考點(diǎn)24 反比例函數(shù)的4大模型應(yīng)用-解析版

考點(diǎn)24反比例函數(shù)的4大模型應(yīng)用一定值矩形與三角形條件：P.Q為反比例函數(shù)y＝kx圖像兩點(diǎn)，PN⊥Y軸，QM⊥X結(jié)論：S△NOP＝S△OQM＝12二平行線之間的定值三角形條件：三重疊型定值矩形、定值三角形條件：四喇叭三角形條件：五中點(diǎn)模型條件：1．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的頂點(diǎn)A，D分別在函數(shù)和的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與y軸交于點(diǎn)P，由反比例函數(shù)中k的幾何意義可知從而可求出．再將代入，可求得，即．【詳解】解：如圖，設(shè)與y軸交于點(diǎn)P，

∵正方形的頂點(diǎn)A，D分別在函數(shù)和的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，∴，，∴．∴正方形的邊長(zhǎng)為3，即，∴．將代入，得，解得：，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義．掌握過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為是解題關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，邊軸，頂點(diǎn)，均落在反比例函數(shù)的圖象上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)、，若，則為（

）A．： B．： C．： D．：【答案】C【分析】連接，延長(zhǎng)交軸于，過作軸于，過作軸于，延長(zhǎng)交軸于，依據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，即可得到，進(jìn)而得出，再根據(jù)，，即可得到，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，延長(zhǎng)交軸于，過作軸于，過作軸于，延長(zhǎng)交軸于，∵頂點(diǎn)，均落在反比例函數(shù)的圖象上，∴=k，∴，∵∴，∴，∵，∴，∵OD=2AD，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)校考階段練習(xí)）點(diǎn)P，Q，R在反比例函數(shù)圖象上的位置如圖所示，分別過這三個(gè)點(diǎn)作x軸，y軸的平行線．圖中所構(gòu)成的陰影部分面積從左到右依次為，，．若，則的值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】由得到四邊形的面積，四邊形的面積，再由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可得到．【詳解】解：∵，∴四邊形的面積，四邊形的面積，∵點(diǎn)P，Q，R在反比例函數(shù)圖象上∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)關(guān)系式中k的幾何意義，即反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線得到矩形的面積是．4．（2022春·安徽合肥·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作軸的垂線．已知，則陰影部分面積為（）A．3 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：如圖所示，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)∵反比例函數(shù)∴，∵，∴陰影部分的面積∴陰影部分面積為3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A、B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，軸，交x軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C．過點(diǎn)P作軸于Q．設(shè)的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（

）

A．B． C． D．【答案】B【分析】分別判斷當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖像變化趨勢(shì)，即可作出選擇．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線的表達(dá)式為，點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，則（a是大于0的常數(shù)，），圖象為拋物線的一部分；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)的面積（），保持不變；點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)路線的總路程為l，點(diǎn)P的速度為b，則，因?yàn)閘，，b均是常數(shù)，所以S與t成一次函數(shù)關(guān)系．綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為B選項(xiàng)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)綜合和動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)確定函數(shù)的種類，從而確定其圖象．6．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，，是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，平行于軸，平行于軸，的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．易得為直角三角形，面積等于，把相關(guān)數(shù)值代入求值即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)A在反比例函數(shù)解析式上，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，∵平行于y軸，平行于x軸，∴的直角三角形，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)的意義；用到的知識(shí)點(diǎn)為：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積等于反比例函數(shù)的比例系數(shù)．7．（2023春·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限的圖象分別是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)，交于，則的面積為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y系數(shù)的幾何意義得到，，然后利用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向軸和軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．8．（2022秋·安徽亳州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，過反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖像上任意兩點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設(shè)AC與OB的交點(diǎn)為E，△AOE與梯形ECDB的面積分別為、，比較它們的大小，可得（）A．＞ B．＝ C．＜ D．大小關(guān)系不能確定【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得：，再由，，利用等式的性質(zhì)得到答案．【詳解】解：由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得：；∵，，∴，即＝．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義，即圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S|k|．9．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)固定，且始終有，當(dāng)頂點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上從上到下運(yùn)動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上移動(dòng)，則ABC的面積大小變化情況是（

