2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2023年湘潭市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題卷

考試時量：120分鐘滿分：120分

考生注意：

本試卷分試題卷和答題卡兩部分，全卷共四道大題，26道小題.請考生將解答過程全部填

（涂）寫在答題卡上，寫在試題卷上無效，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的4個選項中，只有

一項符合題目要求，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）

1.中國的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而月.寓意深刻，觀察下列漢字，其中是軸對稱圖形的是

（）

A.愛B.我C.中D.華

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：將選項A,B,D中的漢字沿某直線折疊后不能與本身重合，所以不符合題意；

將圖C中的漢字沿過中心的豎直方向的直線折疊直線兩旁的部分能夠重合，所以符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵.即將一個圖形沿某直線折疊，直線

兩旁的部分能夠重合，這樣的圖形是軸對稱圖形.

2.若代數(shù)式GT在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是（）

A.x<lB.x<lC.x>lD.x>l

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【詳解】解：由題意得，X一底0,

解得X>1.

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握要使二次根式有意義，其被開方數(shù)應(yīng)為

非負(fù)數(shù).

3.下列計算正確的是（）

A.as-i-a~=a4B.a+a~=a3C.(a?)=/D.a2a3=?5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)累的乘法，同底數(shù)暴的除法，累的乘方，合并同類項，逐項分析判斷即可求解.

26

【詳解】解：A.a^a=a,故該選項不正確，不符合題意；

B.a+a2^a3,故該選項不正確，不符合題意；

C.(?2)3=a6,故該選項不正確，不符合題意；

D.〃.片=05,故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了同底數(shù)昂的乘法，同底數(shù)幕的除法，幕的乘方，合并同類項，熟練掌握以上運算法則

是解題的關(guān)鍵.

4.某校組織青年教師教學(xué)競賽活動，包含教學(xué)設(shè)計和現(xiàn)場教學(xué)展示兩個方面.其中教學(xué)設(shè)計占20%,現(xiàn)

場展示占80%.某參賽教師的教學(xué)設(shè)計90分，現(xiàn)場展示95分，則她的最后得分為()

A.95分B.94分C.92.5分D.91分

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行計算即可求解.

【詳解】解：依題意，她的最后得分為90x20%+95x80%=94分，

故選：B.

【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，菱形A8CP中，連接AC,BD,若Nl=20°,則N2的度數(shù)為()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得5。_14。,48〃。。，則/1=a48,/4。。+/2=90。，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???四邊形A8CO是菱形

BD±AC,AB//CD,

：.Zl=ZACD,ZACD+N2=90°,

Nl=20。，

/./2=90°-20°=70。，

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

k

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A是反比例函數(shù)y=-（AxO）圖像上一點，過點A分

別作AM_Lx軸于點M,AN_Ly軸于直N,若四邊形AMON的面積為2.則上的值是（）

【答案】A

【解析】

【分析】證明四邊形ANQW是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)的％值的幾何意義，即可解答.

【詳解】解：AM_Lx軸于點M,ANJ.y軸于直N,NMON=90°,

.??四邊形AMQV是矩形，

四邊形4WQV的面積為2,

.?胴=2,

反比例函數(shù)在第一、三象限，

:.k=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了矩形的判定，反比例函數(shù)的％值的幾何意義，熟知在一個反比例函數(shù)圖像上任取一

點，過點分別作X軸，），軸的垂線段，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為網(wǎng)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，圓錐底面圓的半徑為4,則這個圓錐的側(cè)面展開圖中A4的長為（

A.4兀B.6兀C.8兀D.16兀

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)底面周長等于AA，即可求解?

【詳解】解：依題意，4V=27IX4=8TI,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的弧長，熟練掌握圓錐底面周長等于AA是解題的關(guān)鍵.

8.某校組織九年級學(xué)生赴韶山開展研學(xué)活動，已知學(xué)校離韶山50千米，師生乘大巴車前往，某老師因有

事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的1.2倍前往，結(jié)果同時到達(dá).設(shè)大巴車的平均速度為

x千米/時，則可列方程為（）

5050150°50505050150

A.—=-------1—B.—+10=C.—+10D.-----1—=

x1.2%6x1.2%尤1.2%x61.2%

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則老師自駕小車的平均速度為1.2x千米/時，根據(jù)時間的等量

關(guān)系列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則老師自駕小車的平均速度為L2x千米/時,

根據(jù)題意列方程為：—=----1—,

x1.2尤6

故答案為：A.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的4個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將正確答案的選

項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）

9.下列選項中正確的是（）

A.8°=1B.|-8|=8C.-（-8）=8D.&=±20

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)零次幕可判斷A,根據(jù)絕對值的意義可判斷B,化簡多重符號可判斷C,根據(jù)二次根式的性質(zhì)

可判斷D,從而可得答案.

