第四章 不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動

第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動分析第二節(jié)有旋流動和無旋流動第三節(jié)無旋流動的速度勢函數(shù)第四節(jié)二維平面流動的流函數(shù)第五節(jié)基本的平面有勢流動第六節(jié)平面勢流的疊加流動第四章不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動有旋流動的基本概念及基本性質(zhì)二維平面勢流理論第四章不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動本章內(nèi)容：本章主要討論理想流體二維流動的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體二維流動奠定必要的基礎(chǔ)。重點(diǎn)：流函數(shù)、勢函數(shù)基本有勢流動及其疊加第一節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動分析剛體:流體:具有流動性，極易變形。移動（move）

——線速度VxVyVz

轉(zhuǎn)動(rotation)——角速度ωxωy

ωz

移動（move）

——線速度VxVyVz

轉(zhuǎn)動(rotation)——角速度ωxωy

ωz

變形（reform）——線變形角變形第一節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動分析

F點(diǎn)速度：u（x，y，z）

v（x，y，z）

w（x，y，z）一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動特征的速度表達(dá)式F點(diǎn)速度：u（x，y，z），

v（x，y，z），w（x，y，z）C點(diǎn)速度：C點(diǎn)速度：C點(diǎn)速度：2.線變形速率3.剪切變形速率1.線速度u,v,w4.旋轉(zhuǎn)角速度在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動可分解為三部分：①以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動②繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動③微團(tuán)本身的變形運(yùn)動線速度旋轉(zhuǎn)角速度線變形速率剪切變形速率C點(diǎn)速度：二、流體微團(tuán)運(yùn)動的分解（1）平移運(yùn)動：矩形ABCD各角點(diǎn)具有相同的速度分量u、v。導(dǎo)致矩形ABCD平移udt,上移vdt,ABCD的形狀不變。（2）線變形運(yùn)動：x方向的速度差y方向的速度差A(yù)B、DC在dt時間內(nèi)伸長AD、BC在dt時間內(nèi)縮短定義:單位時間內(nèi)單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體微團(tuán)的線變形速率沿x軸方向的線變形速率為沿y軸、z軸方向的線變形速率為對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團(tuán)在運(yùn)動中體積不變。三個方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時間的相對變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。因此，不可壓縮流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。（3）角變形運(yùn)動兩正交微元流體邊的夾角在單位時間內(nèi)的變化量該夾角變化的平均值在單位時間內(nèi)的變化量角變形速度的平均值角變形速度剪切變形速率（4）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動則流體微團(tuán)只發(fā)生角變形則流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動沿z軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量：

旋轉(zhuǎn)角速度：過流體微團(tuán)上A點(diǎn)的任兩條正交微元流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，稱作A點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在垂直該平面方向的分量。在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動可分解為三部分：①以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動②繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動③微團(tuán)本身的變形運(yùn)動線速度旋轉(zhuǎn)角速度線變形速率剪切變形速率C點(diǎn)速度：第二節(jié)有旋流動和無旋流動

一、根據(jù)流體微團(tuán)在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動。

數(shù)學(xué)條件：當(dāng)當(dāng)無旋流動有旋流動如果在整個流場中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則稱為無旋流動。流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則稱為有旋流動。有旋流動無旋流動（a）

（b）

即當(dāng)流場速度同時滿足：流動無旋需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動軌跡無關(guān)。

如圖7-5（a），流體微團(tuán)的運(yùn)動為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖7-5（b）流體微團(tuán)的運(yùn)動盡管為直線運(yùn)動，但流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動為有旋流動。無旋流動有旋流動【解】由于所以該流動是有旋運(yùn)動?！纠?-2】某一流動速度場為，，其中是不為零的常數(shù)，流線是平行于軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度式中——在封閉曲線上的速度矢量；

