2023屆福建省閩侯市高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2.若z=l-i+2J貝”的虛部是

1

A.3B.-3C.3iD.-3i

2222

3.連接雙曲線6：三？-白=1及。2：今-]=1的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為邑，

S.

則當(dāng)U取得最大值時(shí)，雙曲線G的離心率為()

B.逑

C.V3D.V2

22

4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A”紇是圓/+/=〃2上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足?。紇=一設(shè)4，紇

到直線x+6y+〃(〃+l)=0的距離之和的最大值為%,若數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“＜機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值

范圍是（）

A.B.],+8）C.1|,+oo]D.3

—,+oo

2

5.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001,002,

599,600.從中抽取60個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84121253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）

A.324B.522C.535D.578

6.要得到函數(shù)），=/sin（x-的圖象，只需將函數(shù)＞=6sin[2x-圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）

兀

A.伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,再將得到的圖象向右平移/單位長(zhǎng)度

7T

B.伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,再將得到的圖像向左平移了個(gè)單位長(zhǎng)度

縮短到原來的，倍（縱坐標(biāo)不變）,57r

C.再將得到的圖象向左平移力個(gè)單位長(zhǎng)度

224

縮短到原來的L倍（縱坐標(biāo)不變）,!\jT

D.再將得到的圖象向右平移二7個(gè)單位長(zhǎng)度

224

V

7.已知正四面體的內(nèi)切球體積為用外接球的體積為匕則一=（）

v

A.4B.8C.9D.27

8.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參

加同一個(gè)小組的概率為（）

]_￡

A.

37。I6

(x-2)(x-e*)+3,(xNIn2)

9.已知函數(shù)，（x）=V,當(dāng)時(shí)，/(x)的取值范圍為(-8,e+2],則實(shí)數(shù)m的

3-2x,(x<In2)

取值范圍是（）

A.I-8,-2B.C.,-,1D.[In2,1]

1JI

10.“cos2a=——"是=——,ZEZ”的（）

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

11.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+0）,其中°w（0,芻，若VxeR,/（x）W恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)

間為（

.7C.7C...7t2萬

K7T------,K71H------yk,GZ)k兀----，/C7T+——{kez)

3633

7T2〃2乃

k7i-\——卡冗----(kGz)D.k兀、k兀+二(kGZ)

33

12.若數(shù)列｛/｝滿足q=15且3a“+I=34-2,則使。/為+|<0的A的值為（）

A.21B.22C.23D.24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知復(fù)數(shù)z=（a+2i）（l+i）,其中i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)二為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)”的值是

14.若函數(shù)〃2=411（皿+。）3>0,0<。<2乃）滿足：①/（力是偶函數(shù)；②〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)序。）對(duì)稱.則

同時(shí)滿足①②的①,（P的一組值可以分別是.

15.在正方體ABC。-A4GA中，已知點(diǎn)P在直線AB|上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐。-。內(nèi)尸的體積不

變;②OPLRC；③當(dāng)p為A片中點(diǎn)時(shí),二面角P—AG-C的余弦值為半；④若正方體的棱長(zhǎng)為2,則|。尸|+|明

的最小值為4+4夜；其中說法正確的是（寫出所有說法正確的編號(hào)）

16.（5分）有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個(gè)和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列，已知前三個(gè)和

尚的身高依次成等差數(shù)列，后三個(gè)和尚的身高依次成等比數(shù)列，且前三個(gè)和尚的身高之和為450cm,中間兩個(gè)和尚的

身高之和為315cm,則最高的和尚的身高是cm.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某網(wǎng)絡(luò)商城在2019年1月1日開展“慶元旦”活動(dòng)，當(dāng)天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積

極性，采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式，抽取了40家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的40家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額（單位：千元）

的頻率分布直方圖.

