電路 (第四版) 課件 第3章 電路的基本分析方法

第3章電路的基本分析方法3.1電路的拓?fù)潢P(guān)系3.2電路KCL和KVL方程的獨(dú)立性3.3-支路電流法3.4網(wǎng)孔電流法和回路電流法3.5節(jié)點(diǎn)電壓法

3.1電路的拓?fù)潢P(guān)系

3.1.1圖的初步概念

圖(Graph)是節(jié)點(diǎn)和支路的集合。在圖G中支路用線段(直線段或曲線段)表示,支路和支路的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。在圖論中,節(jié)點(diǎn)稱為頂點(diǎn),支路稱為邊。注意:在圖的定義中允許獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)存在,即沒有支路和該節(jié)點(diǎn)相連,獨(dú)立節(jié)點(diǎn)也稱為孤立節(jié)點(diǎn);在圖G中,不允許不和節(jié)點(diǎn)相連的支路存在,就是說,任何支路的兩端必須落在節(jié)點(diǎn)上。

如果移去一個(gè)節(jié)點(diǎn),就必須把和該節(jié)點(diǎn)相連的所有支路均移去,移去一條支路則不影響和它相連的節(jié)點(diǎn)(若將和某一節(jié)點(diǎn)相連的所有支路均移去,則該節(jié)點(diǎn)就變成了孤立節(jié)點(diǎn))。若一條支路和某節(jié)點(diǎn)相連稱該支路和該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián),那么和一個(gè)節(jié)點(diǎn)所連的所有支路稱為這些支路和該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。

例如圖3-1所示的圖,在圖G1中有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、6條支路;圖G2中有5個(gè)節(jié)點(diǎn)和5條支路,節(jié)點(diǎn)⑤是孤立節(jié)點(diǎn)。如果在圖G1中移去節(jié)點(diǎn)④,則和它關(guān)聯(lián)的支路(3,5,6)均要移去,這樣圖G1就變成圖G3;如果在圖G1中分別移去支路2、3、6(和它們關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)不能移去),則圖G1就變成了圖G4。

圖3-1圖的概念說明圖

圖3-2是在圖3-1(a)圖G1的基礎(chǔ)上變換而來的,請(qǐng)判斷哪些圖是圖G1的樹,哪些不是,為什么?你能找出G1中剩余的樹嗎?

圖3-2圖3-1中G1的衍生圖

3.1.2電路模型和圖的關(guān)系

有了關(guān)于圖的初步知識(shí)以后,接下來學(xué)習(xí)如何利用圖的有關(guān)知識(shí)幫助我們分析電路。在實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的之前,先研究如何將電路模型轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的圖。

在電路模型中,一個(gè)二端元件或若干個(gè)二端元件串聯(lián)所形成的分支稱為一條支路,兩個(gè)或兩個(gè)以上支路的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。只要將電路中的支路用圖中的支路表示,電路中的

節(jié)點(diǎn)保持不變,這樣一個(gè)電路模型就可以轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的圖。

例如圖3-3(a)所示的電路可以轉(zhuǎn)換成圖3-3(b)所示的圖G。由于R2、R4、R5和受控的電壓源u3-均為二端元件,因此可以用不同的支路(2,4,5,3)分別表示它們;uS6和R6串聯(lián)形成一條支路,所以可用一條支路(6)表示;R1和iS1并聯(lián)也可以用一條支路(1)表示,因?yàn)槔秒娫醋儞Q可以將其變換成電壓源和電阻的串聯(lián)形式,所以有伴的電流源可以轉(zhuǎn)換成一條支路?？梢?轉(zhuǎn)換后的圖G有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、6條支路。要說明的是,由一個(gè)完整的電路所轉(zhuǎn)換成的圖G均是連通的。

圖3-3-電路模型到圖的例子

分析電路的目的是(最多)求出電路中所有支路上的電壓和電流。有了電路的圖G以后,對(duì)于圖G可以設(shè)出每條支路的電壓和電流,并標(biāo)出它們的參考方向,則圖G就變成有向圖。上例中圖G的有向圖如圖3-3(c)所示。有向圖中每條支路上的方向既表示該支路電壓的參考方向又表示電流的參考方向,并且電壓和電流的參考方向均是關(guān)聯(lián)的。