——速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。在流場中任取封閉曲線k，如圖4-5所示。速度沿該封閉曲線的線積分稱為速度沿封閉曲線k的環(huán)量，簡稱速度環(huán)量，用表示，即速度環(huán)量為了進(jìn)一步了解流場的運(yùn)動性質(zhì)，引入流體力學(xué)中重要的基本概念之一——速度環(huán)量。定義：速度環(huán)量是個標(biāo)量，但具有正負(fù)號。圖4-5沿封閉曲線的速度環(huán)量在封閉曲線k上的速度矢量速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時所取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時針方向?yàn)镵的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖4-5所示。當(dāng)沿順時針方向繞行時，式（4-9）應(yīng)加一負(fù)號。實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線K運(yùn)動的總的趨勢的大小，或者說所反映的是流體的有旋性。

沿封閉曲線反時針方向ABCDA的速度環(huán)量旋渦強(qiáng)度沿封閉曲線反時針方向ABCDA的速度環(huán)量將速度各值代入上式略去高于一階的無窮小各項(xiàng)再將旋轉(zhuǎn)角速度公式代入對面積積分旋渦強(qiáng)度I斯托克斯定理：速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度關(guān)系——在微元面積dA的外法線上的分量

這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。

dA渦量——以Ω表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個矢量。在有旋流動中，流體運(yùn)動速度的旋度稱為渦量。如果在一個流動區(qū)域內(nèi)各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這個區(qū)域內(nèi)的流動一定是無旋流動。在流體流動中，如果渦量的三個分量中有一個不等于零，即為有旋流動?！纠?-1】一個以角速度按反時針方向作像剛體一樣的旋轉(zhuǎn)的流動，如圖4-7所示。試求在這個流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動.(解)【例4-2】一個流體繞O點(diǎn)作同心圓的平面流動，流場中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該點(diǎn)半徑成反比，即，其中C為常數(shù)，如圖4-8所示。試求在流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動情況。(解)【解】在流場中對應(yīng)于任意兩個半徑和的圓周速度各為和，沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量可見，在這個區(qū)域內(nèi)是有旋流動。又由于扇形面積于是

上式正是斯托克斯定理的一個例證。

以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。返回例題圖4-7有旋流動中速度環(huán)量的計(jì)算圖4-8無旋流動中速度環(huán)量的計(jì)算返回例題

【解】沿扇形面積周界的速度環(huán)量可見，在這區(qū)域內(nèi)是無旋流動。這結(jié)論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內(nèi)，例如。若包有圓心()，該處速度等于無限大，應(yīng)作例外來處理。現(xiàn)在求沿半徑的圓周封閉曲線的速度環(huán)量

上式說明，繞任何一個圓周的流場中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個常數(shù)，所以是有旋流動。但凡是繞不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個孤立渦點(diǎn)，稱為奇點(diǎn)。返回例題在不可壓縮流體的平面流動中，速度場必須滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程第四節(jié)二維平面流動的流函數(shù)對于流體的平面流動，其流線的微分方程為,將其改寫成下列形式表示該函數(shù)一、流函數(shù)的引入成為某函數(shù)全微分的充分必要條件函數(shù)Ψ稱為流場的流函數(shù)

Ψ=常數(shù)，可得流線微分方程式由此可見,Ψ=常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)值，就可得到流線簇。或者說，只要給定流場中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（x0，y0）代入流函數(shù)Ψ

