傳統(tǒng)組合導(dǎo)航中的實(shí)用Kalman濾波技術(shù)評述

傳統(tǒng)組合導(dǎo)航中的實(shí)用Kalman濾波技術(shù)評述

嚴(yán)恭敏，鄧瑀(西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，西安710072)0引言估計(jì)理論是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支，它是根據(jù)受擾動(dòng)的觀測數(shù)據(jù)來提取系統(tǒng)某些參數(shù)或狀態(tài)的一種數(shù)學(xué)方法。1795年，高斯提出了最小二乘法；1912年，費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)提出了極大似然估計(jì)法，從概率密度的角度考慮估計(jì)問題；1940年，維納提出了在頻域中設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)最優(yōu)濾波器的方法，稱為維納濾波，但它只能處理平穩(wěn)隨機(jī)過程問題且濾波器設(shè)計(jì)復(fù)雜，應(yīng)用受到很大限制；1960年，卡爾曼基于狀態(tài)方程描述提出了一種最優(yōu)遞推濾波方法，稱為Kalman濾波，它既適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也適用于非平穩(wěn)過程，一經(jīng)提出便得到了廣泛應(yīng)用。在Kalman濾波器出現(xiàn)以后，針對隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的估計(jì)理論的發(fā)展基本上都是以它的框架為基礎(chǔ)的一些擴(kuò)展和改進(jìn)[1]。Kalman濾波器最早和最成功的應(yīng)用實(shí)例便是在組合導(dǎo)航領(lǐng)域。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(InertialNavigationSystem，INS)是最重要的一種導(dǎo)航方式，它能提供姿態(tài)、方位、速度和位置，甚至還包括加速度和角速率等導(dǎo)航信息，可用于運(yùn)載體的正確操縱和控制。慣導(dǎo)具有自主性強(qiáng)、動(dòng)態(tài)性能好、導(dǎo)航信息全面且輸出頻率高等優(yōu)點(diǎn)，但其誤差隨時(shí)間不斷累積，長期精度不高。相比而言，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GlobalNavigationSatelliteSystem，GNSS)的優(yōu)點(diǎn)是精度高且誤差不隨時(shí)間增大，缺點(diǎn)是導(dǎo)航信息不夠全面、信號容易受到干擾、在室內(nèi)等環(huán)境下接收不到衛(wèi)星信號而無法使用。慣導(dǎo)和衛(wèi)導(dǎo)之間具有很強(qiáng)的互補(bǔ)性，慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合導(dǎo)航提高了系統(tǒng)整體的精度和可靠性，被公認(rèn)為是最佳的組合導(dǎo)航方案[2]。除了慣導(dǎo)和衛(wèi)導(dǎo)外，傳統(tǒng)的輔助導(dǎo)航方法有里程儀(或多普勒計(jì)程儀)、高度表和地磁方位(多用于低精度場合)，當(dāng)然還有天文導(dǎo)航、地圖/重力/地磁匹配導(dǎo)航等，但是后者不太常用或應(yīng)用領(lǐng)域相對比較狹窄。隨著機(jī)器人和自動(dòng)駕駛技術(shù)的興起，激光雷達(dá)、視覺圖像、即時(shí)定位與地圖構(gòu)建(SimultaneousLocalizationandMapping，SLAM)、因子圖(factorgraph)和人工智能(ArtificialIntelligence，AI)等導(dǎo)航手段或數(shù)據(jù)處理方法不斷涌現(xiàn)，組合導(dǎo)航和信息融合新技術(shù)的研究和發(fā)展方興未艾[3-6]。限于筆者的知識面，論文主要討論了傳統(tǒng)Kalman濾波組合導(dǎo)航算法，以慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合為例，指出實(shí)際Kalman濾波應(yīng)用中可能遇到的問題及其解決思路，希望能為工程技術(shù)人員提供一些有實(shí)用價(jià)值的參考。1Kalman濾波基本原理給定Kalman濾波隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(1)式中，Xk是n維的狀態(tài)向量；Zk是m維的量測向量；Φk/k-1、Γk-1和Hk是已知的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別稱為n階的狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣、n×l階的系統(tǒng)噪聲分配矩陣、m×n階的量測矩陣；Wk-1是l維的系統(tǒng)噪聲(或稱過程噪聲)向量，Vk是m維的量測噪聲向量，兩者都是零均值的高斯白噪聲向量序列，且它們之間互不相關(guān)，即滿足(2)式中，δkj為克羅內(nèi)克函數(shù)。式(2)是Kalman濾波狀態(tài)空間模型中對于噪聲要求的基本假設(shè)，一般要求Qk是非負(fù)定的且Rk是正定的，即有Qk≥0且Rk>0。實(shí)際上，通過選擇合適的噪聲分配陣Γk-1，可以保證Qk總是正定的[1]。經(jīng)過推導(dǎo)，標(biāo)準(zhǔn)(或稱傳統(tǒng))Kalman濾波包含5個(gè)基本公式，分別為：1)狀態(tài)一步預(yù)測(3)2)狀態(tài)一步預(yù)測均方誤差陣(4)3)濾波增益(5)4)狀態(tài)估計(jì)(6)5)狀態(tài)估計(jì)均方誤差陣Pk=(I-KkHk)Pk/k-1(7)其中，式(3)和式(4)統(tǒng)稱為時(shí)間更新，式(5)～式(7)統(tǒng)稱為量測更新；式(3)和式(6)組成濾波計(jì)算回路(一階矩計(jì)算)，式(4)、式(5)和式(7)組成增益計(jì)算回路(二階矩計(jì)算)。注意到濾波計(jì)算回路受增益計(jì)算回路的影響，而濾波計(jì)算回路不對增益計(jì)算回路產(chǎn)生任何影響。