）A．先減小后增大 B．先增大后減小 C．一直不變 D．先增大后不變【答案】C【分析】根據(jù)三角形ABC的面積是點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積除以2，和點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，可以解答本題．【詳解】解：∵等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且AC=BC，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，即△ABC的面積不變，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是將反比例的系數(shù)k與三角形的面積聯(lián)系在一起．10．（2017·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)M（-1，1）與反比例函數(shù)的圖像如圖所示，則二次函數(shù)的圖像大致為（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】先由反比例函數(shù)的圖象確定k的范圍，根據(jù)點(diǎn)M，確定，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：根據(jù)題意，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，所以k<0，∵M(jìn)（-1，1）不在雙曲線上，且，∴2k<0，∴拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為：直線，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，），∵，∴，在y軸的正半軸上交點(diǎn)在1的下方；觀察各選項(xiàng)，只有C符合．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．11．（2019秋·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上任意一點(diǎn)，軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，以為邊作平行四邊形，其中C、D在x軸上，則為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】設(shè)A的縱坐標(biāo)是b，則B的縱坐標(biāo)也是b，即可求得A、B的橫坐標(biāo)，則AB的長(zhǎng)度即可求得，然后利用平行四邊形的面積公式即可求解．【詳解】解：設(shè)A的縱坐標(biāo)是b，∵軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)也是b.把y=b代入得，，則，即A的橫坐標(biāo)是，把y=b代入得，，則，即B的橫坐標(biāo)是，則，則．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了是反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合題，理解A、B的縱坐標(biāo)是同一個(gè)值，表示出AB的長(zhǎng)度是解決本題關(guān)鍵．12．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)與在第一象限的圖象分別為曲線，，點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線交于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)M，作x軸的垂線交于點(diǎn)B，則的面積是（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】如圖，記軸的交點(diǎn)為：可得四邊形為矩形，設(shè)則再求解的面積即可.【詳解】解：如圖，記軸的交點(diǎn)為：四邊形為矩形，設(shè)則故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，掌握“中的的幾何意義”是解本題的關(guān)鍵.13．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上任意-點(diǎn)，軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中C，D在x軸上，則平行四邊形ABCD的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】設(shè)的縱坐標(biāo)是，則的縱坐標(biāo)也是，即可求得、的橫坐標(biāo)，則的長(zhǎng)度即可求得，然后利用平行四邊形的面積公式即可求解．【詳解】解：設(shè)的縱坐標(biāo)是，則的縱坐標(biāo)也是．把代入得，，則，即的橫坐標(biāo)是，；同理可得：的橫坐標(biāo)是：．則．則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合題，理解、的縱坐標(biāo)是同一個(gè)值，表示出的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．14．（2020秋·安徽淮南·九年級(jí)淮南市龍湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，A、B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，分別過A、B作x軸，y軸的垂線，構(gòu)成圖中三個(gè)相鄰且不重疊的小矩形S1、S2、S3，已知S2=3，則S1+S3=（

）．A．18 B．12 C．9 D．6【答案】B【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義即可求解．【詳解】解：∵A、B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)∴S1+S2=9S2+S3=9∴S1+2S2+S3=18∵S2=3∴S1+S3=12故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解性質(zhì)．15．（2019春·安徽合肥·九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為4，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為．【答案】y=﹣．【詳解】試題分析：過A點(diǎn)向x軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積是定值|k|，由此可得出答案．解：過A點(diǎn)向x軸作垂線，如圖：根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得：四邊形ABCD的面積為4，即|k|=4，又∵函數(shù)圖象在二、四象限，∴k=﹣4，即函數(shù)解析式為：y=﹣．故答案為y=﹣．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．16．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A，B是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過A，B兩點(diǎn)向軸，軸作垂線段，若，則．