【詳解】解：8°=1，故A符合題意，

卜8|=8,故B符合題意;

-（-8）=8,故C符合題意;

囪=2女，故D不符合題意;

故選ABC

【點睛】本題考查的是零次哥的含義，絕對值的含義，化簡多重符號，二次根式的性質(zhì)，熟記運算法則是

解本題的關(guān)鍵.

10.2023年湘潭中考體育考查了投擲實心球的項目，為了解某校九年級男生投擲實心球水平.隨機(jī)抽取了

若干名男生的成績（單位：米），列出了如下所示的頻數(shù)分布表并繪制了扇形圖:

類別ABcDE

成績6<x<77<x<88<x<99<x<1010<JC<11

頻數(shù)2625125

則下列說法正確的是（）

A.樣本容量為50B.成績在9<x<10米的人數(shù)最多

C.扇形圖中C類對應(yīng)的圓心角為180°D.成績在7Kx<8米的頻率為0.1

【答案】AC

【解析】

【分析】結(jié)合扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表格，對選項逐一判斷，即可解答.

【詳解】解：樣本容量為2+6+25+12+5=50,故A正確；

根據(jù)統(tǒng)計表，可得成績在84x<9米的人數(shù)最多，故B錯誤；

25

扇形圖中C類對應(yīng)的圓心角為否*360°=180°,故C正確；

根據(jù)統(tǒng)計表，可得成績在7Kx<8米的頻率為6?50=0.12,故D錯誤，

故選：AC.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表的結(jié)合，能通過統(tǒng)計表格準(zhǔn)確地得到所需數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，AC是。的直徑，CD為弦,過點A的切線與CO延長線相交于點8,若AB=AC,則下

列說法正確的是（）

A.ADJ.BCB.NC4B=9（）。C.DB=ABD.AD^-BC

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)AC是：。的直徑，可得根據(jù)48是（。的切線，可得ACL45,根據(jù)

AB^AC,可得一ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而可得=即可判斷A,B,D選項，根據(jù)

453是直角三角形，A3是斜邊，則即可判斷C選項.

【詳解】解：是。的直徑，

AAD1BC,故A選項正確，

：A8是「。的切線，

ACLAB,

：.ZCAB=90°,故B選項正確，

*?,AB^AC

???△ABC是等腰直角三角形，

ADJ.BC,

CD=DB，

AD=—BC,故D選項正確

2

：,4）8是直角三角形，AB是斜邊，則A6>DB，故C選項錯誤，

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直徑所對的圓周角是

直角，切線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，拋物線了=必2+笈+。與x軸交于點（3,0）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a>QB.c>0C.b1-4ac<0D.9a+3b+c-0

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)圖象的開口方向可判斷選項A；根據(jù)圖象與），軸的交點位置，可判斷選項B；根據(jù)拋物線和

x軸的交點個數(shù)可判斷選項C；x=3時函數(shù)值的情況，可判斷選項D.

【詳解】解：A、由函數(shù)圖象得，拋物線開口向下，故。<0,故A錯誤；

B、圖象與y軸的交點在原點上方，故c>0,故B正確；

C、因為拋物線和x軸有兩個交點，故4ac>0,故C錯誤.

D、當(dāng)x=3時，y=9a+3b+c=0,故D正確；

故選：BD.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、以及二

次函數(shù)的圖象的特點.

三、填空題（本題共4個小題，每小題3分，共12分.請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上）

13.數(shù)軸上到原點的距離小于后的點所表示的整數(shù)有.（寫出一個即可）

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系，得出所求數(shù)的絕對值小于石，且為整數(shù)，再利用無理數(shù)的估算即

可求解.

【詳解】解：設(shè)所求數(shù)為“，由于在數(shù)軸上到原點的距離小于君，則同＜6,且為整數(shù)，

則-石＜。＜5

??,"＜6＜血，即2〈石＜3，

二〃可以是±2或±1或0.

