命題、定理、定義 高一上學期數(shù)學蘇教版（2019）必修第一冊

第2章常用邏輯用語2.1命題、定理、定義一、命題定義可判斷真假的陳述句叫作命題.【思考】根據(jù)命題的定義思考,命題可分為哪幾類?提示：一類是判斷為真的命題，即真命題；另一類是判斷為假的命題，即假命題.(1)如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同位角相等!(2)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是正三角形；(3)如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等；例如：(4)對頂角相等；(5)若x2＝1，則x＝1；(6)若一個三角形是直角三角形，則這個三角形的兩個銳角互余.其中語句(1)(2)(4)(6)判斷為真，語句(3)(5)判斷為假.因而它們都是命題.●觀察上述命題中的(1)(3)(5)(6)，這些命題具有怎樣的表示形式?觀察上述命題中的(1)(3)(5)6)可以發(fā)現(xiàn)，這些命題都具有“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式.命題(1)中：p

是“兩條平行直線被第三條直線所截”，q是“同位角相等”；命題(3)中：p是“兩個三角形的面積相等”，q是“這兩個三角形全等”；命題(5)中：p

是“x2＝1”，q

是“x＝1”；等等.例如：數(shù)學中，許多命題可表示為“_________________”

或“____________”的形式，其中______叫作命題的條件，________

叫作命題的結論.一般形式如果p，那么q若p，則q

pq例1指出下列命題中的條件p和結論q：(1)若ab

＝0，則a

＝0；(2)若a＜0，則a＞0；解：p：ab

＝0，q：a＝0.解：p：a＜0，q：∣a∣＞0.(3)如果二次函數(shù)y＝x2＋k

的圖象經(jīng)過坐標原點，那么k＝0；(4)如果兩個三角形的三邊分別對應相等,那么這兩個三角形全等.解：p：二次函數(shù)y＝x2＋k的圖象經(jīng)過坐標原點，q：k＝0.解：p：兩個三角形的三邊分別對應相等，q：這兩個三角形全等.例2將下列命題改寫成“若p，則q”(或“如果p，那么q”)的形式：(1)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是正三角形；解：

若一個等腰三角形有一個內(nèi)角是60°，

則這個三角形是正三角形.(2)對頂角相等；(3)平行四邊形的對角線互相平分；解：若兩個角是對頂角，則這兩個角相等.解：如果一個四邊形是平行四邊形，

那么這個四邊形的對角線互相平分.(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.解：如果一個四邊形的對角線互相平分，

那么這個四邊形是平行四邊形.例3判斷下列命題的真假：(1)若a＝b，則a2＝b2；(2)若a2＝b2，則a＝b；解：當a＝b時，顯然有a2＝b2.所以，命題為真.解：當a＝1，b＝－1時，a2＝b2＝1，即由a2＝b2，

不能推出a＝b.所以，命題為假.(3)全等三角形的面積相等；解：由全等三角形的定義可知，當兩個三角形全等時，

這兩個三角形的面積一定相等.所以，命題為真.(4)面積相等的三角形全等.解：如圖，直角三角形ABC

與等腰三角形A′BC同底等高，這兩個三角形的面積相等，但這兩個三角形不全等.所以，命題為假.二、定理的含義(1)已經(jīng)被證明為真的命題；(2)可以作為推理的依據(jù)而直接使用.三、定義的含義和特點定義對某些對象標明符號、指明稱謂，或者揭示所研究問題中對象的內(nèi)涵.例如：“兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形”.特點用已知的對象及關系來解釋、刻畫陌生的對象，并加以區(qū)別.例如：“平行四邊形”就是通過“四邊形”與兩組“對邊”分別“平行”來描述的.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題.(

)

(2)定理都是真命題.(

)(3)命題“當x∈R時，x2是正數(shù)”是真命題.(

)???命題都是陳述句.定理是已經(jīng)被證明為真的命題.當x＝0時x2＝0，故此命題是假命題.2.將命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0”改寫成“如果p，那么q”的形式：__________________________________________.

如果兩個數(shù)互為相反數(shù),那么這兩個數(shù)的和為0

①④解析：①是真命題；②是假命題，5不能被3整除；③是假命題，例如a＝－1和b＝－2時，ab是正整數(shù)，但a，b都是負整數(shù)；④是真命題.解析【解題策略】1.將命題改寫為“若p，則q”形式的方法及原則.2.命題改寫中的注意點若命題不是以“若p，則q”這種形式給出時，首先要確定這個命題的條件p

和結論q，進而再寫成“若p，則q”的形式.【跟蹤訓練】1.下列語句中，是命題的個數(shù)是 (

)

①|(zhì)x＋2|；②－5∈Z；③π?R；④{0}?N.A.1 B.2 C.3 D.4C解析：①不能判斷真假，不是命題；②③④能判斷真假，是命題.解析2.命題“平行四邊形的對角線既互相平分，也互相垂直”的結論是(

)A.這個四邊形的對角線互相平分B.這個四邊形的對角線互相垂直C.這個四邊形的對角線既互相平分，也互相垂直D.這個四邊形是平行四邊形C解析：把命題改寫成：若一個四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的對角線既互相平分，也互相垂直，由此可知C正確.解析3.將命題“末位數(shù)字是4的整數(shù)一定能被2整除”改寫成“若p，則q”的形式為：