【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義：過反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)作坐標(biāo)軸垂線圍成的圖形的面積等于的絕對(duì)值．17．（2023·安徽亳州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交雙曲線于點(diǎn)B，作軸于點(diǎn)C，連接，若四邊形為平行四邊形，則k的值是．【答案】【分析】延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，過B作軸，結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到答案；【詳解】解：延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，過B作軸，∵點(diǎn)A是雙曲線，軸，∴，，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵軸，軸，軸，∴，∵點(diǎn)B在上，∴，解得：，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查反比函數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形對(duì)角線將四邊形分成兩個(gè)全等的三角形得到面積．18．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在反比例函數(shù)（）的圖象上有點(diǎn)，，，，，其橫坐標(biāo)依次為2，4，6，8，10，分別過這些點(diǎn)作軸、軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，，，已知的縱坐標(biāo)為10．（1）的值為；（2）陰影部分的面積的值為；（3）陰影部分的面積，，，的和為．【答案】201016【分析】（1）把代入反比例函數(shù)解析式求解即可；（2）由，在反比例函數(shù)（）上，求得，即可求解；（3）過，，，，作軸、軸的垂線，陰影部分的面積，，，的和為，由，的坐標(biāo)求得,，即可求解．【詳解】（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，的縱坐標(biāo)為10，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，，，故答案為：20；（2）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，，的縱坐標(biāo)為5，．四邊形為矩形，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，的縱坐標(biāo)為10，，，，四邊形和四邊形為矩形，，，故答案為：10；（3）點(diǎn)，，，，其橫坐標(biāo)依次為2，4，6，8，10，分別過這些點(diǎn)作軸、軸的垂線，，，，陰影部分的面積，，，的和為．點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10，，的縱坐標(biāo)為2，，四邊形為矩形，，，．陰影部分的面積，，，的和為16，故答案為：16．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．19．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象和矩形的邊交于點(diǎn)E，且，則矩形的面積為．【答案】6【分析】設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，即可求出矩形的面積是．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)是，∵雙曲線與矩形的交于點(diǎn)E，且，∴，∴，∴矩形的面積是．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，整體代入法，熟知反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)之積為比例系數(shù)k是解題關(guān)鍵．20．（2019·安徽合肥·九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝（x＞0）上，點(diǎn)B在雙曲線y＝（x＞0）上，且AB∥x軸，BC∥y軸，點(diǎn)C在x軸上，則△ABC的面積為．【答案】1.5【分析】作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，如圖，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得S矩形AEOD＝1，S矩形BFOD＝4，于是得到S矩形AEFB＝3，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形面積公式易得S△ABC＝S△FAB＝1.5．【詳解】解：作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，如圖，∵AB∥x軸，∴S矩形AEOD＝1，S矩形BFOD＝4，∴S矩形AEFB＝4?1＝3，∴S△FAB＝1.5，∴S△ABC＝S△FAB＝1.5．故答案為1.5．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的面積，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．21．（2021·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過Rt△OAB的斜邊OA的中點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C．若點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，4)，則△BOC的面積為．【答案】3【分析】由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，4），而點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），利用待定系數(shù)法科得到k=6，然后利用k的幾何意義即可得到△BOC的面積=|k|=×6=3．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，4），而點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），把D（3，2）代入y=得k=3×2=6，∴反比例函數(shù)的解析式為y=，∴△BOC的面積=|k|=×|6|=3．故答案為3；【點(diǎn)睛】本題考查反比例y=（k≠0）數(shù)k的幾何意義：過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，則垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為|k|．22．（2015·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)的圖像上，OA=1，OC=6，則正方形ADEF的邊長(zhǎng)為.【答案】2【詳解】試題分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面積為6；再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可知k=6，∴反比例函數(shù)的解析式為；設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為a，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a+1，a），∵點(diǎn)E在雙曲線上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的邊長(zhǎng)是2.考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．23．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)