對于可觀測性較強(qiáng)的狀態(tài)分量，對應(yīng)的狀態(tài)初值和均方誤差陣設(shè)置偏差容許適當(dāng)大些，它們隨著濾波更新將會(huì)快速收斂，如果均方誤差陣設(shè)置過小，則當(dāng)初始狀態(tài)誤差較大時(shí)會(huì)使?fàn)顟B(tài)收斂速度緩慢，變?yōu)橛衅烙?jì)。而對于可觀測性較弱的狀態(tài)，對應(yīng)的狀態(tài)初值和均方誤差陣應(yīng)該設(shè)置得盡量準(zhǔn)確，如果均方誤差陣設(shè)置過大，容易引起狀態(tài)估計(jì)過程中的有偏或劇烈波動(dòng)；反之，如果均方誤差陣設(shè)置過小，同樣會(huì)使?fàn)顟B(tài)收斂速度變慢，這兩種情況下均方誤差陣計(jì)算值都不宜用于評估相應(yīng)狀態(tài)估計(jì)的精度。對于不可觀測的狀態(tài)分量，其狀態(tài)估計(jì)及其均方誤差陣不會(huì)隨濾波更新而變化，即不會(huì)有濾波效果。例如在不轉(zhuǎn)位的慣導(dǎo)Kalman濾波初始對準(zhǔn)中，等效水平加速度計(jì)隨機(jī)常值零偏(等效東向陀螺隨機(jī)常值漂移)的方差設(shè)置太大會(huì)影響水平(方位)失準(zhǔn)角的估計(jì)，因?yàn)閮烧呤窍嗷ヒ蕾嚨那彝ǔＵJ(rèn)為前者的可觀測性較弱，只有前者設(shè)置得適當(dāng)?shù)男?，后者的估?jì)精度才會(huì)比較高。2慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合導(dǎo)航系統(tǒng)建模常用的Kalman濾波是離散形式的，但在實(shí)際系統(tǒng)分析和建模時(shí)，多是以連續(xù)時(shí)間形式表示。慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合導(dǎo)航Kalman濾波的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)模型如下(8)(9)其中式(8)是一種比較常用的慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合15維狀態(tài)建模，主要考慮了慣性器件典型誤差和慣導(dǎo)導(dǎo)航參數(shù)解算誤差，且將衛(wèi)導(dǎo)測量誤差視為簡單的白噪聲，它能夠滿足大部分的實(shí)際應(yīng)用。對于海上或無需精密高度定位的場合，為了降低濾波器維數(shù)和計(jì)算量，有時(shí)可將天向通道中的加速度計(jì)隨機(jī)常值偏值、速度誤差和高度誤差簡化刪去。但是，對于捷聯(lián)慣導(dǎo)而言，如果導(dǎo)航運(yùn)行過程中俯仰或橫滾角機(jī)動(dòng)變化較大，此時(shí)載體坐標(biāo)系中的3個(gè)加速度計(jì)隨機(jī)常值偏值容易從天向通道中辨識出來，高度通道不宜再作簡化處理。對于慣導(dǎo)而言，組合導(dǎo)航的主要目的在于通過速度或位置量測估計(jì)出失準(zhǔn)角甚至慣性器件誤差，提高慣導(dǎo)系統(tǒng)精度。在實(shí)際應(yīng)用中，速度量測和位置量測之間是存在一定程度的信息冗余的。在高精度慣導(dǎo)中，失準(zhǔn)角和慣性器件誤差都比較小且穩(wěn)定，需要較長時(shí)間才能估計(jì)出這些誤差，通常有位置量測就可以，而不需要速度量測。在低精度慣導(dǎo)中，失準(zhǔn)角和慣性器件誤差都相對較大且不穩(wěn)定，需要通過速度量測才能更快速地估計(jì)出這些誤差，如果僅用位置量測則往往不能起到很好的誤差抑制效果，除非實(shí)際位置測量噪聲非常小。不同導(dǎo)航系統(tǒng)之間進(jìn)行測量參數(shù)或?qū)Ш絽?shù)比對組合，往往都得考慮兩者之間的時(shí)空不同步差異問題，即桿臂誤差和時(shí)間不同步誤差。根據(jù)實(shí)際情況，考慮是否將這些誤差量增廣列作Kalman濾波狀態(tài)。對于慣導(dǎo)與衛(wèi)導(dǎo)之間的桿臂誤差，建議事先進(jìn)行準(zhǔn)確測定，再作為已知參數(shù)設(shè)定并補(bǔ)償，這樣有利于降低濾波器維數(shù)。除非在某些特定的高精度應(yīng)用場合，如機(jī)載定位定向系統(tǒng)(PositionandOrientationSystem,POS)中，衛(wèi)導(dǎo)天線安裝在飛機(jī)蒙皮上方，慣導(dǎo)安裝在機(jī)腹儀器倉內(nèi)，難以準(zhǔn)確測量出兩者的相對位置，此時(shí)需將不能準(zhǔn)確測定的桿臂誤差列為狀態(tài)。一般情況下，慣導(dǎo)精度等級越低或載體轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)動(dòng)性越差，將越難通過濾波方法估計(jì)出桿臂誤差，因而在低精度慣導(dǎo)中應(yīng)當(dāng)盡量事先給出準(zhǔn)確的桿臂參數(shù)。接下來分析時(shí)間不同步問題。通常導(dǎo)航計(jì)算機(jī)接收到慣性器件信號的延遲較少，而衛(wèi)星信號從采集到定位解算再到傳輸給導(dǎo)航計(jì)算機(jī)，可能存在幾十甚至一、二百毫秒的延遲，有些衛(wèi)導(dǎo)系統(tǒng)延遲時(shí)間還不固定，這對高速飛行器的組合導(dǎo)航系統(tǒng)而言是十分不利的。有些情況下，時(shí)間延遲波動(dòng)帶來的誤差遠(yuǎn)大于衛(wèi)導(dǎo)本身的定位誤差，例如飛機(jī)速度200m/s，延遲150ms將會(huì)引起30m的時(shí)間不同步定位誤差，而衛(wèi)導(dǎo)定位誤差一般小于10m。如果衛(wèi)導(dǎo)相對于慣導(dǎo)時(shí)間延遲基本固定不變，則可以作為狀態(tài)進(jìn)行濾波估計(jì)，在一定量級的載體加速度機(jī)動(dòng)條件下是可觀測的。如果時(shí)間延遲參數(shù)存在波動(dòng)又難以準(zhǔn)確估計(jì)，則應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮在組合導(dǎo)航系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)上做好同步處理和補(bǔ)償，否則只能從軟件算法上等效放大衛(wèi)導(dǎo)的量測噪聲(不好處理的非白噪聲)，相當(dāng)于降低了衛(wèi)導(dǎo)的測量精度，必然會(huì)對組合導(dǎo)航系統(tǒng)造成負(fù)面影響。顯然，慣導(dǎo)的系統(tǒng)級標(biāo)定或初始精對準(zhǔn)過程均可視為一種特殊的組合導(dǎo)航算法，它們都以靜止零速為參考速度，慣導(dǎo)解算速度即為速度誤差觀測量。