（1）求抽取的這40家店鋪，元旦當(dāng)天銷售額的平均值;

（2）估計(jì)抽取的40家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于4000元的有多少家;

（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在［0,2）和［8,10］的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究，求抽取的

店鋪銷售額在［0,2）中的個(gè)數(shù)，的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.（12分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四

個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉膈”.在如圖所示的陽馬P-ABC。中，底面ABCD是矩形.Q4平面ABCD,

PA=AD=2,AB=O，以AC的中點(diǎn)。為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)O）,交PC于N（異于

點(diǎn)C）.

（D證明：AM_L平面PCD,并判斷四面體是否是鱉席，若是，寫出它每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若

不是，請(qǐng)說明理由；

（2）求直線ON與平面ACM所成角的正弦值.

19.（12分）在某外國(guó)語學(xué)校舉行的HIMCM（高中生數(shù)學(xué)建模大賽）中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為1:3,且成績(jī)

分布在［40,100］,分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到

成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.

（I）求〃的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值［（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（II）填寫下面的2x2列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.

女生男生總計(jì)

獲獎(jiǎng)5

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)200

附表及公式:

P(K2*)0.100.050.0250.01()0.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

2n(ad-bc)

其中K---------------------------------,n=a+b-\-c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

20.(12分)已知拋物線C：y2=2px(〃>0),點(diǎn)尸為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)尸到直線3x-4y+2=0的距離為4,

焦點(diǎn)/到拋物線c的準(zhǔn)線的距離為&，且?=3?

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若x軸上存在點(diǎn)/，過點(diǎn)M的直線/與拋物線C相交于P、。兩點(diǎn)，且白下+'為定值，求點(diǎn)”的

\PM\2|QM|2

坐標(biāo).

21.(12分)已知等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為%且勺+%="，$4=24.

求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列的前n項(xiàng)和7“.

n

22.(10分)已知圓。：(無一2)2+(>-3)2=4外有一點(diǎn)(4,-1),過點(diǎn)P作直線/.

(1)當(dāng)直線/與圓C相切時(shí)，求直線/的方程；

⑵當(dāng)直線I的傾斜角為135。時(shí)，求直線/被圓C所截得的弦長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

2

ln(x-4x+4)inG..,、

因?yàn)?.)=1------------L)所以函數(shù)/G)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，排除A,B.當(dāng)x<。時(shí)，

Cv-2)3(x-2>

lnG-2)2>0,&-2)3<0,所以心)<0,排除D.選C.

2.B

【解析】

因?yàn)閦=l—i—2i=l—3i,所以z的虛部是—3.故選B.

3.D

【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形，求出菱形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，求出其面積,

S,

利用重要不等式求得合取得最大值時(shí)有a=b,從而求得其離心率.

【詳解】

)222

雙曲線二1與5-3=1互為共扼雙曲線,

a

四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(±?,0),(0,±b),四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(±C,0),(0,±c),

四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積E=,x2ax2b=2ab,

2

四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積S=-X2CX2C=2C2,

22

￥2ababab1

所以西=矛="旌前

s

當(dāng)U取得最大值時(shí)有。=》，c=?a，離心率e=￡=0,

*a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共朝雙曲線的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，菱形面積公式，重要不等式

求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡(jiǎn)單題目.

4.B

【解析】

由于到直線的距離和等于紇中點(diǎn)到此直線距離的二倍，所以只需求“，紇中點(diǎn)到此

4,Bnx+Gy+〃5+1)=0A”,A

直線距離的最大值即可。再得到兒,B“中點(diǎn)的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和A”以中點(diǎn)到此直線

距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項(xiàng)的方法求,?。鄣那?項(xiàng)和，即可通過不等式來求解〃?的取值范圍.

an

【詳解】

22

由OV。紇=一2,得〃MCOSNA，。紇=—幺，.?.N4°B,,=120.設(shè)線段紇的中點(diǎn)Q,則|。以=5,，G

222

ML

在圓f+y2=?上，4紇到直線尤+6y+“〃+i)=o的距離之和等于點(diǎn)Q到該直線的距離的兩倍，點(diǎn)G到直

?2

線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓Y+y2=》的圓心(0,())到直線%+6y+〃(〃+1)=()

mn+\)n一1

22_L=_=41

-------+-=n+2n,2

22ann+2n2\n〃+2

??.1.

