三角恒等變換(測試題及答案)

三角恒等變換(測試題及答案)

三角恒等變換測試題第I卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。A。0.B。1/2.C。1/4.D。1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，則tan(2α)的值為：A。1/2.B。2/3.C。3/4.D。4/53.函數(shù)y=sin(x)+cos(x)的最小正周期為：A。π。B。2π。C。4π。D。π/24.已知等腰三角形頂角的余弦值等于4/5，則這個三角形底角的正弦值為：A。3/5.B。4/5.C。5/6.D。5/45.α,β都是銳角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，則sin(β)的值是：A。-2/3.B。-1/3.C。1/3.D。2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，則cos(2x)的值是：A。-7/24.B。-1/8.C。1/8.D。7/247.函數(shù)y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。[0,1]。B。[-1,1]。C。[-1/2,1/2]。D。[1/2,√2]8.將y=2sin(2x)的圖像向左平移π/4個單位，得到y(tǒng)=3sin(2x)-cos(2x)的圖像，只需將y=2sin(2x)的圖像：A。向右平移π/4個單位。B。向左平移π/4個單位C。向右平移π/2個單位。D。向左平移π/2個單位9.已知等腰三角形頂角的正弦值等于4/5，則這個三角形底角的余弦值為：A。3/5.B。4/5.C。5/6.D。5/410.函數(shù)y=sin(x)+3cos(2x)的圖像的一條對稱軸方程是：A。x=π/4.B。x=π/6.C。x=π/2.D。x=π/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在題中的橫線上）11.已知α,β為銳角，cosα=1/10，cosβ=1/5，則α+β的值為__π/6__。12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的兩個實根，則tanC=__1/2__。13.若角的終邊經(jīng)過點P(1，-2)，則sin^2的值為__5/13__。14.已知tanx=2，則(3sin^2x+2cos^2x)/(cos^2x-3sin^2x)的值為__-1/2__。關(guān)于函數(shù)$f(x)=\cos2x-2\sqrt3\sinx\cosx$，下列命題：①若存在$x_1,x_2$有$x_1-x_2=\pi$時，$f(x_1)=f(x_2)$成立；②$f(x)$在區(qū)間$\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)$上是單調(diào)遞增；③函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于點$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$對稱；④將函數(shù)$f(x)$的圖像向左平移$\frac{5\pi}{2}$個單位后將與$y=2\sin2x$的圖像重合．其中正確的命題序號為①、②、③。解答題：17.已知$\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$，$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}$，求$\sin2\alpha$。解：由$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$得$\sin(\alpha-\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，再由$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}$得$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{2\sqrt{5}}{3}$。because\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$。XXX$$\alpha+\beta$和$\alpha-\beta$都在第二象限。XXX$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin(\alpha+\beta-\beta)\cos(\alpha-\beta)$2\left(\sin(\alpha+\beta)\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)\sin\beta\right)\left(\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$2\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{16}{25}-\frac{9}{25}\right)=\frac{28}{25}$。答案：$\frac{28}{25}$。18.求$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-2)}{\cos\frac{1}{2}-1}$的值。