第十五章 分式單元培優(yōu)卷（解析版）

第十五章分式單元培優(yōu)卷一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1．無(wú)論a取何值，下列分式中，總有意義的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式有意義的條件逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義．故本選項(xiàng)不合題意；B．當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義．故本選項(xiàng)不合題意；C．當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義．故本選項(xiàng)不合題意；D．因?yàn)?，所以，所以分式總有意義，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．將分式中的，的值同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則分式的值（）A．?dāng)U大為原來(lái)的倍 B．?dāng)U大為原來(lái)的倍 C．不變 D．?dāng)U大為原來(lái)的倍【答案】B【分析】將分式中的，的值同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，進(jìn)行計(jì)算后，再與原分式進(jìn)行比較得出答案．【詳解】解：將分式中的，的值同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，原分式可變?yōu)?，因此分式的值較原來(lái)擴(kuò)大了倍，故選：B．3．下列各分式中是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】最簡(jiǎn)分式是分子，分母中不含有公因式，不能再約分的分式．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無(wú)公因式．如果有互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過(guò)符號(hào)變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【詳解】解：A、，故原式不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；B、是最簡(jiǎn)分式，符合題意；C、，故原式不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；D、，故原式不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；故選B．4．如圖①，某品牌飲料的包裝箱是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，的長(zhǎng)方體紙箱，飲料瓶可近似看成底面半徑為r，高為的圓柱體．如圖②，若紙箱里裝滿了一層飲料，那么紙箱的空間利用率（聽(tīng)裝飲料總體積與紙箱體積的比）為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定聽(tīng)裝飲料的總數(shù)量，然后計(jì)算出小球的總體積和紙箱的容積，最后計(jì)算二者的比，即為所求的紙盒的空間利用率．【詳解】解：∵長(zhǎng)方體紙盒裝滿了一層底面半徑為r，高為4r的圓柱體的聽(tīng)裝飲料，∴長(zhǎng)方體的長(zhǎng)邊放置的球的數(shù)量為，長(zhǎng)方體的寬邊放置的球的數(shù)量為，∴聽(tīng)裝飲料的數(shù)量為，∴聽(tīng)裝飲料的總體積：，紙箱容積為,∴紙盒的空間利用率為．故選A．5．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】把四個(gè)選項(xiàng)分別先利用分式的乘方法則，將分子分母分別乘方，再利用冪與積的乘方法則分別進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：A、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，本選項(xiàng)正確，符合題意；D、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．6．化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（）A． B．a(chǎn) C． D．1【答案】B【分析】先計(jì)算括號(hào)里的，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法計(jì)算．【詳解】解：．故選：B．7．若分式（A、B為常數(shù)），則A、B的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】等式右邊進(jìn)行分式的減法運(yùn)算，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，則，故選：B．8．若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】先求出方程的解，再根據(jù)分式有意義的條件以及解為正數(shù)列出不等式，求出的取值范圍即可．【詳解】解：去分母得，，移項(xiàng)合并得，，∵分式方程的解是正數(shù)∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴m的取值范圍為且，故選D．9．為了強(qiáng)健體魄，小軍計(jì)劃從學(xué)校出發(fā)跑步10千米的路程，在下午3時(shí)到達(dá)文峰塔，實(shí)際速度比原計(jì)劃速度快，結(jié)果下午2時(shí)到達(dá)，求原計(jì)劃行進(jìn)的速度，設(shè)原計(jì)劃的速度為，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)原計(jì)劃的速度為，根據(jù)實(shí)際比原計(jì)劃少一小時(shí)，列出分式方程即可求解．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃的速度為，則可列方程為則可列方程為：，故選：C．10．關(guān)于x的方程的兩個(gè)解為，，的兩個(gè)解為，；的兩個(gè)解為，，則關(guān)于x的方程的兩個(gè)解為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由于可化為，由題中可得規(guī)律：方程（其中為正整數(shù)）的解為，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律即中得方程的解．