故答案為：2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算，掌握數(shù)軸上的點到原點距離的意義是解題的關(guān)鍵.

14.已知實數(shù)小6滿足（0-2）2+|。+1|=0,則。"=.

【答案】

【解析】

【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a—2=0且8+1=0,求解a,6的值，再代入計算即可.

【詳解】解：：（a—2）2+M+l|=0,

:.a—2=0且/?+1=0,

解得：a=2,。=-1；

故答案為：

【點睛】本題考查的是絕對值的非負(fù)性，偶次方的非負(fù)性的應(yīng)用，負(fù)整數(shù)指數(shù)累的含義，理解非負(fù)數(shù)的性

質(zhì)，熟記零次幕的含義是解本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以小于AC長為半徑作

弧，分別交于點N；②分別以M,N為圓心，以大于」MN的長為半徑作弧，在/區(qū)4c

2

內(nèi)兩弧交于點。；③作射線A。，交于點。.若點。到A6的距離為1,則CO的長為.

B

N

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)作圖可得AO為NC4B的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點。作。石工AB于點E,依題意。石=1,

根據(jù)作圖可知AO為NC4B的角平分線,

DC±AC,DE±AB

：.CD=DE=\,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

16.七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板

（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成.則圖中陰影部分的面積為

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點，求得0E的長，即可求解.

依題意，or>=業(yè)AO=20,OE=-OD=y[2

22

圖中陰影部分的面積為OS?=(V2)2=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

四、解答題(本大題共10個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.請將解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上)

7%-14<0@

17.解不等式組：”小，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

2(x+3)>x+4②

-3-2-10123

【答案】不等式組的解集為：-2<xW2.畫圖見解析

【解析】

【分析】先解不等式組中的兩個不等式，再在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集，從而可得答案.

7x-14<0?

【詳解】解:

2（x+3）>x+4②

由①得：x<2,

由②得：2x+6>x+4,

**?x>—2，

在數(shù)軸上表示其解集如下:

----1?----1-----1?--->

-3-2-10123

不等式組的解集為：—2<xM2.

【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，掌握不等式組的解法與

步驟是解本題的關(guān)鍵.

18.先化簡，再求值：(1+二其中X=6.

[x+l)x-9

x

【答案】-2

x-3

【解析】

【分析】先將括號部分通分相加，相乘時，將兩個分式的分子和分母因式分解，進(jìn)行化簡，最后代入求值即

可.

x'+X

【詳解】解：1+

77TX2-9

_x+3x(x+l)

x+1(x+3)(x-3)

x

—，

x—3

當(dāng)x=6時，原式=2.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練將分式化簡是解題的關(guān)鍵.

19.在中，ABAC=90°,A￡>是斜邊BC上的高.

(2)若A3=6,5C=10,求80的長.

1O

【答案】(1)見解析⑵BD溶

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形高的定義得出NADB=90。，根據(jù)等角的余角相等，得出N3A￡>=NC,結(jié)合公

共角NB=NB，即可得證；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

證明：???/fiAC=90。，A。是斜邊8c上的高.

：.ZADB=90°,ZB+ZC=90°

NB+NBAD=90°,

/BAD=/C

又,：ZB^ZB

：.^ABD^/XCBA,

【小問2詳解】

/\ABD^/\CBA

.ABBD

??--一--，

CBAB

又AB=6,fiC=10

.AB23618

CB105

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

20.為落實“雙減”政策要求，豐富學(xué)生課余生活，某校七年級根據(jù)學(xué)生需求，組建了四個社團(tuán)供學(xué)生選

擇：A（合唱社團(tuán)）、B（硬筆書法社團(tuán)）、C（街舞社團(tuán)）、D（面點社團(tuán)）.學(xué)生從中任意選擇兩個社團(tuán)參

力口活動.

（1）小明對這4個社團(tuán)都很感興趣，如果他隨機(jī)選擇兩個社團(tuán)，請列舉出所有的可能結(jié)果；

（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團(tuán)C（街舞社團(tuán)），第二個社團(tuán)他倆決定隨機(jī)選擇，請用列

表法或樹狀圖求他倆選到相同社團(tuán)的概率.

【答案】（1）AB,AC,AD,BC,BD,CD

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列舉出所有可能結(jié)果；

（2）根據(jù)列表法求概率即可求解.