解：$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-2)}{\cos\frac{1}{2}-1}=\frac{4\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}-2\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{2\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{\sin1}{\cos1-1}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{2\sin^2\frac{1}{2}}{2\sin^2\frac{1}{2}}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos^2\frac{1}{2}-\sin^2\frac{1}{2}}$2-2\cot\frac{1}{2}=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}-2$。答案：$2\sqrt{3}-2$。19.已知$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{11}\right)$，$\beta\in\left(0,\pi\right)$，且$\tan(\alpha-\beta)=\frac{4}{27}$，$\tan\beta=-\frac{4}{3}$，求$\tan(2\alpha-\beta)$的值及角$2\alpha-\beta$。解：由$\tan(\alpha-\beta)=\frac{4}{27}$得$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\frac{4}{27}$。由$\tan\beta=-\frac{4}{3}$得$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=-\frac{4}{3}$。XXX$$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{4}{27}$，$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=-\frac{4}{3}$。therefore$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4\cos\beta}{27\cos^2\beta-4\sin^2\beta}=-\frac{16}{7}$。XXX$$\tan\alpha=-\frac{16}{7}$。XXX$$\tan(2\alpha-\beta)=\frac{2\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=-\frac{2}{5}$。又因為$2\alpha-\beta<\frac{2\pi}{11}<\frac{\pi}{2}$，$\tan(2\alpha-\beta)<0$。therefore$$2\alpha-\beta=\pi-\arctan\frac{2}{5}$。答案：$\tan(2\alpha-\beta)=-\frac{2}{5}$，$2\alpha-\beta=\pi-\arctan\frac{2}{5}$。20.函數(shù)$y=\sin^2x+\sin^2x+3\cos^2x$，求：1）函數(shù)的最小值及此時的$x$的集合；2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；3）此函數(shù)的圖像可以由函數(shù)$y=2\sin^2x$的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到。解：（1）$y=\sin^2x+\sin^2x+3\cos^2x=2\sin^2x+3\cos^2x+2\sinx\cosx+1$2\left(\sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}\cosx\right)^2+1-\frac{1}{2}$geq1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。當(dāng)且僅當(dāng)$\sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}\cosx=-\sqrt{2}$時取等。therefore$$y_{\min}=\frac{1}{2}$，$x=k\pi+\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$，$k\in\mathbb{Z}$。2）$y'=(4\sinx+2\cosx)\cosx-6\sinx\cosx=2\sinx(2\sinx+\cosx)$。therefore$函數(shù)$y$在區(qū)間$\left[-\frac{\pi}{2},0\right)$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$上單調(diào)遞增。3）將$y=2\sin^2x$的圖像向左平移$\frac{\pi}{4}$個單位再上下翻折即可。21.已知函數(shù)$f(x)=\cosx+3\sinx\cosx+1$，$x\in\mathbb{R}$。1）求證$f(x)$的小正周期和最值；2）求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。