有了電路的有向圖以后,就可以列出圖中所有節(jié)點(diǎn)上的KCL方程和所有回路的KVL方程。

3.2電路KCL和KVL方程的獨(dú)立性

3.2.1電路KCL方程的獨(dú)立性對(duì)圖3-3(c)所示有向圖中的節(jié)點(diǎn)①、②、③、④分別列出KCL方程為

對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的有向圖而言,KCL方程的獨(dú)立個(gè)數(shù)為n-1個(gè)。這是因?yàn)?n個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有KCL方程之和為

可見,這n個(gè)KCL方程是非獨(dú)立的(線性相關(guān)),原因是支路電流ij(j=1,2,…,b)作為正負(fù)在所有的方程中各出現(xiàn)一次。

3.2.2電路KVL方程的獨(dú)立性

由上一節(jié)知,一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖G,其中的基本回路或獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)為b-(n-1)。對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的有向圖或電路,任何樹的樹支數(shù)是n-1個(gè),連支數(shù)是b-(n-1)個(gè)。如果所有回路均是單連支回路,并且和所有連支一一對(duì)應(yīng),則這些回路就是基本回路,基本回路是彼此獨(dú)立的,則基本回路對(duì)應(yīng)的KVL方程相互之間是獨(dú)立的。另一種解釋是,因?yàn)橐粋€(gè)基本回路中僅含一條連支,所以連支電壓在各自的KVL方程中均是新變量,它不同于其他方程中的所有變量,所以基本回路的KVL方程彼此之間是獨(dú)立的。設(shè)獨(dú)立方程數(shù)的個(gè)數(shù)為l,則它等于連支數(shù)的個(gè)數(shù),即l=b-(n-1)。

對(duì)于一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,設(shè)獨(dú)立回路數(shù)為l=b-(n-1),則

該式說明,將l個(gè)獨(dú)立的KVL方程相加,其結(jié)果必不等于零。可以證明,若電路中任意數(shù)目的回路數(shù)g>l,上面求和(代數(shù)和)式中的部分KVL方程相加等于零,則說明這些部分方程之間是非獨(dú)立的。就是說,當(dāng)g>l時(shí),g個(gè)KVL方程之間不是彼此獨(dú)立的,所以l是一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路電路的最大線性無關(guān)KVL方程的個(gè)數(shù)。

例如,圖3-4是圖3-3(c)所示的有向圖,設(shè)支路1、4、5為樹支,則連支為2、3、6支路,這樣所有的單連支(獨(dú)立)回路為(2,1,4)、(3,1,4,5)、(6,5,4)。分別定義它們?yōu)榛芈穕1、l2和l3,

設(shè)所有回路的繞行方向均為順時(shí)針方向,則KVL方程依次為

再列出回路(2,3,5)的KVL方程為

則上述4個(gè)方程是非獨(dú)立的,因?yàn)橛墒?3-1a)和式(3-1b)中可得出式(3-1d)式。

3.3-支路電流法

分析電路的目的是已知電路求響應(yīng),一個(gè)電路中最多的響應(yīng)是所有支路上的電壓和電流。對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,它的全部響應(yīng)就是b條支路的電流和b條支路的電壓,所以總響應(yīng)(變量)為2b個(gè)。

由前面的分析知道,對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,可以列出n-1個(gè)獨(dú)立的KCL方程和b-(n-1)個(gè)獨(dú)立的KVL方程,兩者相加,其個(gè)數(shù)為b個(gè)。對(duì)于b條支路,利用每條支路上的VCR,又可以列出b條支路的約束方程,則列出的方程總數(shù)為2b個(gè)。利用這2b個(gè)方程可以求出該電路中2b個(gè)響應(yīng),所以該方法也稱為2b法。

為了減少方程數(shù),先以b條支路電流為未知變量,列出n-1個(gè)KCL方程,再用支路電流表示b-(n-1)個(gè)KVL方程中的各個(gè)電壓變量,這樣就得到b個(gè)關(guān)于支路電流的方程,然后再利用每條支路上的VCR求出b條支路上的電壓,所以該方法稱為支路電流法,簡稱支路法。