，便可得到一條過該點(diǎn)的確定的流線。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場。對于極坐標(biāo)系，可寫成在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢函數(shù)一樣，可由曲線積分得出在不可壓縮平面流動中，只要求出了流函數(shù)，就可求出速度分布。反之，只要流動滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場是否有旋，流動是否定常，流體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù)。等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動時成立。對于三維流動，不存在流函數(shù)，也就不存在等流函數(shù)線，但流線還是存在的。（1）對于不可壓縮流體的平面流動，流函數(shù)Ψ永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。二、流函數(shù)的性質(zhì)不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，也是一個調(diào)和函數(shù)。在平面不可壓縮流體的有勢流場中的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求解一個滿足邊界條件的Ψ的拉普拉斯方程.（2）對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數(shù)Ψ滿足拉普拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對于平面無旋流動平面流動中兩條流線間通過的流量等于這兩條流線上的流函數(shù)之差。（3）平面流動中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。這就是流函數(shù)的物理意義。在兩流線間任一曲線AB，則通過單位厚度的體積流量為三、和的關(guān)系當(dāng)勢函數(shù)φ和流函數(shù)Ψ二者知其一時，另一個則可利用式（4-27）的關(guān)系求出，而至多相差一任意常數(shù)。（1）滿足柯西-黎曼條件如果是不可壓縮流體的平面無旋流動，必然同時存在著速度勢和流函數(shù)，可得到速度勢函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系柯西-黎曼條件

φ和Ψ互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類問題。是等勢線簇[常數(shù)]和流線簇[常數(shù)]互相正交的條件，若在同一流場中繪出相應(yīng)的一系列流線和等勢線，則它們必然構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。（2）流線與等勢線正交

【例4-3】有一不可壓流體平面流動的速度分布為。①該平面流動是否存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)；②若存在，試求出其表達(dá)式；③若在流場中A（1m，1m）處的絕對壓強(qiáng)為1.4×105Pa，流體的密度1.2kg/m3，則B（2m，5m）處的絕對壓強(qiáng)是多少？

【解】（1）由不可壓流體平面流動的連續(xù)性方程該流動滿足連續(xù)性方程，流動是存在的，存在流函數(shù)。由于是平面流動該流動無旋，存在速度勢函數(shù)。（2）由流函數(shù)的全微分得：積分由速度勢函數(shù)的全微分得：積分（3）由于，因此，A和B處的速度分別為

由伯努里方程可得第五節(jié)

基本的平面有勢流動

一、均勻直線流二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯

三、點(diǎn)渦一、均勻直線流動定義：流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。

積分常數(shù)C1和C2可以任意選取，而不影響流體的流動圖形（稱為流譜）數(shù)學(xué)表達(dá)式Φ、Ψ即得均勻直線流動的速度勢和流函數(shù)各為令各流線與x軸的夾角等于等勢線簇和流線簇互相垂直均勻直線流動在水平面上流體為氣體流場中壓強(qiáng)處處相等壓力分布各流線與x軸的夾角等于二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯現(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，則如果在無限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動稱為點(diǎn)源，這個點(diǎn)稱為源點(diǎn)若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這種流動稱為點(diǎn)匯，這個點(diǎn)稱為匯點(diǎn)這兩種流動的流線都是從原點(diǎn)O發(fā)出的放射線，即從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度。定義特點(diǎn)點(diǎn)源點(diǎn)匯Φ、Ψ根據(jù)流動的連續(xù)性條件，流體每秒通過任一半徑為r的單位長度圓柱面上的流量qv都應(yīng)該相等＋qv——點(diǎn)源——流出（vr與r同向）－qv——點(diǎn)匯——流入（vr與r反向）積分當(dāng)r=0時，φ→∞，vr→∞，——源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是奇點(diǎn)——φ、vr只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn)以外才能應(yīng)用。代入Φ、Ψ等勢線簇是同心圓簇與流線簇正交。而且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外，整個平面上都是有勢流動。壓力分布如果XOY平面是無限水平面，則根據(jù)伯努里方程壓強(qiáng)p隨著半徑r的減小而降低。三、點(diǎn)渦定義以渦束旋轉(zhuǎn)所誘導(dǎo)出的平面流動稱為渦流若直線渦束的半徑→0，則成為一條渦線垂直于該渦束的平面內(nèi)的流動稱為點(diǎn)渦或自由渦流，渦流中心稱為渦點(diǎn)。數(shù)學(xué)表達(dá)式渦點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，該式僅適用于r>0的區(qū)域Φ、Ψ當(dāng)Γ>0時，環(huán)流為反時針方向；當(dāng)時Γ<0時，環(huán)流為順時針方向。由式（4-36）和式（4-37）可知，點(diǎn)渦的等勢線簇是經(jīng)過渦點(diǎn)的放射線，而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個平面上都是有勢流動。壓力分布設(shè)渦束的半徑為r0，渦束邊緣上的速度為，壓強(qiáng)為p0r→∞時，速度為零，壓強(qiáng)為p∞。代入伯努里方程，得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓強(qiáng)為在r→0處，壓強(qiáng)p→-∞，顯然這是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)?？傻脺u核的半徑由于渦核內(nèi)是有旋流動，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動微分方程求得。平面定常流動的歐拉運(yùn)動微分方程為將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度和代入上兩式，得以和分別乘以上兩式，然后相加，得或積分得在處，，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為（4-40）或（4-40a）于是渦核中心的壓強(qiáng)而渦核邊緣的壓強(qiáng)所以可見，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì)算的動壓頭。渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如圖4-15所示。圖5-14渦流中渦核內(nèi)、外的速度和壓強(qiáng)分布第六節(jié)平面勢流的疊加流動