【小問1詳解】

解：依題意，他隨機(jī)選擇兩個社團(tuán)，所有的可能結(jié)果為

【小問2詳解】

解：列表如下，

ABD

AA4ABAD

BBABBBD

DDADBDD

共有9種等可能結(jié)果，其中符合題意的有3種,

31

他倆選到相同社團(tuán)的概率為x-

93

【點睛】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用列表法求概率.解題時要注意此題是放回試驗還是不放回

試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，勞動課成為中小學(xué)的一門獨立課程，湘潭市

中小學(xué)已經(jīng)將勞動教育融入學(xué)生的日常學(xué)習(xí)和生活中某校倡導(dǎo)同學(xué)們從幫助父母做一些力所能及的家務(wù)做

起，培養(yǎng)勞動意識，提高勞動技能.小明隨機(jī)調(diào)查了該校10名學(xué)生某周在家做家務(wù)的總時間，并對數(shù)據(jù)

進(jìn)行統(tǒng)計分析，過程如下：

收集數(shù)據(jù)：在家做家務(wù)時間：（單位：小時）

1541a32634

整理數(shù)據(jù):

時間段0<x<33Wx<66<x<9

人數(shù)36m

分析數(shù)據(jù):

統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

數(shù)據(jù)3.43.54

°369時間（小時）

請結(jié)合以上信息回答下列問題：

（1）m=,并補全頻數(shù)直方圖；

（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計完成后，小明發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)不小心丟失了.請根據(jù)圖表信息找回這兩個數(shù)據(jù).若a<b,

則a-,h=；

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請估計該校2000名學(xué)生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù).

【答案】（1）1;頻數(shù)直方圖見解析

（2）4；7（3）1400人

【解析】

【分析】（1）用被調(diào)查的總?cè)藬?shù)減去其余兩個時間段的人數(shù)，補全頻數(shù)直方圖即可；

（2）通過（1）可得在家做家務(wù)時間段為6Wx<9有1人，故626,則3Wa<6,利用眾數(shù)為4,可知a=4,

再利用平均數(shù)求得Z?即可：

(3)用2000乘調(diào)查的學(xué)生中勞動時間不少于3小時的人數(shù)的占比，即可解答.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，可得，〃=10-3-6=1,

故答案為：1,

小問2詳解】

解：在家做家務(wù)時間段為6Wx<9有1人，且

：.b>6>

觀察數(shù)據(jù)，可得在家做家務(wù)時間段為3Wx<6的是3,3,4,4,5,有5人，比表格中的數(shù)據(jù)少一人，故

3<a<6,

眾數(shù)為4,在已知數(shù)據(jù)中在家做家務(wù)時間為4和3的各有2人,

a=4,

根據(jù)平均數(shù)，可得方程(1+5+4+1+4+3+2+人+3+4)+10=3.4,

解得匕=7,

故答案為：4；7；

【小問3詳解】

解：2000x2=1400(人)，

10

答：該校2000名學(xué)生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù)約為1400人.

【點睛】本題考查了頻數(shù)直方圖，平均數(shù)的概念，眾數(shù)的概念，用樣本估計總量，熟知上述概念是解題的

關(guān)鍵.

22.我國航天事業(yè)發(fā)展迅速，2023年5月30日9時31分，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，某玩具店抓住

商機(jī)，先購進(jìn)了1000件相關(guān)航天模型玩具進(jìn)行試銷，進(jìn)價為50元/件.

(1)設(shè)每件玩具售價為X元，全部售完的利潤為y元.求利潤y(元)關(guān)于售價X(元/件)的函數(shù)表達(dá)

式；

（2）當(dāng)售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進(jìn)一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批

玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費恰好10000元，請問

該商店繼續(xù)購進(jìn)了多少件航天模型玩具？

【答案】（1）y=1000%-50000；

（2）該商店繼續(xù)購進(jìn)了400（）件航天模型玩具.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)總利潤=單件利潤x銷售量，可求得利潤y（元）關(guān)于售價x（元/件）的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)商店繼續(xù)購進(jìn)了機(jī)件航天模型玩具，根據(jù)“銷售利潤的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之

即可.