系統(tǒng)級標(biāo)定將慣性器件的漂移誤差、刻度系數(shù)誤差，以及器件之間的安裝誤差等待標(biāo)定參數(shù)都擴(kuò)充為濾波狀態(tài)，通過一套完整的轉(zhuǎn)動(dòng)方案充分激勵(lì)出所有誤差源的影響，借助Kalman濾波器從導(dǎo)航速度誤差量測中估計(jì)出待標(biāo)定參數(shù)。精對準(zhǔn)的主要目標(biāo)在于從導(dǎo)航速度誤差中估計(jì)出失準(zhǔn)角，有時(shí)還能夠估計(jì)獲得部分慣性器件誤差或抵消慣性器件誤差的影響，例如多位置對準(zhǔn)方法、單軸或雙軸旋轉(zhuǎn)對準(zhǔn)方法等。3連續(xù)時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)的離散化問題在導(dǎo)航計(jì)算機(jī)上運(yùn)算的Kalman濾波總是離散化形式的，針對如式(8)給出的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)，在使用Kalman濾波之前必須先進(jìn)行離散化處理。隨機(jī)系統(tǒng)離散化與確定性系統(tǒng)離散化最大的區(qū)別在于對輸入噪聲的等效處理。簡記Xk=X(tk)、Γk-1=G(tk-1)、Zk=Z(tk)和Hk=H(tk)，且記Ts為離散化間隔，對式(8)等效離散化，可近似得式(1)，其中(10)Qk-1≈q(tk-1)Ts(11)Rk≈r(tk)/Ts(12)在式(8)所示的量測模型中，v(t)為連續(xù)時(shí)間白噪聲，r(t)為其功率譜密度，理論上連續(xù)時(shí)間白噪聲的帶寬無限，只是一種理想化的建模表示，這在實(shí)際系統(tǒng)中是不可能存在的。在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)系統(tǒng)的量測方程是以離散形式直接給出的，如果在一定量測頻率范圍內(nèi)量測噪聲的方差大小基本不變，則在量測設(shè)備允許的條件下選用較高的量測頻率對提高濾波估計(jì)精度是有益的；如果系統(tǒng)狀態(tài)變化比較平緩，為了降低量測更新頻率和減少計(jì)算量，則可將相繼多次量測作平均處理，并相應(yīng)減少量測噪聲，利用平均量測進(jìn)行Kalman濾波量測更新與進(jìn)行高頻率量測更新是基本等效的。例如在以速度為量測的擾動(dòng)基座Kalman濾波初始對準(zhǔn)中，反映失準(zhǔn)角變化規(guī)律的慣導(dǎo)速度為緩變量，外界基座干擾為快變量，可利用一段時(shí)間內(nèi)(如1s)的平均速度代替瞬時(shí)速度作為量測，這樣可在減少基座干擾影響的同時(shí)降低量測更新頻率。式(12)正說明了，在r(tk)為緩變或定值的情況下，若使用較長的量測離散化間隔Ts，則需要設(shè)置較小的噪聲參數(shù)Rk。4噪聲相關(guān)條件下的建模問題在標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波中關(guān)于噪聲的基本假設(shè)滿足式(2)，如果不滿足該條件，通常稱其為噪聲相關(guān)條件下的Kalman濾波，主要包括系統(tǒng)噪聲與量測噪聲相關(guān)、系統(tǒng)噪聲為有色噪聲、量測噪聲為有色噪聲三種情形[1-2]。處理系統(tǒng)噪聲與量測噪聲相關(guān)的方法是將量測引入狀態(tài)方程，從而消除相關(guān)性。事實(shí)上，系統(tǒng)噪聲與量測噪聲相關(guān)的實(shí)際系統(tǒng)例子非常罕見，即使相關(guān)也很難準(zhǔn)確獲得它們之間的相關(guān)性矩陣，因而該種情形往往只有理論上探討的意義。對于系統(tǒng)噪聲或量測噪聲為有色噪聲的情形，通行的做法是對有色噪聲建模，將其表示為白噪聲激勵(lì)的輸出，即對有色噪聲進(jìn)行白化處理，再將有色噪聲模型列入系統(tǒng)方程，構(gòu)成增廣系統(tǒng)。由于Kalman濾波采用狀態(tài)方程描述系統(tǒng)，因而理論上只有能夠用有限維狀態(tài)方程描述的有色噪聲才能作增廣處理。實(shí)際應(yīng)用時(shí)多將有色噪聲近似成AR(p)模型(p階自回歸時(shí)間序列模型)，而且階次一般不會(huì)太高，往往取1階(至多2階)就足夠了[8]。以慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合導(dǎo)航為例，常將陀螺漂移(加速度計(jì)零偏類似)建成如下誤差模型ε=εb+εr+εw(13)式中，εb為隨機(jī)常值過程，εr為相關(guān)過程，εw為角速率白噪聲，三者分別表示陀螺漂移誤差中的不易變部分(隨機(jī)常值)、緩變部分和快變部分。如果將慣性器件中相關(guān)過程都建模成AR(1)模型，則6個(gè)慣性器件(3個(gè)軸陀螺+3個(gè)軸加速度計(jì))將增加6維狀態(tài)，如果采用AR(2)模型則需增加12維狀態(tài)，這對Kalman濾波器而言增加了很大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。從實(shí)用角度看，太復(fù)雜的慣性器件建模方法是不可取的，能大幅提高導(dǎo)航系統(tǒng)精度的結(jié)論也是不可信的[9-10]。在實(shí)際應(yīng)用中，一般以“隨機(jī)常值+白噪聲”或“AR(1)相關(guān)過程+白噪聲”建模就足夠了，前者多用于器件誤差變化時(shí)間相對于系統(tǒng)工作時(shí)間而言比較長(相對穩(wěn)定)的情形，而后者主要用于誤差變化時(shí)間相對較短的情形。對于衛(wèi)導(dǎo)量測噪聲，建模為AR(1)也足夠了，實(shí)際上衛(wèi)導(dǎo)測量序列前后之間的相關(guān)性也很小，特別在量測間隔較大時(shí)(1s量級)，完全可近似為白噪聲。同時(shí)，可將量測噪聲矩陣當(dāng)作對角陣看待，進(jìn)而使用序貫Kalman濾波進(jìn)行計(jì)算，避免了矩陣求逆運(yùn)算，濾波結(jié)果與非對角陣量測噪聲設(shè)置之間的差別不大。另外指出，在導(dǎo)航中影響導(dǎo)航精度的主要因素是慣性器件的長時(shí)間相關(guān)誤差項(xiàng)，而短相關(guān)或白噪聲的貢獻(xiàn)一般非常小，導(dǎo)航算法本身就是個(gè)積分過程，具有較強(qiáng)的高頻噪聲抑制能力。