【詳解】∵∴∴上述方程有解及即及所以原方程的解為，故選：D二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）11．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的個(gè)數(shù)有．【答案】3【分析】根據(jù)分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判斷，得出結(jié)果即可．【詳解】解：方程①②分母中不含未知數(shù)，故①②不是分式方程；方程③④⑤分母中含表示未知數(shù)的字母，故是分式方程；故答案為3．12．芯片正在成為需求的焦點(diǎn)，其中的米，將用科學(xué)記數(shù)法表示．【答案】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：，故答案為：．13．某顧客第一次在商店買(mǎi)若干件小商品花去4元，第二次再去買(mǎi)該小商品時(shí)，發(fā)現(xiàn)每一打（12件）降價(jià)元，購(gòu)買(mǎi)一打以上可以拆零買(mǎi)，這樣，第二次花去4元買(mǎi)同樣小商品的件數(shù)是第一次的倍．則他第一次買(mǎi)的小商品是件．【答案】20【分析】設(shè)他第一次買(mǎi)的小商品是件，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解．【詳解】設(shè)他第一次買(mǎi)的小商品是件，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意，故答案為：．14．若以x為未知數(shù)的方程無(wú)解，則.【答案】或或.【分析】首先解方程求得x的值，方程無(wú)解，即所截方程的解是方程的增根，應(yīng)等于1或2，據(jù)此即可求解a的值．【詳解】去分母得，整理得，①當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)解，此時(shí)原分式方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，原方程有增根為或.當(dāng)增根為時(shí)，，解得；當(dāng)增根為時(shí)，，解得.綜上所述，或或.三、解答題（本大題共8小題，共計(jì)58分）15．（本題滿分6分）計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算后，再進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算即可；（2）先把分式的除法變?yōu)槌朔?，?jì)算乘法后，再進(jìn)行分式減法運(yùn)算即可．【詳解】（1）；（2）16．（本題滿分6分）解方程：(1)(2)【答案】(1)無(wú)解(2)【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，檢驗(yàn)后即可得出答案；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，檢驗(yàn)后即可得出答案．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘以得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是增根，分式方程無(wú)解；（2）解：方程兩邊同乘以得：，整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是分式方程的解．17．（本題滿分6分）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：_____________（填序號(hào)）；①

②

③

④(2)將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為：_____________+________________；(3)應(yīng)用：先化簡(jiǎn)，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．【答案】(1)①③④(2)，(3)時(shí)，當(dāng)該式的值為整數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“和諧分式”的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可；（2）將分子改寫(xiě)為，根據(jù)完全平方公式和分式的運(yùn)算法則，即可化為“和諧分式”；（3）先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則，以及題目所給“和諧分式”，將原分式化簡(jiǎn)，再根據(jù)x和該分式的值為整數(shù)，得出符合條件的x的值即可．【詳解】（1）解：①，故①是“和諧分式”，符合題意；②，∵不是分式，∴②不是“和諧分式”，不符合題意；③，故③是“和諧分式”，符合題意；④，故④是“和諧分式”，符合題意；故答案為：①③④；（2）解：，故答案為：，；（3）解：，，∵原式值為整數(shù)，x為整數(shù)，∴能被2整數(shù)，且為整數(shù)，∴，解得：，∵，∴，∴，∴時(shí)，當(dāng)該式的值為整數(shù)．18．（本題滿分6分）端午節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗，某商場(chǎng)在端午節(jié)來(lái)臨之際用3600元購(gòu)進(jìn)兩類(lèi)粽子1000個(gè)，購(gòu)買(mǎi)粽子與購(gòu)買(mǎi)粽子的費(fèi)用相同，已知粽子的單價(jià)是粽子單價(jià)的1.5倍．(1)（列分式方程解應(yīng)用題）求兩類(lèi)粽子的單價(jià)各是多少？(2)若計(jì)劃用不超過(guò)8100元的資金再次購(gòu)買(mǎi)兩類(lèi)粽子共1900個(gè)，已知兩類(lèi)粽子的進(jìn)價(jià)不變，求粽子最多能購(gòu)進(jìn)多少個(gè)？