【小問1詳解】

解：因每件玩具售價為x元，

依題意得>=1000（x-50）=1000x-50000；

【小問2詳解】

解：設(shè)商店繼續(xù)購進(jìn)了，〃件航天模型玩具，則總共有（m+HXX））件航天模型玩具，

依題意得：（加+1000）（60—50）x20%=l（X）00,

解得〃?=4000,

答：該商店繼續(xù)購進(jìn)了400（）件航天模型玩具.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此

列出方程或函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，點4的坐標(biāo)是（一3,0）,點B的坐標(biāo)是（0,4）,點C為08中點，將二ABC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)

90°得至iJAA'BC'.

k

（1）反比例函數(shù)y=—的圖像經(jīng)過點C',求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）一次函數(shù)圖像經(jīng)過A、A兩點，求該一次函數(shù)的表達(dá)式.

Q

【答案】U)y=?

x

13

(2)y=—x+—

-77

【解析】

【分析】（1）由點8坐標(biāo)是（0,4）,點C為0B中點，可得C（0,2）,OC=BC=2,由旋轉(zhuǎn)可得:

BC'=BC=2,ZCBC'=90°,可得C'（2,4）,可得k=2X4=8,從而可得答案；

（2）如圖，過A作于H,則NAO3=NA'”B=90°,而NA￡A=90°,AB=AB，證明

ABg_BA'H,可得AO=BH=3,OB=A'H=4,A（4,l）,設(shè)直線A4'為y=〃吠+〃，再建立方

程組求解即可.

【小問1詳解】

解：：點8的坐標(biāo)是（0,4）,點C為。8中點，

AC（0,2）,OC=BC=2,

由旋轉(zhuǎn)可得：BC'=BC=2,NCBC'=90。,

A0（2,4）,

k=2x4=8,

o

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=一；

x

【小問2詳解】

如圖，過A'作A〃_L8C于”，

則NAQ8=NA'HB=90°,而NAB4'=90°,=

/.ZABO+NBAO=900=ZABO+ZA'BO,

：.?BAO2醐H,

:.AO=BH=3,OB=A'"=4,

...OH=4-3=1,

.，.4(4,1),

設(shè)直線44'為丁=〃a+〃，

1

m=一

-3m+n=07

解得:

4根+〃=13

n=—

7

13

直線AAr為y=~^x+〒

【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的

判定與性質(zhì)，熟練的求解A（4,1）是解本題的關(guān)鍵.

24.問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全

書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都

按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.

問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的;O.如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米.當(dāng)

，=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時NAQW=30°,經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處.（參考

數(shù)據(jù)，V2?1.414,73?1.732)

圖①

問題解決：

（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到3處時，N3QW的度數(shù)；

（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面距離.（結(jié)果精確到0.1米）

【答案】（1）Z8OM=45°；

（2）該盛水筒旋轉(zhuǎn)至8處時，它到水面的距離為0.3米.

【解析】

【分析】（1）先求得該盛水筒的運動速度，再利用周角的定義即可求解；

（2）作以于點C,在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得。。的

長，在中，利用勾股定理求得OC的長，據(jù)此即可求解.

【小問1詳解】

解：?.?旋轉(zhuǎn)一周用時120秒,

每秒旋轉(zhuǎn)3匯60°-=3。，

120

當(dāng)經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點8處時，NAO8=360°—3°x95=75°,

ZAOM=30°,

：.Z8OM=75°-30°=45°；

【小問2詳解】

解：作5C_LOM于點C,設(shè)OM與水平面交于點￡>,則QDLAD,

在RtZiQ4￡>中，ZAO￡>=30°,。4=2,

=；0A=1,OD=正-f=百,

在中，N8OC=45°,08=2,

BC=OC=—OB=y/2,

2

CO=0。-0C=6-&k0.3（米），

答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為0.3米.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，找出所求問題需要的條件.

25.問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形ABCD的邊

上任意取一點G,以BG為邊長向外作正方形B￡FG,將正方形8￡FG繞點8順時針旋轉(zhuǎn).

圖①圖②圖③

特例感知：

（1）當(dāng)BG在BC上時，連接。R,AC相交于點P,小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為。尸的中點，如圖①.針對小紅

發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明;

（2）小紅繼續(xù)連接EG,并延長與。E相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是。E中點P,如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)

論，請判斷VA尸石的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

（3）如圖③，將正方形跳尸G繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a,連接。E，點P是。尸中點，連接小，EP，

AE，VAPE的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）VAFE是等腰直角三角形，理由見解析；（3）VAPE的形狀不改變，見解析

【解析】

【分析】（1）連接BD，BF，BP，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出ZDBF=90°,證明△APZ運△APB,推出