因而在導(dǎo)航算法前端應(yīng)用數(shù)字濾波、小波濾波甚至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)濾波等手段進(jìn)行去噪的做法是沒什么意義甚至不可取的，降噪作用不大，反而有可能引起系統(tǒng)帶寬變窄。前述所說的AR建模主要指的也是對相關(guān)時(shí)間較長項(xiàng)建模，而對于較短項(xiàng)完全可以忽略。5濾波快速計(jì)算問題標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波算法的計(jì)算量(主要指浮點(diǎn)乘法運(yùn)算次數(shù))與狀態(tài)維數(shù)的三次方成正比，狀態(tài)維數(shù)的增加，使得計(jì)算量呈幾何級數(shù)增長，高維系統(tǒng)的濾波對于導(dǎo)航計(jì)算機(jī)來說是一個(gè)沉重的負(fù)擔(dān)，對于單片機(jī)之類的嵌入式系統(tǒng)而言尤其如是。在運(yùn)載體機(jī)動(dòng)情況下，高精度的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)要求較高的慣性器件采樣頻率和導(dǎo)航解算頻率。同理，在組合導(dǎo)航Kalman濾波中，為了獲得高精度的慣導(dǎo)誤差狀態(tài)及其均方誤差陣的傳播，也需要較高的Kalman濾波時(shí)間更新頻率。據(jù)分析，在組合導(dǎo)航Kalman濾波中狀態(tài)均方誤差陣預(yù)測的計(jì)算量最多(而非量測更新的矩陣求逆計(jì)算)，約占70%以上。針對狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk/k-1為稀疏矩陣的特點(diǎn)，常規(guī)算法存在大量的乘零運(yùn)算操作，白白浪費(fèi)了計(jì)算量，文獻(xiàn)[11]提出了一種矩陣外積法，使得均方誤差陣預(yù)測Pk/k-1所需的乘法次數(shù)降為s2-u2(其中s和u分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中非零元素的個(gè)數(shù)和數(shù)值為1的元素個(gè)數(shù))。更進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[12]基于系統(tǒng)矩陣為稀疏矩陣、量測噪聲方差陣為對角陣且量測矩陣的非零元均為1，以及慣導(dǎo)水平通道和高度通道弱耦合的特點(diǎn)，提出了均方誤差陣預(yù)測直接展開計(jì)算，采用量測更新序貫濾波處理，以及將系統(tǒng)矩陣中次要元素強(qiáng)制置零和降維次優(yōu)濾波等措施，極大地減少了Kalman濾波的乘法計(jì)算次數(shù)。直接展開計(jì)算法不僅減少了乘法計(jì)算量，還減少了用于程序循環(huán)控制的變量計(jì)算和比較次數(shù)，最終濾波運(yùn)行速度與常規(guī)算法相比可提高1個(gè)數(shù)量級以上。當(dāng)然，直接展開計(jì)算法的缺點(diǎn)是增加了程序的代碼長度，典型的慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合算法程序約增加50k字節(jié)左右。特別地，在低精度微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-MechanicalSystem，MEMS)慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合中，根據(jù)物理含義，可以明顯地知道某些系統(tǒng)狀態(tài)分量之間是幾乎無關(guān)的(例如陀螺隨機(jī)常值漂移與桿臂誤差之間)或弱相關(guān)的(例如失準(zhǔn)角與位置誤差之間、陀螺隨機(jī)常值漂移與速度誤差之間)，因而可以直接將它們之間的均方誤差陣相應(yīng)元素置零，無需計(jì)算，以節(jié)約計(jì)算量并減少程序代碼。但需要注意的是，置零可能引起均方誤差陣的非正定，這需要與均方誤差陣下限設(shè)置技術(shù)結(jié)合使用，詳見第11節(jié)。實(shí)際系統(tǒng)中，捷聯(lián)慣導(dǎo)算法的更新頻率通常在100Hz以上，組合導(dǎo)航Kalman濾波的時(shí)間更新頻率建議不低于10Hz。如果在一個(gè)慣導(dǎo)算法更新周期(10ms)內(nèi)無法完成一次Kalman濾波時(shí)間更新，則可以將Kalman濾波時(shí)間更新分散成計(jì)算量大致相同的數(shù)小片(比如50小片)，每10ms僅計(jì)算其中的一部分(10小片)，這樣在5個(gè)慣導(dǎo)算法更新周期(50ms)內(nèi)便可完成一次Kalman濾波時(shí)間更新，同理也可將量測更新作同樣的分散處理。這種分散處理的計(jì)算技術(shù)稱之為時(shí)間分散Kalman濾波(Time-DistributedKalmanFiltering，TDKF)算法[13]。6平方根濾波問題平方根濾波算法主要是針對均方誤差陣更新過程設(shè)計(jì)，采用均方誤差陣Pk的平方根進(jìn)行循環(huán)更新，以減少數(shù)值表示的位數(shù)和減小計(jì)算誤差。與標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波算法相比，平方根濾波計(jì)算只需要大約一半的有效數(shù)字位數(shù)就能達(dá)到同樣的濾波精度，這在早期計(jì)算機(jī)位數(shù)不高時(shí)(單精度浮點(diǎn)甚至定點(diǎn)情形)是特別有效的。下面以捷聯(lián)慣導(dǎo)的天向失準(zhǔn)角誤差傳播方程為例來說明Kalman濾波所需的有效數(shù)字位數(shù)。天向失準(zhǔn)角誤差方程為(14)常用的平方根濾波算法有Potter平方根濾波、奇異值分解(SingularValueDecomposition，SVD)濾波、UD分解濾波和信息平方根濾波等算法[1-2]。如果導(dǎo)航計(jì)算機(jī)僅支持單精度浮點(diǎn)運(yùn)算，則需要考慮采用平方根濾波算法，并優(yōu)先推薦使用UD分解濾波算法，而其他平方根濾波算法必要性不大。目前大部分計(jì)算機(jī)都支持雙精度浮點(diǎn)運(yùn)算，此時(shí)在組合導(dǎo)航Kalman濾波應(yīng)用中則完全沒有必要再采用平方根濾波算法，因?yàn)槠椒礁鶠V波算法的計(jì)算量總是大于常規(guī)濾波算法的。另外指出，表示導(dǎo)航參數(shù)比表示導(dǎo)航誤差需要更多的有效數(shù)字位數(shù)。