【答案】(1)種粽子單價(jià)為4.5元/個(gè)，和粽子單價(jià)為3元/個(gè)(2)種粽子最多能購(gòu)進(jìn)1600個(gè)【分析】（1）設(shè)種粽子單價(jià)為元/個(gè)，則種粽子單價(jià)為元/個(gè)，根據(jù)“某商場(chǎng)在端午節(jié)來(lái)臨之際用3600元購(gòu)進(jìn)兩類(lèi)粽子1000個(gè)，購(gòu)買(mǎi)粽子與購(gòu)買(mǎi)粽子的費(fèi)用相同”，列出分式方程，解方程即可得到答案；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)種粽子個(gè)，則購(gòu)進(jìn)種粽子個(gè)，根據(jù)“計(jì)劃用不超過(guò)8100元的資金再次購(gòu)買(mǎi)兩類(lèi)粽子共1900個(gè)”，列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)種粽子單價(jià)為元/個(gè)，則種粽子單價(jià)為元/個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴（元），答：種粽子單價(jià)為4.5元/個(gè)，和粽子單價(jià)為3元/個(gè)；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)種粽子個(gè)，則購(gòu)進(jìn)種粽子個(gè)，依題意得：，解得：，答：種粽子最多能購(gòu)進(jìn)1600個(gè)．19．（本題滿分6分）閱讀下列解題過(guò)程：已知，求的值．解：由，知，所以，即，∴，∴的值為的倒數(shù)，即．以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數(shù)”，然后求出待求式子倒數(shù)的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）把已知等式變形求出的值，再把所求的式子變形后進(jìn)行計(jì)算即可；（2）把已知等式變形求出的值，再把所求的式子變形后進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）由，知，∴，即．∴．∴的值為2的倒數(shù)，即．（2）由，∴，即，則；20．（本題滿分8分）閱讀：對(duì)于兩個(gè)不等的非零實(shí)數(shù)a、b，若分式的值為零，則x＝a或x＝b．又因?yàn)?，所以關(guān)于x的方程xa＋b有兩個(gè)解，分別為x1＝a，x2＝b．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：（1）方程xq的兩個(gè)解分別為x1＝﹣2、x2＝3，則p＝，q＝；（2）方程x8的兩個(gè)解中較大的一個(gè)為；（3）關(guān)于x的方程2x2n＋2的兩個(gè)解分別為x1、x2（x1＜x2）．求的值．【答案】（1）﹣6，1；（2）7；（3）【分析】（1）根據(jù)題干可知，p為兩根之積，q為兩根之和，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意求出兩個(gè)解，從而可得出答案；（3）首先求出x1、x2，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由已知可得p＝（﹣2）×3＝﹣6，q＝（﹣2）＋3＝1，故答案為﹣6，1；（2）∵ab＝7，a＋b＝8，∴a＝1，b＝7或a＝7，b＝1故答案為7；（3）∵，∴，；∴2x﹣1＝n＋3或2x﹣1＝n﹣2，∴或，又∵x1＜x2，∴，，∴．21．（本題滿分10分）閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：，這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：，這樣的分式就是真分式，我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，例如：．類(lèi)似地，假分式也可以化為“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，例如：；．請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．②把下列假分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式：______＋______．(2)把分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式，并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)分式的值為整數(shù)．(3)一個(gè)三位數(shù)m，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍．另一個(gè)兩位數(shù)n，十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同．若這個(gè)三位數(shù)的平方能被這個(gè)兩位數(shù)整除，求滿足條件的兩位數(shù)n．【答案】(1)①真；②，(2)，或或或(3)36【分析】（1）①根據(jù)真分式的定義判斷即可；②根據(jù)材料中的方法變形即可得到結(jié)果；（2）原式利用材料中的方法變形，即可確定出分式的值為整數(shù)時(shí)整數(shù)的值；（3）設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，然后表示出，的表達(dá)式，再計(jì)算，然后利用材料中的方法變形，進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）解：①的分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，∴分式是真分式，故答案為：真；②，故答案為：，；（2）解：若這個(gè)分式的值為整數(shù)，則或或或，∴或或或；（3）解：設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，則個(gè)位數(shù)字為，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，為正整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，且為正整數(shù)，不可能為整數(shù)，．22．（本題滿分10分）對(duì)于兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)m、n，分式的值為零，則或，又因?yàn)椋躁P(guān)于x的方程有兩個(gè)解，分別為，．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：(1)方程有兩個(gè)解，分別為_(kāi)_______，________；(2)關(guān)于x的方程的兩個(gè)解分別為，，若