BP=DP,再利用余角的性質(zhì)求出NQ如=/不力，推出尸8=即可；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)直接得到NC4石=/P￡4=45°,推出AP=EP,NAPE=90°,得到VA尸E是等

腰直角三角形；

（3）延長EP至點M,使PM=EP，連接，證明MPD^EPF（SAS）,得到

DM=EF,NDMP=NPEF,推出BG〃DM,設(shè)DF交BC于點H,交BG于點N,得到

AMDN=/DNB,由AD//BC得至UZADN=NBHN,推出

ZADM=ZBHN+ABNH=180°-AHBN,進(jìn)而得到ZADM^ZABE,再證明

_ADM^ABEKAS）,得到=ZDAM=ZBAE，證得ZAPE=90°,再由NM4E=90°,

根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出NM4尸=ZR4E=45。，即可證得VA尸石是等腰直角三角形.

【詳解】（1）證明：連接60,BF，BP,如圖，

圖①

四邊形ABCD，8￡FG都是正方形，

ZCBD^45°=ZFBG,

：./DBF=90°,

.四邊形ABC。是正方形，

二ZDAC=ZBAC=45°,

又???”=”，

,APD^APB（SAS）,

二BP=DP,

ZPDB=ZPBD,

?/ZPDB+ZPFB=90°=ZPBD+ZPBF,

4PBF=4PFB,

PB=PF，

：,PD=PF,即點P恰為。尸的中點；

（2）VAPE是等腰直角三角形，理由如下：

?.?四邊形ABC。，BEFG都是正方形，

/.ZCAE=ZPEA^45°

：.AP^EP,ZAPE=90°,

,VAPE是等腰直角三角形；

（3）VAPE的形狀不改變，

延長EP至點M，使尸M=EP，連接

M

圖③

?.?點P為Ob的中點，

，PD=PF,

ZDPM=/EPF，

：.,MP*一EPF(SAS),

DM=EF,ZDMP=ZPEF,

:.BE=DM，DM//EF，

BG//DM,

設(shè)。尸交8。于點H,交BG于點N,

ZMDN=/DNB,

：AD//BC,

：.ZADN=4BHN,

???ZBHN+ABNH+ZHBN=180°,

/.ZADM=ABHN+ABNH=180?！猌HBN,

???ZABE=T8()o—/HBN,

：.ZADM=ZABE，

又：AD=AB,

：.,ADM^ABEKAS),

：.AM=AE,ZDAM=NBAE，

PM=EP，

AP±ME，即NAPE=90°,

ADAM+ZMAB=90°,

/.ABAE+ZMAB=90°，即NM4￡=90°,

ZM4P=N/V1E=45°,

；?NPEA=45。=/PAE,

'-AP=EP，

VAFE是等腰直角三角形.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的

性質(zhì)等，（3）中作輔助線利用中點構(gòu)造全等三角形是解題的難點，熟練掌握各性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)

鍵.

26.如圖，二次函數(shù)丁=/+法+。的圖象與x軸交于A,8兩點，與＞軸交于。點，其中8（1,0）,

C（0,3）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點尸，使得SA4C=SAA8C?若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由；

（3）點。是對稱軸，上一點，且點。的縱坐標(biāo)為。，當(dāng)△QAC是銳角三角形時，求。的取值范圍.

【答案】（1）y=x2-4x+3

⑵尸（2,一1）或「”"］或P廳,甲

''I22）［22J

小3+V17,3-V17

（3）——--＜。＜5或一——--.

22

【解析】

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）根據(jù)KPAC=SAABC，可得P到AC的距離等于8到AC的距離，進(jìn)而作出兩條4C的平行線，求得

解析式，聯(lián)立拋物線即可求解;

（3）根據(jù)題意，求得當(dāng)404。是直角三角形時的。的值，進(jìn)而觀察圖象，即可求解，分a>0和a<0兩

種情況討論，分別計算即可求解.

【小問1詳解】

解：將點B（1,O）,。（0,3）代入丁=/+法+以得

l+b+c=O

[c=3

7?=-4

解得：（

。=3

.?.拋物線解析式為y=f—4%+3；

【小問2詳解】

vy=x2-4x+3=（x-2）2-1,

頂點坐標(biāo)為（2,1）,

當(dāng)y=0時，X2-4X+3=0

解得：$=Lx?=3

/.A（3,0）,則。4=3

VC（0,3