解：（1）$\becausef(x+2\pi)-f(x)=\cos(x+2\pi)+3\sin(x+2\pi)\cos(x+2\pi)+1-\cosx-3\sinx\cosx-1$cosx-3\sinx\cosx+1-\cosx-3\sinx\cosx-1=-2\cosx-6\sinx\cosx=-2f(x)$。XXX(x)$的小正周期為$\pi$。當(dāng)$\sinx=1$，$\cosx=0$時，$f(x)=4$，當(dāng)$\sinx=-1$，$\cosx=0$時，$f(x)=-2$。because-1\leq\cosx\leq1$，$-1\leq\sinx\leq1$。XXX(x)$的最大值為$4$，最小值為$-2$。2）$f'(x)=-\sinx+3\cos^2x-3\sin^2x=-4\sin^2x-2\sinx+3=-4(\sinx+\frac{1}{4})^2+\frac{13}{4}$。because-1\leq\sinx\leq1$。XXX'(x)\leq\frac{13}{4}$，即$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增。答案：（1）$f(x)$的小正周期為$\pi$，最大值為$4$，最小值為$-2$；（2）$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增。二、誘導(dǎo)公式口訣：奇變偶不變，符號看象限。當(dāng)角度為90度的奇數(shù)倍時，三角函數(shù)的符號與原函數(shù)相同，當(dāng)角度為90度的偶數(shù)倍時，三角函數(shù)的符號與原函數(shù)相反。而符號的正負(fù)則取決于角度所在的象限。在使用誘導(dǎo)公式化簡時，先將角度化為kπ±α的形式，然后根據(jù)口訣進(jìn)行化簡。三、和角與差角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)可以使用tan(α±β)=tanα±tanβ/(1?tanαtanβ)將其變形。四、二倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan2α=2tanα/(1-tan2α)五、注意這些公式的來龍去脈。這些公式都可以由公式cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ推導(dǎo)出來。六、注意公式的順用、逆用、變用。例如，可以使用逆用sinαcosβ±cosαsinβ=sin(α±β)sinαsinβ推導(dǎo)出來。另外，還需要注意公式的變形和使用。七、合一變形（輔助角公式）可以將兩個三角函數(shù)的和或差化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式，其中A、ω、φ、B均為常數(shù)。具體公式為：Asinα+Bcosα=√(A2+B2)sin(α+arctan(B/A))八、萬能公式cos2α=1/(1+tan2α)sin2α=tan2α/(1+tan2α)tan2α=sin2α/cos2α=2tanα/(1+tan2α)九、用sinα，cosα表示tanα/2XXX(α/2)=sinα/(1+cosα)=1-cosα/sinα十、積化和差與和差化積積化和差公式：sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]和差化積公式：sinα±sinβ=2sin[(α±β)/2]cos[(α?β)/2]cosα±cosβ=2cos[(α±β)/2]cos[(α?β)/2]cosαcosβ可以用和差化積公式得到：cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]。同樣地，sinαsinβ可以用和差化積公式得到：sinαsinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)]。另外，和差化積公式也適用于sinθ+sinφ和sinθ-sinφ，以及cosθ+cosφ和cosθ-cosφ，分別可以得到：sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]，sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]，cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]，cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]。三角恒等變換方法可以用來證明三角恒等式。這個方法包括三個方面的變換：變角、變名、變式。其中，變角是將未知角度轉(zhuǎn)化為已知角度的方法，變名是將正切和余切轉(zhuǎn)化為正弦和余弦的方法，變式是利用升冪公式和降冪公式以及和角和差角公式等展開和合并式子的方法。恒等式的證明方法有很多種，包括直接推證法、左右歸一法、比較法和分析法等。例1中，已知α為第四象限角，需要化簡cosα。首先可以得到1-sinα=cosα/sinα，1-cosα=sinα/cosα。然后將cosα和sinα用1-sinα和1-cosα表示，得到cosα+sinα=[cosα/(1-sinα)]+[sinα/(1-cosα)]。接著，將分式通分并合并同類項，得到cosα+sinα=[cosα(1-cosα)+sinα(1-sinα)]/[(1-sinα)(1-cosα)]。