該方法的具體步驟介紹如下。

例如圖3-5(a)所示電路,該電路所對(duì)應(yīng)的有向圖如圖3-5(b)所示,圖中節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4,支路數(shù)b=6。圖3-5支路電流法

最后需說明的是,若某支路由無伴的電壓源或電流源構(gòu)成,無法寫出該支路的VCR方程,就無法將該支路的電壓用支路電流來表示。對(duì)于無伴電壓源支路,因?yàn)橹冯妷簽橐阎?所以使問題簡單了;對(duì)于無伴電流源支路,因?yàn)橹冯娏魇且阎?需要設(shè)出該支路的電壓然后再列方程,這樣問題就可以解決了。

3.4網(wǎng)孔電流法和回路電流法

由支路法知道,一個(gè)b條支路的電路要列b維方程組。例如圖3-5(a)所示電路必須列一個(gè)6維方程組。能不能在目的不變的情況下將方程的維數(shù)降下來呢?回答是肯定的。

已經(jīng)知道,一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的電路,由KCL能列出n-1個(gè)獨(dú)立方程,由KVL能列出b-(n-1)個(gè)獨(dú)立方程。若能設(shè)定一種變量只用KCL或者KVL方程,就可以將b維方程組降為n-1或b-(n-1)維方程組。本節(jié)的網(wǎng)孔電流法(簡稱網(wǎng)孔法)和回路電流法(簡稱回路法)就是只依據(jù)KVL間接地求出b條支路電流的方法。網(wǎng)孔法僅適用于平面電路,而回路法既適用于平面電路也適用于非平面電路。下面先介紹平面電路和非平面電路的概念。

就電路所對(duì)應(yīng)的圖G而言,如果圖G中支路和支路之間(進(jìn)行變換后)除了節(jié)點(diǎn)以外沒有交叉點(diǎn),這樣的圖稱為平面圖,所對(duì)應(yīng)的電路稱為平面電路,否則稱為非平面圖或非平面電路。例如圖3-6(a)是一個(gè)平面圖,圖3-6(b)是一個(gè)非平面圖。圖3-1中的圖G1就是一個(gè)平面圖。

圖3-6平面圖和非平面圖

3.4.1網(wǎng)孔電流法

對(duì)于一個(gè)平面電路而言,網(wǎng)孔的個(gè)數(shù)就等于基本回路的個(gè)數(shù),對(duì)于較為簡單的平面圖,網(wǎng)孔和基本回路可以一一對(duì)應(yīng),而對(duì)于復(fù)雜電路,網(wǎng)孔的個(gè)數(shù)等于基本回路的個(gè)數(shù)(見習(xí)題3-3),因此,網(wǎng)孔上的KVL方程是相互獨(dú)立的。

網(wǎng)孔電流法(網(wǎng)孔法)是以網(wǎng)孔電流im為未知變量的。設(shè)平面電路有m個(gè)網(wǎng)孔,網(wǎng)孔電流的個(gè)數(shù)就等于獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)[m=b-(n-1)],設(shè)網(wǎng)孔電流分別為im1、im2、…、imm。網(wǎng)孔電流是一種假想的變量,電路中所有支路電流可以用它們來表示。就是說,它們可以替換形式如式(3-6)中的電流ik,這樣KVL方程就變成以網(wǎng)孔電流為變量的方程。為了便于比較,仍然采用圖3-5(a)所示的電路,將支路3經(jīng)電源變換后其結(jié)果如圖3-7(a)所示,圖中uS3=R3iS3,圖3-7(b)是它的有向圖。

圖3-7網(wǎng)孔電流法

如果電路中含有無伴的電流源支路,由于電流源的端電壓為未知量,處理方法是設(shè)它的端電壓為u,這樣就多出一個(gè)電壓變量,由于無伴電流源的電流為已知,可以增加一個(gè)電流方程(或電流約束)。