一、點(diǎn)渦和點(diǎn)匯疊加的流動——螺旋流

二、點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加的流動——偶極流

幾個簡單有勢流動疊加得到的新的有勢流動，其速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別等于原有幾個有勢流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)的代數(shù)和，速度分量為原有速度分量的代數(shù)和。

將簡單的勢流疊加起來，得到新的復(fù)雜流動的流函數(shù)和勢函數(shù)，可以用來求解復(fù)雜流動。勢流疊加原理意義：一、勢流疊加原理重要結(jié)論：疊加兩個或多個不可壓平面勢流流動組成一個新的復(fù)合流動，只要把各原始流動的勢函數(shù)或流函數(shù)簡單地代數(shù)相加，就可得到該復(fù)合流動的勢函數(shù)或流函數(shù)。該結(jié)論稱為勢流的疊加原理。1、2、3、二、點(diǎn)渦和點(diǎn)匯疊加的流動——螺旋流點(diǎn)匯點(diǎn)渦等勢線方程流線方程等勢線簇和流線簇是兩組互相正交的對數(shù)螺旋線簇，稱為螺旋流。流體從四周向中心流動。研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋風(fēng)除塵設(shè)備及多級離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這種螺旋流。螺旋流的速度分布代入伯努里方程，得流場的壓強(qiáng)分布A點(diǎn)（－a，0）——點(diǎn)源B點(diǎn)（a，0）——點(diǎn)匯疊加點(diǎn)匯點(diǎn)源疊加三、點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加的流動——偶極流偶極流定義點(diǎn)源和點(diǎn)匯無限接近的同時，流量無限增大(即2a→0，qv

→∞)以至使2aqv保持一個有限常數(shù)值M的極限情況。在這種極限情況下的流動稱為偶極流，M稱為偶極矩或偶極強(qiáng)度偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點(diǎn)源指向點(diǎn)匯的方向?yàn)檎虺?shù)常數(shù)偶極流速度勢φ偶極流流函數(shù)ΨBC為從B點(diǎn)向AP所作的垂線偶極流流線方程偶極流等勢線方程單獨(dú)的偶極流沒有什么實(shí)際意義，但是它與直線均勻流疊加的復(fù)合勢流非常有用。四、繞圓柱體無環(huán)量流動均勻直線流與偶極流疊加均勻直線流偶極流流函數(shù)流線方程零流線方程四、繞圓柱體無環(huán)量流動均勻直線流與偶極流疊加零流線方程流函數(shù)勢函數(shù)以上兩式中，r≥r0，這是因?yàn)閞<r0的圓柱體內(nèi)的流動沒有實(shí)際意義。速度分布極坐標(biāo)速度分布在，