然后，將cosα(1-cosα)+sinα(1-sinα)用和差化積公式展開，得到cosα(1-cosα)+sinα(1-sinα)=cosα-sinα。最后，將cosα-sinα代入原式，得到cosα/(1-sinα)+sinα/(1-cosα)=cosα-sinα/(1-sinα)(1-cosα)。因此，cosα可以化簡為cosα-sinα/(1-sinα)(1-cosα)。例2中，已知270-1/2，所以cos2α>1/4.然后，將分式的分母用1+cos2α-1代替，得到(1+cos2α)/(2+cos2α)=(1+cos2α)/(1+cos2α-1+3)=(1+cos2α)/(cos2α+3)。接著，將cos2α用1-sin2α代替，得到(1+cos2α)/(cos2α+3)=(1+1-sin2α)/(1-sin2α+3)=(2-sin2α)/4.最后，將sin20°用cos2(10°)代入，得到(2-sin2(10°))/4=cos2(10°)/2+1/2.因此，原式可以化簡為cos2(10°)/2+1/2.例3中，需要計算tan20°+4sin20°。首先，將tan20°用sin20°和cos20°表示，得到tan20°=sin20°/cos20°。然后，將tan20°代入原式，得到sin20°/cos20°+4sin20°。接著，將分?jǐn)?shù)通分，得到(5sin20°+cos20°)/(cos20°)。最后，將cos20°用1-sin2(20°)代入，得到(5sin20°+1-sin2(20°))/(1-sin2(20°))。因此，tan20°+4sin20°可以化簡為(5sin20°+1-sin2(20°))/(1-sin2(20°))。解：（1）由于p與q是共線向量，所以它們的坐標(biāo)比例相等，即frac{2-2\sinA}{\sinA-\cosA}=\frac{cosA+\sinA}{1+\sinA}$化簡得$2\cosA+\sinA=1$同時，由于$A,B,C$是銳角三角形的三個內(nèi)角，所以$00$，$\sinA>0$將$2\cosA+\sinA=1$兩邊平方得$4\cos^2A+4\cosA\sinA+\sin^2A=1$再利用$\cos^2A+\sin^2A=1$化簡得$3\cos^2A+4\cosA\sinA=0$兩邊除以$\cos^2A$得$3+4\tanA=0$，即$\tanA=-\frac{3}{4}$由于$00$，$\sinA<0$因此$A$的大小為$\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)$2）$y=2\sin^2B+\cos(60-2B)=1-\cos(2B)+\frac{1}{2}\cos2B=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos2B-\frac{1}{2}\cos^2B$令$f(B)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos2B-\frac{1}{2}\cos^2B$，則$y=f(B)$f'(B)=\sin2B+\cosB\sinB=\sinB(2+\cosB)$，$f''(B)=2\cosB-\sin^2B\geq0$因此$f(B)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上單調(diào)遞增，最大值為$f(\frac{\pi}{2})=\frac{5}{2}$當(dāng)且僅當(dāng)$\cosB=1$時取到最大值，即$B=0$，$C=120^\circ$因此$y$的最大值為$\frac{5}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$B=0$，$C=120^\circ$時取到。sin2B-cos2B+1=sin(2B-π)+1，當(dāng)2B-π=π時，即B=3π/2.小結(jié)：三角函數(shù)與向量之間有密切聯(lián)系，解題時要時刻注意。例6：設(shè)關(guān)于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α、β。1)求α的取值范圍；2)求tan(α+β)的值。解：(1)因為sinx+3cosx=2(3sin(x+π/6))，所以方程化為sin(x+π/6)=-1/3.又因為sin(x+π/2)≠±1（當(dāng)?shù)扔诤汀?時僅有一解），所以|sin(x+π/6)|<1，即|a|<2且a≠-3.因此，a的取值范圍是(-2,-3)∪(-3,2)。2)因為α、β是方程的兩個不同的解，所以sinα+3cosα+a=0，sinβ+3cosβ+a=0.將兩式相減得(sinα-sinβ)+3(cosα-cosβ)=0，即2sin(α-β)/2cos(α+β)/2-3sin(α+β)/2=0.因為sin(α+β)/2≠0，所以tan(α+β)/2=3/2，從而tan(α+β)=3.小結(jié)：要注意三角函數(shù)實根個數(shù)與普通方程的區(qū)別，這里不能忘記(0,2π)這一條件。例7：已知函數(shù)f(x)=m-2sinx/cosx在區(qū)間[0,π/2]上單調(diào)遞減，試求實數(shù)m的取值范圍。解：由已知條件得m-2sinx1/cosx1>m-2sinx2/cosx2，即cosx2-cosx1>2sin(x1-x2)。因為0≤x1<x2≤π/2，所以cosx2-cosx1<1，所以2sin(x1-x2)<1，即x2-x1<π/6.因此，m<2sin(π/6)/cos(π/2)=2/√3，即m的取值范圍為(-∞,2/√3)。1.