根據(jù)上述,并設(shè)電路有m個(gè)網(wǎng)孔,網(wǎng)孔法的具體步驟可歸納如下。

例3-1電路如圖3-8所示,根據(jù)網(wǎng)孔法求電路中的電流i2,i3。圖3-8例3-1圖

再根據(jù)KCL,有

用所計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),例如在第2個(gè)網(wǎng)孔中根據(jù)KVL有

可見答案是正確的。

3.4.2回路電流法

網(wǎng)孔法只適用于平面電路,而回路電流法(回路法)既適用于平面電路也適用于非平面電路。對(duì)于任意電路所對(duì)應(yīng)的圖而言,當(dāng)選定樹以后,由單連支確定的回路是基本回路,根據(jù)基本回路可以列出其KVL方程。

回路法是以回路電流il為未知變量,變量的個(gè)數(shù)等于基本回路的個(gè)數(shù)[l=b-(n-1)],即回路電流分別為il1、il2、…、ill。和網(wǎng)孔電流相同,回路電流也是一種假想電流,而每個(gè)支路上的電流同樣可以用這些假想的電流來表示。例如在圖3-9所示的有向圖中,選樹為支路4,2,3,則連支為支路1、5、6,對(duì)應(yīng)的基本回路如圖3-9所示。

圖3-9回路電流和支路電流的關(guān)系

設(shè)回路電流分別為il1、il2和il3,由圖3-9知回路電流等于對(duì)應(yīng)的連支電流,其參考方向和連支電流的參考方向相同,即i1=il1、i5=il2、i6=il3,根據(jù)KCL,有

可見,所有支路電流均可以用假設(shè)的回路電流表示。

例3-2電路如圖3-10(a)所示,列出回路方程。圖3-10例3-2圖

例3-3-電路如圖3-11(a)所示,列出回路方程并整理。圖3-11例3-3圖

3.5節(jié)點(diǎn)電壓法

例如圖3-12(a)所示電路,圖3-12(b)是對(duì)應(yīng)的有向圖。

圖3-12節(jié)點(diǎn)電壓法

例3-4電路如圖3-13所示,列出該電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3-13-例3-4圖

解選節(jié)點(diǎn)③為參考點(diǎn),設(shè)節(jié)點(diǎn)①、②的節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2,將電阻寫成電導(dǎo)的形式,直接列出節(jié)點(diǎn)電壓方程,即

值得注意的是,電阻R1沒有被計(jì)入節(jié)點(diǎn)①的自導(dǎo)中,原因是節(jié)點(diǎn)電壓方程實(shí)質(zhì)上是KCL方程,和電流源串聯(lián)的電阻R1不會(huì)影響該支路電流的大小,所以也不會(huì)影響節(jié)點(diǎn)①的KCL方程,因此在列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí),要注意和電流源串聯(lián)的電阻(或電導(dǎo))不需要被計(jì)入。受控的電流源也是如此。

如果電路中含有無伴的電壓源支路,因?yàn)殡妷涸吹碾娏鳛槲粗?處理方法是設(shè)出它的電流i,這樣就多出一個(gè)電流變量,由于已知無伴電壓源的電壓,可以增加一個(gè)電壓方程(或電壓約束)。另外,對(duì)于電路中的受控源,將其先按獨(dú)立源對(duì)待列方程,然后將控制量用節(jié)點(diǎn)電壓變量表示,整理方程即可。

例3-5電路如圖3-14所示,試用節(jié)點(diǎn)法求圖中的電壓u。圖3-14例3-5圖

例3-6電路如圖3-15所示,試列出電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3-15例3-6圖

本章討論了電路分析的基本方法,KCL和KVL是分析電路的基礎(chǔ),對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的電路,可以列出n-1個(gè)獨(dú)立的KCL方程和b-(n-1)個(gè)的獨(dú)立的KVL方程。由此得出分析電路的基本分析方法,即支路法、回路法(含網(wǎng)孔法)和節(jié)點(diǎn)法。利用支路法可以求出給定電路所有支路的支路電流,進(jìn)而可以求出所有支路的電壓;利用回路法(或網(wǎng)孔法)可以求出所有獨(dú)立回路(或網(wǎng)孔)的電流,從而可以間接地求出所有支路的電