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積，點(diǎn)到直線的距離，數(shù)列求和等知識(shí)，是一道不錯(cuò)的綜合題.

5.D

【解析】

因?yàn)橐獙?duì)600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，所以編號(hào)必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的,

重復(fù)出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個(gè)編號(hào).

【詳解】

從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:

436,535,577,348,522,535,578,324,577,,因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為

436,535,577,348,522,578,324,,故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

詳解：將函數(shù)y=圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到y(tǒng)=Gsi〃（,x2x-工）=&s比（x-2），

233

再將得到的圖象向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=Msi成x-?+?）=瓜%（%-專），

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合。和。的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

7.D

【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,取8c的中點(diǎn)為O,連接A。，作正四面體的高為PM,首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在RtMMN中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,取8。的中點(diǎn)為。，連接AO,

作正四面體的高為

PM=>IPA2-AM2=—,

3

v_1V3V6_V2

???V^BC=-xTxT=—

設(shè)內(nèi)切球的半徑為廣，內(nèi)切球的球心為0,

則Vp_ABc=4%-ABC=4XgxVr,

解得：r=；

12

設(shè)外接球的半徑為R,外接球的球心為N,

貝!||肱V|=|PM-R|或AN=R,

在RAAMN中，由勾股定理得：

AM2+MN2=AN2,

.?.，+[如—H]=R2,解得R=包，

334

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有3x3=9種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有3種，故概率為二3二」1.

93

9.C

【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在x?ln2時(shí)的單調(diào)性、極值，可得x?ln2時(shí)，/(x)滿足題意，再在x<ln2時(shí)，求解/'(x)4e+2的

x的范圍，綜合可得結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)％21n2時(shí)，/'(x)=-(x-l)(^-2),

令/'(x)>0,則ln2<x<l；f'(x)<0,貝!)x>l,

函數(shù)/(x)在(ln2,l)單調(diào)遞增，在(1,例)單調(diào)遞減.

，函數(shù)/(X)在x=1處取得極大值為/⑴=e+2,

二x21n2時(shí)，/(x)的取值范圍為(Y0,e+2],

?**ln2<m<l

又當(dāng)尤<ln2時(shí)，令/(x)=3—2x<e+2,則冗2彳§,即\^Wx<ln2,

]—e

:.-----<m<ln2

2

\—e

綜上所述，加的取值范圍為—,1.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.

10.B

【解析】

先求出滿足cos2。=-1的a值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】

i27r7117t

由cos2a=——得2a=2&%±——，即。=左萬士一，keZ,因此“cos2a=——”是“a=Z%+—,ZeZ”的必要

23323

不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.

11.A

【解析】

Vxe/?,/(%)<f0=>/(X)max=?=1,從而可得9哈/(x)=sin[2x+^J,再解不等式

)1Jri

2k兀-----<2x+—<Ikrrd?—(kez)即可.

262

【詳解】

sin"

由已知，f(x)=1

sin,+?=±l,^e[0,yL所以夕71

61

f(x)=sin2犬+一,由---<2XH——42k兀+—(kez),

I6；262

7TTT

解得，k兀<xKkr+—(女￡z).

36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

12.C

【解析】

因?yàn)闀褚弧?,=一2(，所以｛4｝是等差數(shù)列，且公差〃=一彳2,6=15,貝！—彳2(〃-1)=一彳2〃+：47，所

2472454547

以由題設(shè)外％<0可得(-丁2+7)(-+貝!1〃=23,應(yīng)選答案C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

由題，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.

【詳解】

由題，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,又復(fù)數(shù)，為純虛數(shù)，

所以a-2=0,解得a=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

371

14.一,-

22

【解析】

根據(jù)/(x)是偶函數(shù)和/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［g,0］對(duì)稱，即可求出滿足條件的切和。.