已知方程$ax^2+bx+c=0$的兩個根為$\alpha$和$\beta$，則有$a=\frac{1}{\alpha\beta}。b=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}。c=\frac{\alpha\beta}{\alpha\beta}$。2.設(shè)$a=\sin56°-\cos56°。b=\cos50°\cos128°+\cos40°\cos38°。c=\frac{2221+\tan40°30'}{1-tan40°30'}。d=\cos80°-2\cos250°+1$，則有$d>b>a>d$。3.函數(shù)$y=\sin2x+\frac{1}{3}\sin3x$，$x\in\mathbb{R}$的值域為$[-\frac{4}{3},\frac{4}{3}]$。4.設(shè)$f(x)=\sin(\frac{\pi}{4}-x)-2\cos2x+1$，則$f(x)$的最小正周期為$\frac{\pi}{2}$。5.已知向量$\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\vec=(\cos\beta,\sin\beta)$，$|\vec{a}-\vec|=\sqrt{2}$，則有$\cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}$，$\sin\alpha=\frac{7}{25}$。6.已知$\sin(\pi-x-y)=\frac{1}{2}$，$\cosx+\cosy=\frac{1}{2}$，則有$\cos(\frac{x-y}{2})=\frac{1}{4}$。7.若$\alpha$為第二象限的角，$\tan\alpha=-\frac{3}{4}$，且$\sin\alpha<\cos\alpha$，則有$\cos\alpha=\frac{4}{5}$。8.已知$\sin(\frac{\pi}{5}-x)=\frac{1}{3}$，$0<x<\frac{\pi}{5}$，求$\cos2x+\cos(\frac{\pi}{5}+x)$的值。答案為$\frac{1}{3}$。9.已知$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$AB=2$，$AC=3$，則有$BC=\sqrt{7}$，$\sinB=\frac{\sqrt{21}}{6}$，$\cosC=\frac{1}{2}$，$\tanA=\sqrt{3}$。10.若$\sinx+\cosx=\frac{4}{5}$，則有$\sin2x=\frac{24}{25}$，$\cos2x=\frac{7}{25}$。11.已知$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleA=20^\circ$，則有$\angleB=80^\circ$，$\angleC=80^\circ$，$\sinB=2\sin10^\circ\cos10^\circ$，$\cosC=2\cos^210^\circ-1$。12.若$a,b,c$是正實數(shù)，且滿足$a+b+c=1$，則有$\frac{a}{b+c+bc}+\frac{c+a+ca}+\frac{c}{a+b+ab}\geq\frac{3}{4}$。13.若$a,b,c$是正實數(shù)，且滿足$a^2+b^2+c^2=1$，則有$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq\frac{1}{8}$。14.若$a,b,c$是正實數(shù)，且滿足$a+b+c=3$，則有$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq1$。sinβ=sin[α-(α-β)]=sinα·cos(α-β)-cosα·sin(α-β)=sinα·cosα-cosα·sinα=0，∴β=0.btanα+tan(-α)=-b/a，∴XXX(α-(-α))=1，∴tanα·tan(-α)=-1，∴-b/a=1-tanα·tan(-α)，∴b=a-c，∴c=a+b.a=sin(56°-45°)=sin11°，b=-sin40°cos52°+cos40°sin52°=sin(52°-40°)=sin12°，c=1-tan(240°30′)/(4a)=cos81°=sin9°，d=(2cos240°-2sin240°)=cos80°=sin10°，∴b>a>d>c.y=sin2x+sin2x=sin2x-XXX，∴選擇C.由(1+3tanα)(1+3tanβ)=4，可得tan(α+β)=3，又α+β∈(0，π)，∴α+β=arctan(3/(1-3tanαtanβ)).XXX是第二象限的角，∴可能在第一或第三象限，又sin<cos，∴為第三象限的角，∴cosα<0，∵tanα=-5/2，∴cosα=-2/√29，∴cosα<0.XXXα,β∈(0,π)，cosα=-3/5，cosβ=-7/25，∴sinα=4/5，sinβ=24/25，∴tan2β=-24/7，∴tanα=-12/5，∴α∈(π/2,π)，∴α+2β∈(3π/2.5π/2)，又tanα=-12/5，tanβ=-24/7，∴XXX(α+2β)=-1，∴α+2β=2π-π/4=7π/4.1)f(x)=sinx-cosx，∴f(x+T)=sin(x+T)-cos(x+T)=sinx·cosT+cosx·sinT-cosx·cosT+sinx·sinT=sin(x+T)-cos(x+T)-cosT(sin(x+T)+cos(x+T))=f(x)-cosT(f(x))，∴f(x+T)=f(x)-cosT(f(x))，∴當(dāng)cosT=-1時，f(x