_____________________________________________.

若一個整數(shù)的末位數(shù)字是4，則它一定能被2整除

(1)(2)(4)解析：(1)能判斷真假，是命題；(2)能判斷真假，是命題；(3)不能判斷真假，不是命題；(4)能判斷真假，是命題；(5)是疑問句，不是命題.解析5.把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假：(1)等腰三角形的兩個底角相等；命題可改寫成：若一個三角形是等腰三角形,則兩個底角相等,真命題.(2)當x＝2或x＝4時，x2－6x＋8＝0；(3)已知x，y

為正整數(shù)，當y＝x＋1時y＝3，x＝2.命題可改寫成：若x＝2或x＝4，則x2－6x＋8＝0，真命題.命題可改寫成：已知x，y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2.假命題.練習1.寫出下列命題的條件和結論：(1)如果兩個三角形相似，那么這兩個三角形的對應角相等；條件是“兩個三角形相似”，結論是“這兩個三角形的對應角相等”；(2)如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的對角相等；(3)若a，b都是偶數(shù)，則a＋b

是偶數(shù)；條件是“一個四邊形是平行四邊形”，結論是“這個四邊形的對角相等”；條件是“a，b都是偶數(shù)”，結論是“a＋b是偶數(shù)”；(4)若兩個實數(shù)的積為正數(shù)，則這兩個實數(shù)的符號相同；(5)若a＝b，則a2＝ab；條件是“兩個實數(shù)的積為正數(shù)”，結論是“這兩個實數(shù)的符號相同”；條件是“a＝b”，結論是“a2＝ab”；條件是“q

＞－1”，結論是“方程x2＋2x－q＝0有實數(shù)解”“.(6)若q≥－1，則方程x2＋2－q＝0有實數(shù)解.2.將下列命題改寫成“若p，則q”的形式：(1)絕對值相等的數(shù)也相等；(2)矩形的對角線相等；若兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)相等.若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的對角線相等.(3)角平分線上的點到角兩邊的距離相等；(4)兩角分別相等的兩個三角形相似.若一個點是角平分線上的點，則這個點到這個角兩邊的距離相等.若兩個三角形的兩個角分別相等，則這兩個三角形相似.3.判斷下列命題的真假：(1)若一個三角形中有兩個角互余，則這個三角形是直角三角形；因為三角形的兩個角互余，則另外一個角為直角，所以這個三角形是直角三角形.該命題為真命題.(2)若一個整數(shù)的個位數(shù)字是0，則這個數(shù)是5的倍數(shù)；因為一個整數(shù)的末位數(shù)字是0，所以這個數(shù)必是5的倍數(shù).故該命題為真命題.(3)等腰三角形的底角相等；(4)矩形的對角線相等.因為這個三角形為等腰三角形，所以這個三角形的底角相等.故該命題為真命題.矩形的對角線相等且互相平分，所以該命題為真命題.習題2.1感受·理解1.寫出下列命題的條件與結論：(1)如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應高相等；條件是“兩個三角形全等”，結論是“這兩個三角形對應的高相等”；(2)如果兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等，那么這兩個三角形全等；(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的四邊相等;條件是“兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等”結論是“這兩個三角形全等”；條件是“一個四邊形是菱形”，結論是“這個四邊形的四邊相等”；(4)若兩條直線被一組平行線所截，則所得的對應線段成比例.條件是“兩條直線被一組平行線所截”，結論是截得的對應線段成比例”.2.將下列命題改寫成“若p，則q”的形式：(1)平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行；(2)平行于同一條直線的兩條直線平行；在同一平面內(nèi)，若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行.若兩條直線平行于同一條直線，則這兩條直線平行.(3)兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)；(4)乘積為正數(shù)的兩個數(shù)同號；若兩個數(shù)是無理數(shù)，則這兩個數(shù)的和是無理數(shù).若兩個數(shù)的乘積為正數(shù)，則這兩個數(shù)同號.(5)兩個奇數(shù)的和是偶數(shù)；(6)矩形的四個角相等；若兩個數(shù)均為奇數(shù)，則這兩個數(shù)的和是偶數(shù).若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的四個角相等.(7)等腰三角形的兩個底角相等；(8)直徑所對的圓周角是直角.若一個三角形是等腰三角形，則它的兩個底角相等.若圓中的一個圓周角是直徑所對的圓周角，則這個圓周角是直角.思考·運用3.判斷下列命題的真假：(1)若x2＋x－2＝0，則x＝1；∵x2＋x－2＝0，∴x＝1或x＝－2，(1)是假命題.(2)若x∈A∩B，則x∈A∪B；(3)若x＞1，則x2＞1；根據(jù)集合的交、并集運算的定義，(2)真命題.∵x＞1，∴x2＞1，(3)真命題

將原點坐標代入函數(shù)的解析式，得m＝0，(4)是真命題.

(6)若a＋b＞0，則a2＋b2＞0.∵a

＋b

＞0，a