知識(shí)探究二:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
探究:在平面幾何中,如何確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?MO|OM|<r|OM|=rOMOM|OM|>r點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外(x0-a)2+(y0-b)2<r2時(shí),點(diǎn)M在圓C內(nèi);(x0-a)2+(y0-b)2=r2時(shí),點(diǎn)M在圓C上;(x0-a)2+(y0-b)2>r2時(shí),點(diǎn)M在圓C外.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:知識(shí)點(diǎn)二:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系MOOMOM例2△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.BxoyAC待定系數(shù)法例2解:設(shè)所求圓的方程為:因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圓上所求圓的方程為例2:方法二圓心:兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑:圓心到圓上一點(diǎn)xyODA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)圓心:兩條直線的交點(diǎn)半徑:圓心到圓上一點(diǎn)xyOCA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分線例3.己知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,-2),且圓心在直線l:x-y+1=0上,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解法一:(詳見課本解答)
例3
已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,-2),且圓心C在直線上l:x-y+1=0,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.所以,圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是例4:以C(1,3)為圓心,并且和
直線3x-4y-7=0相切的圓.圓心:已知半徑:圓心到切線的距離解:設(shè)所求圓的半徑為r則:=∴所求圓的方程為:CyxOM小結(jié)圓心C(a,b),半徑rxyOCABC1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.圓心①兩條直線的交點(diǎn)(弦的垂直平分線)②直徑的中點(diǎn)3.半徑①圓
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