【詳解】

由/(X)是偶函數(shù)及0?。<2兀，可取。=5,

貝?。?(x)=sin69X+—=coscox,

由/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)K，oJ對(duì)稱，得=E+keZ,

33

即。=3Z+—,keZ,可取a)--.

22

371

故。，。的一組值可以分別是一，

22

故答案為：;3，g71.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.0<2)@

【解析】

①Ag〃r>G，???45'/平面DBC1,得出A與上任意一點(diǎn)到平面DBQ的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點(diǎn)尸在面。CGA上的射影在。G上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；

③當(dāng)尸為A4中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。一孫z,如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法

可求得二面角P-AG-c的余弦值，可判斷命題③；

④過AB|作平面交AR于點(diǎn)做點(diǎn)。關(guān)于面A片M對(duì)稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面ABB,內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱

性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)《時(shí)，在一條直線上，|。月+忸月取得最小值|GB|.可判斷命題

④.

【詳解】

①A4〃。G，AB”平面，所以A片上任意一點(diǎn)到平面DBG的距離相等，所以三棱錐。一。啰尸的體積

不變，所以①正確；

②P在直線AB|上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸在面。CG。上的射影在。C上，所以。尸在面。CGA上的射影在。G上，又

DC,±CD,,所以。P，￡>C，所以②正確；

③當(dāng)P為AB1中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。一沖z,如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.

則：4(2,0,0),4(2,2,2),P(2,1,1),%(2,0,2),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=（-2,2,o）,B4i=（0,-1,1）,cq=（0,0,2）,

m-AC.=0]—2x+2y=0

設(shè)面4Gp的法向量為〃z=（尤,y,z）,貝!八，即（八，令x=l,貝！|y=l,z=l,.,?加=（1,1,1）,

mPA^=0[-y+z=0

n-AC=0[-2x+2y=0

設(shè)面AG。的法向量為〃=（%，y，z）,?..<?1八，即個(gè).一〃=0U,o）,

nCCj=012z=0

m

cos<m,n>="="r=,由圖示可知，二面角P-4G-C是銳二面角，所以二面角P-\Cy-C

\rr\-\n\，3xj23

的余弦值為逅，所以③不正確；

3

④過AB|作平面A4M交AR于點(diǎn)"，做點(diǎn)。關(guān)于面A用M對(duì)稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面48片4內(nèi)，

則。尸=62,94=64,。6_1"1,所以|。"+忸8=|6。|+忸外，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)打時(shí)，。,匕8在一條直線上，

|。月+忸月取得最小值|6印

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（2,加,〃），DG=（2,m,n）,領(lǐng)=（0,2,2）,所以

DG?AB】=2憶+2〃=0,

所以加二一〃9又DA=GA=2,所以機(jī)=—J5,幾=,

所以G（2,一夜，⑹，B（2,2,0）,儂=“2—2'+卜0一2『+（0-0『=48+40，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對(duì)稱的

思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.

16.181.5

【解析】

依題意設(shè)前三個(gè)和尚的身高依次為4cmM2cmM3cm,第四個(gè)（最高）和尚的身高為為cm,則%+%+%=3%=45（）,解

得%=150,又—315,解得%=165,又因?yàn)椤?，。3，%成等比數(shù)列，則公比。比=言=1」，故

a4=a3q=165x1.1=181.5.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(1)5500元；(2)32家；(3)分布列見解析；y

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率，再由平均數(shù)公式，即可求解；

(2)求出［4000,10000］的頻率即可；

(3)［0,2)中的個(gè)數(shù)？的所有可能取值為0,1,2,求出《可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.

【詳解】

(1)頻率分布直方圖銷售額的平均值為

2x(0.025x1+0.075x3+0.2x5+0.15x7+0.05x9)=5.5^76,

所以銷售額的平均值為5500元：

(2)不低于4000元的有40x(0.2+0.15+0.05)x2=32家

(3)銷售額在［0,2)的店鋪有2家,

銷售額在［8,10］的店鋪有4家.選取兩家,

設(shè)銷售額在［0,2)的有，家.則，的所有可能取值為0,1，2.