在慣導(dǎo)解算中，如果慣導(dǎo)速度的精度為0.001m/s，定位解算周期為T=0.01s，根據(jù)如下緯度更新公式可大致分析一下緯度表示所需的有效數(shù)字位數(shù)為Lm=Lm-1+vN,m-1T/RMh(15)式中，不妨假設(shè)前一時(shí)刻的緯度取值Lm-1=1(rad)，由vN,m-1T/RMh≈10-12(rad)可知，為了準(zhǔn)確得到當(dāng)前時(shí)刻的緯度Lm，其表示需要12位有效數(shù)字，才會(huì)使得在大數(shù)與小數(shù)相加過程中小數(shù)不會(huì)被完全湮沒。從以上計(jì)算分析過程看，適當(dāng)延長導(dǎo)航更新周期T(即降低采樣頻率)可以在一定程度上減小數(shù)字表示位數(shù)，這對平臺慣導(dǎo)系統(tǒng)而言是合適的，但對同時(shí)存在角運(yùn)動(dòng)和線運(yùn)動(dòng)的高動(dòng)態(tài)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)來說是不可行的，因?yàn)樵诮萋?lián)慣導(dǎo)解算中為補(bǔ)償不可交換誤差，動(dòng)態(tài)越大采樣率要求就越高。綜上所述，無論從慣導(dǎo)解算還是從組合濾波角度看，除非作特殊處理，應(yīng)當(dāng)在硬件上選用具備雙精度浮點(diǎn)運(yùn)算能力的導(dǎo)航計(jì)算機(jī)。7自適應(yīng)濾波與強(qiáng)跟蹤濾波問題理論上，只有在隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)都準(zhǔn)確已知的條件下，標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波才能獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。然而，實(shí)際應(yīng)用中以上兩類參數(shù)的獲取都或多或少存在一些誤差，致使Kalman濾波的精度降低，嚴(yán)重時(shí)還可能會(huì)引起濾波發(fā)散。不難理解，隨機(jī)系統(tǒng)的模型誤差往往會(huì)影響到其輸出，換言之，量測輸出中很可能隱含了關(guān)于系統(tǒng)模型(例如噪聲參數(shù))的某些信息，那么當(dāng)系統(tǒng)模型參數(shù)不夠準(zhǔn)確時(shí)就有可能根據(jù)量測輸出對部分參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)建模，這實(shí)質(zhì)上屬于系統(tǒng)辨識問題。自適應(yīng)濾波的方法很多，比較常見的一種狀態(tài)空間模型描述為(16)(17)其中，qk、rk、Qk和Rk為待自適應(yīng)辨識的噪聲參數(shù)。文獻(xiàn)[14]提出了一種自適應(yīng)濾波算法，它在進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的同時(shí)還可以通過量測輸出在線實(shí)時(shí)地估計(jì)系統(tǒng)的噪聲參數(shù)。但筆者認(rèn)為要同時(shí)對所有的噪聲參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)一般是不可能的。實(shí)際上，系統(tǒng)噪聲均值qk和量測噪聲均值rk都可以增廣等效為待估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài)，通過可觀測性分析判斷能否進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，如果不可觀，則進(jìn)行自適應(yīng)濾波處理必然是無效的。因此，自適應(yīng)濾波需要解決的主要問題是辨識系統(tǒng)噪聲方差陣Qk和量測噪聲方差陣Rk。系統(tǒng)噪聲屬于系統(tǒng)的固有特性，一般不易發(fā)生改變，即使有些變化，通常只要設(shè)置大致準(zhǔn)確即可，相差3～5倍往往也不會(huì)對濾波估計(jì)結(jié)果造成太大的影響。在實(shí)際濾波應(yīng)用中，微小的精度提高是次要的，系統(tǒng)工作的穩(wěn)定性和可靠性才是更重要的，因而一般沒必要對系統(tǒng)噪聲作自適應(yīng)處理。量測噪聲主要由外部因素引起，容易發(fā)生變化且有可能變化較大，有必要采用自適應(yīng)濾波處理，因而量測噪聲方差陣Rk自適應(yīng)濾波算法是實(shí)際中最常用的方法，其算法可表示為(18)(19)Kalman濾波的噪聲自適應(yīng)效果與隨機(jī)系統(tǒng)的可觀測性密切相關(guān)。對于可觀測性很強(qiáng)的系統(tǒng)，對部分噪聲進(jìn)行自適應(yīng)處理是有可能實(shí)現(xiàn)的；但如果系統(tǒng)可觀測性本就比較弱，還要進(jìn)行噪聲自適應(yīng)就有可能比較困難了。在慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合導(dǎo)航中，根據(jù)位置或速度量測，要濾波估計(jì)陀螺漂移，特別是高精度的方位陀螺漂移，往往需要比較長的時(shí)間才會(huì)有估計(jì)效果，因此針對陀螺噪聲的自適應(yīng)處理基本上是不可行的。強(qiáng)跟蹤濾波也可以看作是一種自適應(yīng)濾波方法，文獻(xiàn)[15]給出了強(qiáng)跟蹤濾波的理想特性：1)較強(qiáng)的關(guān)于模型參數(shù)失配的魯棒性；2)較低的關(guān)于噪聲及初值統(tǒng)計(jì)特性的敏感性；3)極強(qiáng)的關(guān)于突變狀態(tài)的跟蹤能力，并在濾波器達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)仍保持這種能力；4)適中的計(jì)算復(fù)雜性。然而筆者認(rèn)為強(qiáng)跟蹤濾波存在理想是很理想的，但現(xiàn)實(shí)是很現(xiàn)實(shí)的問題，其在線自適應(yīng)調(diào)整Kalman濾波增益使得輸出殘差序列正交的目標(biāo)是完美的，但在實(shí)際應(yīng)用中具體操作方法卻是很難實(shí)現(xiàn)的，特別對于高維數(shù)的系統(tǒng)而言。此外，在強(qiáng)跟蹤濾波中并沒有考慮量測異常的影響，如果量測出現(xiàn)異常，則迫使?fàn)顟B(tài)跟隨異常量測變化的思路是極不合適的。在強(qiáng)跟蹤濾波中，漸消因子的選取有單重和多重之分。