P（4=O）=等=2,p（：=i）=嬰=_1,

C：5C；15

C2co1

所以4的分布列為

012

281

P

51515

Q12

數(shù)學(xué)期望緇=lx?+2x—=一

15153

【點(diǎn)睛】

本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)證明見解析，是，ZAMC,AAMD,ZADC,ZMDCx(2)在

5

【解析】

(1)根據(jù)AC是球的直徑，則40_LMC,又24,平面ABCD,得到CDLQ4,再由線面垂直的判定定理得到

。。_1平面24￡>,,進(jìn)而得到CD_LAM,再利用線面垂直的判定定理得到AM，平面PCD.

(2)以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CN=XCP=卜&,一22,2；1),由

AN1CN,解得X,得到CN，從而得到ON=OC+CN，然后求得平面ACM的一個(gè)法向量，代入公式

.八ON?n

sm0=?~-r—求解.

|。葉同

【詳解】

(1)因?yàn)锳C是球的直徑，則

又B4_L平面ABCD,

：.CD±PA,CD_LA￡>.，CD,平面B4D，

二C￡>，AM,工/LMJ_平面PCD.

根據(jù)證明可知，四面體MCD4是鱉膈.

它的每個(gè)面的直角分別是NAMC,ZAMD,ZADC,ZMDC.

(2)如圖，

以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,

Cr\

則B(夜,0,0),C(V2,2,0),￡>(0,2,0),尸(0,0,2),O^-,1,0.

M為PD中點(diǎn),從而用(0,1,1).

所以CP=(-72,-2,2),設(shè)CN=XCP=(-V2A,-2A,22),

則A2V=AC+CN—(正一內(nèi),2—24,2/1).

由4V，OV,

得A7V.CN=及2(02—0)一24(2—24)+4幾2=1042-64=0.

由4,0得2=3,即CN=--yV2,——\

5\555)

所以O(shè)N=OC+CN=,—―.

(1055)

設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為。=(x,y,z).

AM-n=y+z=0

由《.

AC-n-yflx+2y=0

取x=V5,y=T,z=i,得到〃=(啦,一1」).

記ON與平面AMC所成角為仇

yfl/T-16

則而。=產(chǎn)八人丁二.=,---1-°-*72H5F-5=也/7"

岡同廠+一?反幣5

V1002525

所以直線ON與平面AMC所成的角的正弦值為逅.

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

19.(I)a=0.025,亍=69；(II)詳見解析.

【解析】

(I)根據(jù)概率的性質(zhì)知所有矩形的面積之和等于1列式可解得；

(II)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為4()，不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為160,從而可得2x2列聯(lián)表，再計(jì)算出K2，與臨界值比

較可得.

【詳解】

解：(I)a=J-x[1-(0.01+0.015+0.03+0.015+0.005)xl0]=0.025,

J=45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.15+95x0.05=69.

(II)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為4(),不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為160,

2x2列聯(lián)表如下：

女生男生總計(jì)

獲獎(jiǎng)53540

不獲獎(jiǎng)45115160

總計(jì)5()150200

因?yàn)椤?0x殷/45)-3.841,

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生，男生有關(guān).”

【點(diǎn)睛】

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問題，熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，以及平均數(shù)的計(jì)算方法

即可，屬于?？碱}型.

20.(1)尸=4x

⑵(2,0)

【解析】

d.1

(1)先分別表示出4,小，然后根據(jù)于=不求解出夕的值，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；

a22

11

(2)設(shè)出直線/的方程x^my+t并聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理形式,然后根據(jù)距離公式表示出---r+——并

\PM\-IQM\-

11

代入韋達(dá)定理形式，由此判斷出他喬+而"為定值時(shí)M的坐標(biāo).

【詳解】

(1)由題意可得，焦點(diǎn)P>0,貝！I

3x—+23x—+2>

2'2，”2=P，

4=-----------=——-—

15