單重漸消因子將所有量測和狀態(tài)作為整體處理，使得所有狀態(tài)總體上跟隨量測的變化，即使沒有突變的狀態(tài)也會(huì)受到不良量測的影響。多重漸消因子考慮了不同狀態(tài)之間的突變差異，分別分配以不同的比例系數(shù)，越不易變化的狀態(tài)比例系數(shù)越接近1，越易變的越大于1，但多重漸消因子依然跟隨量測的整體變化。為了更加細(xì)致地區(qū)分不同量測的影響，筆者曾提出了基于序貫濾波的多重漸消自適應(yīng)濾波方法[1]。在強(qiáng)跟蹤濾波中，若選取較少的漸消因子則求解簡單，但也存在明顯的缺陷；若漸消因子多，雖適應(yīng)性強(qiáng)，但設(shè)計(jì)復(fù)雜，特別對于高維系統(tǒng)，要設(shè)計(jì)出合適的漸消因子參數(shù)矩陣是非常困難的，這是強(qiáng)跟蹤濾波的一大弊端或不實(shí)用之處。針對強(qiáng)跟蹤濾波的有效性驗(yàn)證，研究控制方面的文獻(xiàn)選取的例子通常是比較簡單的低維系統(tǒng)，可能容易產(chǎn)生效果[16]；但對于研究組合導(dǎo)航方面的高維例子，很多論文中展示的效果是讀者難以復(fù)現(xiàn)的[17]，從而導(dǎo)致論文研究很多，實(shí)際應(yīng)用卻幾乎沒有。組合導(dǎo)航強(qiáng)跟蹤濾波性能與量測故障檢測需求之間是相互矛盾的。強(qiáng)跟蹤往往要求系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)快速跟蹤量測的變化，但量測快速變化有時(shí)是由故障引起的，雖然巨大變化的野值型故障容易被檢測并被隔離掉，但稍微偏離正常值的量測就會(huì)讓強(qiáng)跟蹤濾波與故障檢測算法無法同時(shí)滿足，過分強(qiáng)調(diào)強(qiáng)跟蹤性能必然損失故障檢測能力，有引入錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)；而過分強(qiáng)調(diào)故障檢測能力就會(huì)損失強(qiáng)跟蹤性能。在實(shí)際應(yīng)用中，總是以系統(tǒng)可靠性為首位的，狀態(tài)一般不會(huì)發(fā)生突變，例如以高精度慣導(dǎo)的陀螺漂移估計(jì)為例，陀螺漂移對系統(tǒng)的影響微小，其估計(jì)過程必然是一個(gè)漫長的累積過程，不可能在短時(shí)間的量測突變中完成狀態(tài)估計(jì)，如果因突變而產(chǎn)生錯(cuò)誤的估計(jì)反而會(huì)對系統(tǒng)造成更大的負(fù)面影響。8聯(lián)邦濾波問題標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波的計(jì)算量與狀態(tài)維數(shù)的三次方成正比，計(jì)算量因狀態(tài)維數(shù)增加而急劇變大。一個(gè)復(fù)雜的大系統(tǒng)往往包含眾多的狀態(tài)變量，但大系統(tǒng)通?？梢苑纸獬扇舾勺酉到y(tǒng)，并且在子系統(tǒng)中可能還存在一個(gè)關(guān)鍵的公共參考系統(tǒng)。例如慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)/里程儀/氣壓高度表組合導(dǎo)航系統(tǒng)就是這樣的一個(gè)典型系統(tǒng)，它以慣導(dǎo)系統(tǒng)為主要參考導(dǎo)航系統(tǒng)(假設(shè)無故障)，其他三種導(dǎo)航子系統(tǒng)在正常工作時(shí)輔助慣導(dǎo)，以提高系統(tǒng)總體導(dǎo)航精度，當(dāng)某一系統(tǒng)出現(xiàn)故障時(shí)將被監(jiān)測和隔離，以免影響系統(tǒng)的總體性能。針對這類大系統(tǒng)，可以設(shè)計(jì)一個(gè)高維的綜合濾波器，包含所有狀態(tài)變量，再進(jìn)行Kalman濾波，這一處理方式通常稱為集中式濾波；也可以采取所謂的聯(lián)邦濾波方法進(jìn)行分散降階處理，采用聯(lián)邦濾波有利于降低各子系統(tǒng)的計(jì)算量，還便于各子系統(tǒng)的故障診斷和隔離，避免有故障的子系統(tǒng)影響整個(gè)濾波器，提高總體性能。在聯(lián)邦濾波中，如果所有子濾波器的狀態(tài)均為公共狀態(tài)，則全局狀態(tài)融合精度與集中濾波器精度相同，結(jié)果均是最優(yōu)的，且最優(yōu)性與信息分配系數(shù)βi的選擇無關(guān)。但是當(dāng)某些濾波器存在私有狀態(tài)時(shí)，聯(lián)邦濾波的精度一般低于集中濾波，這時(shí)聯(lián)邦濾波是一種次優(yōu)濾波算法。圖1聯(lián)邦濾波示意圖Fig.1SchematicdiagramforfederatedKalmanfilteringCarlson在提出聯(lián)邦濾波時(shí)曾聲稱聯(lián)邦濾波器已被美國空軍的容錯(cuò)導(dǎo)航系統(tǒng)“公共卡爾曼濾波器”計(jì)劃選為基本算法[19]，但從目前組合導(dǎo)航系統(tǒng)的發(fā)展情況看，歷經(jīng)30余年實(shí)踐該算法并沒有明顯的優(yōu)勢，未獲得廣泛的實(shí)際應(yīng)用。既然聯(lián)邦濾波實(shí)際用途不大，那么針對信息分配系數(shù)的所謂最優(yōu)性研究也就沒什么意義了[20-21]。針對目前常用的車載慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)/里程儀組合導(dǎo)航系統(tǒng)，或許是工程師們沒有領(lǐng)悟到聯(lián)邦濾波的精妙之處，據(jù)筆者所知并沒有實(shí)際產(chǎn)品采用聯(lián)邦濾波方案，而一般是采用三者的兩兩組合構(gòu)成3個(gè)子組合導(dǎo)航系統(tǒng)，即慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)、航位推算/衛(wèi)導(dǎo)和慣導(dǎo)/航位推算。在衛(wèi)導(dǎo)信號有效時(shí)，慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)、航位推算/衛(wèi)導(dǎo)組合工作，濾波估計(jì)慣導(dǎo)誤差及里程儀與慣導(dǎo)之間的安裝偏差角和里程儀刻度系數(shù)誤差，以慣導(dǎo)或航位推算的輸出作為系統(tǒng)輸出，并沒必要再將2個(gè)濾波器進(jìn)行信息融合；在衛(wèi)導(dǎo)信號短時(shí)間無效時(shí)，以純慣導(dǎo)導(dǎo)航作為系統(tǒng)輸出；在衛(wèi)導(dǎo)信號較長時(shí)間無效時(shí)，慣導(dǎo)/航位推算工作，這時(shí)航位推算能夠有效抑制慣導(dǎo)誤差隨時(shí)間發(fā)散，導(dǎo)航輸出精度主要取決于航位推算精度。9非線性濾波問題標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波僅適用于線性系統(tǒng)。對非線性系統(tǒng)作濾波估計(jì)，最常用和有效的方法是先進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，略去高階項(xiàng)后近似為線性系統(tǒng)，再進(jìn)行線性Kalman濾波。這種處理方法稱為擴(kuò)展Kalman濾波(ExtendedKalmanFiltering，EKF)，或稱推廣Kalman濾波。如果對非線性系統(tǒng)作泰勒級數(shù)展開并保留二階項(xiàng)，則稱為二階Kalman濾波。不像確定性系統(tǒng)的二階泰勒展開比一階展開精度高一階，即前者誤差為O3而后者誤差為O2，二階濾波的精度并不明顯比一階EKF精度高，反而是對于高維系統(tǒng)而言，二階濾波的計(jì)算量增加了許多，因此二階濾波的性價(jià)比很低，并不實(shí)用。對于部分非線性系統(tǒng)，主要針對濾波時(shí)間更新過程，有時(shí)簡單地采用降低更新周期的辦法就能有效降低非線性的影響。EKF采用解析方法進(jìn)行一、二階矩概率統(tǒng)計(jì)特性的近似傳播，當(dāng)系統(tǒng)非線性函數(shù)的雅可比矩陣求解比較復(fù)雜時(shí)，研究者們提出了利用采樣點(diǎn)進(jìn)行概率傳播的濾波方法，例如采用確定性采樣策略的無跡Kalman濾波(UnscentedKalmanFilter,UKF)、中心差分Kalman濾波(CentralDifferenceKalmanFilter,CDKF)，以及基于隨機(jī)采樣策略的粒子濾波(ParticleFilter,PF)等[22]。對于高維系統(tǒng)而言，粒子濾波計(jì)算量巨大，目前還難以在嵌入式導(dǎo)航計(jì)算機(jī)中應(yīng)用；UKF和CDKF也鮮有實(shí)際應(yīng)用的實(shí)例報(bào)道。在研究和解決傳統(tǒng)慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合導(dǎo)航問題時(shí)，為了引出非線性濾波而評價(jià)EKF因模型非線性或模型不準(zhǔn)確會(huì)引起濾波發(fā)散，多數(shù)是存在夸張成分，或者沒用好基礎(chǔ)的EKF。慣導(dǎo)系統(tǒng)的姿態(tài)(可用歐拉角、四元數(shù)或姿態(tài)陣表示)、速度和位置等導(dǎo)航參數(shù)滿足如下非線性微分方程組(20)(21)(22)式中，各符號含義詳見文獻(xiàn)[1]。如果直接對上述導(dǎo)航參數(shù)狀態(tài)作組合導(dǎo)航Kalman濾波估計(jì)，則稱為直接濾波方法。直接濾波法并沒有太大的優(yōu)勢，因?yàn)閷?dǎo)航參數(shù)方程組始終是非線性的[23]。一般應(yīng)建立如式(8)所示的導(dǎo)航參數(shù)誤差方程，誤差方程具有良好的線性特性，可以直接使用線性Kalman濾波估計(jì)。相對于直接濾波而言，利用誤差方程進(jìn)行組合導(dǎo)航Kalman濾波估計(jì)的處理方法稱為間接濾波，在估計(jì)出導(dǎo)航誤差參數(shù)之后，對計(jì)算導(dǎo)航參數(shù)進(jìn)行校正便可獲得準(zhǔn)確的導(dǎo)航結(jié)果。在間接濾波中，對于慣性級慣導(dǎo)系統(tǒng)，失準(zhǔn)角通常為角分量級、速度誤差為1m/s量級、水平定位誤差為1km量級，即使是低精度慣導(dǎo)系統(tǒng)，失準(zhǔn)角誤差最大為度量級，在短時(shí)間內(nèi)(數(shù)十秒甚至幾分鐘)也可以將誤差傳播視為線性的。基于速度誤差或位置誤差量測的慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合導(dǎo)航，速度和位置誤差都容易保持為小量，且在3個(gè)失準(zhǔn)角誤差中由于天向重力的耦合作用，2個(gè)水平失準(zhǔn)角的可觀測性都很強(qiáng)，它們在很短時(shí)間內(nèi)便可獲得估計(jì)并校正使之成為小量，因而只有大方位失準(zhǔn)角的非線性建模和濾波具有一定的必要性和實(shí)用價(jià)值。當(dāng)失準(zhǔn)角較大時(shí)，采用非線性建模和濾波方法，例如UKF或CDKF，即使濾波估計(jì)是二階精確的，但三階或更高階誤差總是被忽略的，換句話說，不論采取什么樣的非線性濾波方法，雖說比線性Kalman濾波精度更高，但總是存在高階截?cái)嗾`差。特別是在大失準(zhǔn)角的情況下，如果僅僅采用輸出校正方式將難以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。對于非線性濾波應(yīng)用，為了提高估計(jì)精度，在濾波估計(jì)過程中宜采用狀態(tài)反饋校正措施，使失準(zhǔn)角逐漸減小，使誤差傳播轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性傳播。在線性模型條件下，非線性濾波方法與線性Kalman濾波相比沒有任何優(yōu)勢，反而是非線性方法的計(jì)算量通常更大。因此，在大失準(zhǔn)角情況下使用非線性濾波的主要目的在于迅速估計(jì)出粗略的失準(zhǔn)角，可以不將慣性傳感器誤差列入濾波模型以降低維數(shù)，濾波過程中當(dāng)失準(zhǔn)角降低至比較小時(shí)，從大失準(zhǔn)角非線性濾波方式轉(zhuǎn)到小失準(zhǔn)角線性Kalman濾波方式會(huì)更加有效，降低計(jì)算量的同時(shí)還能達(dá)到最優(yōu)濾波估計(jì)精度[24]。在實(shí)際應(yīng)用中，絕大部分非線性組合導(dǎo)航問題都可以轉(zhuǎn)化為線性方法解決，且線性濾波方法更加穩(wěn)定可靠。當(dāng)然，在某些對時(shí)間要求比較苛刻的初始對準(zhǔn)中，如果采用非線性粗對準(zhǔn)+線性精對準(zhǔn)兩段式對準(zhǔn)的濾波時(shí)間太長，可以改用數(shù)據(jù)存儲與逆向?qū)Ш郊夹g(shù)，有利于縮短對準(zhǔn)時(shí)間和提高對準(zhǔn)精度[25]。10可觀測度分析問題在現(xiàn)代控制理論中，確定性系統(tǒng)的可觀測性是指由一段量測輸出確定系統(tǒng)狀態(tài)的能力，它屬于定性的描述，對于某一狀態(tài)或狀態(tài)組合，要么可觀測要么不可觀測。定常系統(tǒng)的可觀測性分析，可以使用可觀測性矩陣進(jìn)行判斷，方法簡單；但是時(shí)變系統(tǒng)的可觀測性分析通常比較復(fù)雜，難以簡單而有效地給出結(jié)論。在Kalman濾波理論中，隨機(jī)系統(tǒng)的可觀測性概念與確定性系統(tǒng)略有區(qū)別，前者表示從一段量測中獲得系統(tǒng)狀態(tài)的無偏估計(jì)的能力。如果量測噪聲陣正定，隨機(jī)系統(tǒng)的可觀測性與相應(yīng)確定性系統(tǒng)的可觀測性結(jié)論恰好一致。對于隨機(jī)系統(tǒng)，僅僅進(jìn)行定性的可觀測性分析是不夠的，顯然，不可觀測的狀態(tài)分量肯定不會(huì)有濾波估計(jì)效果。但對于可觀測的狀態(tài)分量，即便獲得了該狀態(tài)的無偏估計(jì)(一階矩)，然而其均方誤差(二階矩)還是存在大小差異的，均方誤差可以看作是Kalman濾波估計(jì)精度的定量描述，它隨時(shí)間的變化正體現(xiàn)了濾波器的收斂速度。針對系統(tǒng)狀態(tài)向量中的每一個(gè)分量Xk(j)(j=1,2,…,n)，定義它的可觀測度如下[26](23)由此可知，可觀測度是針對某一狀態(tài)分量在某一時(shí)刻而言的，其含義是某一狀態(tài)分量的初始設(shè)置誤差的標(biāo)準(zhǔn)差P0(jj)與同一狀態(tài)分量在k時(shí)刻的濾波誤差標(biāo)準(zhǔn)差Pk(jj)的比值?？捎^測度為無因次量，在數(shù)值上越大，表明在經(jīng)過一段時(shí)間Kalman濾波后，相應(yīng)狀態(tài)分量的估計(jì)誤差下降程度越顯著，或者說精度提升效果就越明顯。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可人為設(shè)置如下閾值大致判斷狀態(tài)分量Xk(j)的可觀測度強(qiáng)弱(24)對于時(shí)變隨機(jī)系統(tǒng)的可觀測度分析，文獻(xiàn)中常討論的方法有分段線性定常系統(tǒng)(Piece-WiseConstantSystems，PWCS)方法[27-28]，通過分析系統(tǒng)的提取可觀測矩陣(StrippedObservabilityMatrix,SOM)的奇異值或條件數(shù)，判斷系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測度[29-32]。實(shí)際上，那些方法是存在本質(zhì)缺陷的，它沒有考慮到系統(tǒng)噪聲的影響，相當(dāng)于把系統(tǒng)當(dāng)作確定性系統(tǒng)看待，舉一特殊的隨機(jī)定常系統(tǒng)例子，如下(25)文獻(xiàn)[33]給出的基于Kalman濾波均方誤差陣Pk的特征值和特征向量的可觀測度分析方法才是非常合理的方法，它充分考慮了系統(tǒng)所有噪聲的影響，不只是量測噪聲Rk、還有系統(tǒng)噪聲Qk和狀態(tài)先驗(yàn)噪聲P0都會(huì)對Pk產(chǎn)生影響。實(shí)際上，Pk的對角線元素的平方根正好代表了各狀態(tài)的濾波估計(jì)精度(均方誤差大小)，這在Kalman濾波建模準(zhǔn)確的情況下是必然成立的，如果實(shí)際應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)偏差，不應(yīng)歸咎于該分析方法不適用，而應(yīng)重新審視建模是否準(zhǔn)確。對于狀態(tài)維數(shù)眾多的系統(tǒng)，不同類型狀態(tài)之間的物理含義是不同的，一般不能相互比較濾波估計(jì)精度，例如慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合的速度誤差和定位誤差之間，但同類誤差之間是具有可比較性的，例如東向、北向和天向速度誤差之間。若對均方誤差陣Pk作特征值分解，特征向量往往表示一些狀態(tài)的線性組合，它們不一定表示相同的物理量，因此通過比較特征值的大小來確定狀態(tài)組合的可觀測度，其物理意義不夠明確。其實(shí)，最簡單和最合適的方法就是直接選取Pk的對角線元素的平方根作為相應(yīng)狀態(tài)的可觀測度，且同類物理量狀態(tài)之間可直接進(jìn)行比較。最后指出，PWCS可觀測度分析方法宣稱無需濾波就能獲得系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測度，計(jì)算量小。事實(shí)上PWCS方法是粗略的，慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合的可觀測度與載體具體的運(yùn)行軌跡(機(jī)動(dòng)狀況與持續(xù)時(shí)間長短)密切相關(guān)，PWCS分段越少精度越差，有可能忽略了一些重要的運(yùn)行細(xì)節(jié)，只有當(dāng)PWCS分段時(shí)間無限短時(shí)(同于Kalman濾波時(shí)間更新周期)其結(jié)果才是精確的，與Kalman濾波均方誤差陣分析方法一致(僅是不考慮噪聲的情況下)，這時(shí)并不存在計(jì)算量上的優(yōu)勢。11均方誤差陣邊界限制問題標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波是線性最小方差無偏估計(jì)，在系統(tǒng)建模準(zhǔn)確的情況下，可以獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。但是，在實(shí)際系統(tǒng)中，模型或多或少存在一些偏差，隨著濾波的推進(jìn)，長時(shí)間后有些狀態(tài)的均方誤差會(huì)逐漸變小，特別是對于不受或少受系統(tǒng)噪聲影響的狀態(tài)，例如隨機(jī)常值狀態(tài)(陀螺隨機(jī)常值漂移或加速度計(jì)常值偏值)。均方誤差變得很小，理論上表示所對應(yīng)狀態(tài)的濾波精度很高，但實(shí)際上由于建模誤差或干擾影響，該狀態(tài)不可能達(dá)到相應(yīng)的估計(jì)精度，從而出現(xiàn)了理論精度與實(shí)際精度之間的矛盾。這一現(xiàn)象在慣導(dǎo)/衛(wèi)導(dǎo)組合的天向通道中表現(xiàn)得尤為明顯，由于天向存在重力耦合的影響，使得天向加速度計(jì)隨機(jī)常值偏值的可觀測度很高，短時(shí)間內(nèi)就會(huì)獲得很好的濾波效果，均方誤差陣對應(yīng)元素將快速收斂變得很小，但是，如