電路 (第四版) 課件 第9章 正弦量與相量

第9章正弦量與相量9.1正弦量9.2正弦量的相量表示9.3三種基本電路元件和電路定律的相量關系9.4阻抗和導納9.5阻抗(導納)的串聯(lián)和并聯(lián)

9.1正弦量

隨時間按正弦規(guī)律變化的(變)量稱為正弦量,實際中有許多工作在正弦量電壓、電流模式下的電路,要分析這類電路需先研究正弦量所具有的一些特征,如幅值、頻率、初相位以及正弦量的有效值和相位關系等。

9.1.1正弦量的三要素

電路中的正弦量通常是指隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流。這些電壓和電流的變化規(guī)律可以用sine函數(shù)來表示,也可用cosine函數(shù)來表示,本書采用cosine函數(shù)。設電流按正弦規(guī)律變化,其表達式為

圖9-1正弦量i(t)的波形

9.1.2有效值的定義、正弦量的有效值

工程上,對于周期變化的電流和電壓而言,常常需要為它規(guī)定一個表征大小的特值,這個特征值是根據(jù)周期電流或電壓在一個周期內產生的平均效應換算得到的。如兩個量值相等的電阻R,分別給它們通入直流電流I和周期變化的電流i(設周期為T),如果在相同的時段T內,設兩個電阻消耗的能量相等,即

由該式得

式(9-3)中I就是周期變化電流的有效值。就相同的電阻R而言,在相同時段內,當給電阻通入周期變化的電流i時,電阻所消耗的能量是在相同時段內所通直流電流所消耗電能的相當值。由式(9-3)可見,周期電流的有效值等于其瞬時值的平方在一個周期內積分的平均值的平方根,故有效值又稱方均根值。

類似地,可得周期電壓u的有效值,即

9.1.3正弦量的相位差

電路中,常用相位差的概念來描述兩個同頻率正弦量之間的相位關系。設兩個同頻率的正弦電壓u和電流i分別為

其波形如圖9-2所示。

圖9-2兩個同頻率正弦量的相位差

電壓和電流之間的相位差為電壓的相位減去電流的相位,即

可見,相位差是電壓與電流的初相位之差,用φ表示。相位差是在主值范圍內取值的。相位差反映了同頻率正弦量的“超前”或“滯后”的關系。

9.2正弦量的相量表示

對于線性電路來說,如果激勵為正弦量,則響應也為正弦量。為了求解一個正弦量激勵的電路,如果直接用瞬時值表達式進行運算,計算將很繁瑣,有時甚至是不可能的。為此,可借助復數(shù)來表示正弦量,進而簡化正弦量之間的運算,使正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計算簡單化。

9.2.1復數(shù)

圖9-3復數(shù)的表示

圖9-5所示為兩個復數(shù)相乘的圖解表示。兩個復數(shù)相乘結果是模相乘,輻角相加;兩個復數(shù)相除結果是模相除,輻角相減。可見,復數(shù)的乘、除運算用極坐標或指數(shù)形式比較方便,而加、減運算用代數(shù)形式比較方便。

圖9-5復數(shù)乘法運算的圖示法

復數(shù)F的共軛復數(shù)可以表示為

9.2.2相量的定義

圖9-6旋轉復數(shù)與正弦量的對應關系

同樣可以將其畫在復平面上,如圖9-7所示。由于復平面上表示的是相量,所以圖9-7稱為相量圖。因為相量可以表示正弦量,并且可以畫出其相量圖,所以只有同頻率的正弦量所對應的相量才可以畫在同一個相量圖上。

圖9-7正弦量的相量圖

9.2.3時域運算和相量運算的關系

引入相量的目的,是為了在正弦激勵的穩(wěn)態(tài)電路中更方便地求解響應。具體地說,就是將時域中的正弦量變換到相量域(復數(shù)域)的相量(復數(shù))形式,以便利用復數(shù)工具分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。

由前面的分析知道,時域正弦電壓和復數(shù)域電壓相量之間的對應關系為

1.同頻率正弦量的代數(shù)和運算

2.微分運算

3.積分運算

由上所述,可以用復數(shù)(相量)表示正弦量。正弦量的代數(shù)和、微分、積分仍然是同頻率的正弦量。時域正弦量代數(shù)和的關系映射到相量域仍然為代數(shù)和,而時域正弦量的微分和積分關系映射到相量域相當于分別給原相量乘以或除以jω。

9.3三種基本電路元件和電路定律的相量關系

9.3.1電阻元件的相量關系圖9-8(a)所示電路為時域電阻元件電路,設流過電阻的電流為由歐姆定律知,電阻上的電壓為

9.3.2電感元件的相量關系

圖9-9-電感上的電壓、電流關系

電感上電壓和電流之間的關系不僅與電感L的值有關,還與正弦電流與電壓的角頻率ω有關,在形式上類似于歐姆定律。ωL是電壓與電流有效值的比值,量綱為歐姆(Ω)。在電壓一定的情況下,ω或者L越大,ωL越大,則電流越小,所以它有抗拒電流的性質;另外,ωL又是由電感引起的,因此稱其為感抗,用

XL

表示,即

XL

=ωL。此時,可以將式(9-13)寫成

當ω=0(直流)時XL=0,所以UL=0,可見電感對直流相當于短路,故電感有通直隔交的作用。

9.3.3電容元件的相量關系

圖9-10電容上的電壓、電流關系

9.3.4KCL、KVL的相量形式

對電路中的任一節(jié)點或閉合面,根據(jù)KCL,有

再根據(jù)式(9-9)的映射關系,可得KCL的相量形式為

可見,在相量域中KCL仍然成立。

同理,相量域中KVL也成立,即對電路中任一回路,KVL的相量形式為

圖9-11例9-7圖

例9-8電路如圖9-12(a)所示,設電路處于正弦穩(wěn)態(tài),電流表A1、A2的讀數(shù)均為10A,求電流表A的讀數(shù)。圖9-12例9-8圖

解法一用相量法。

首先將圖9-12(a)所示的電路轉化成相量模型,如圖9-12(b)所示。設并聯(lián)支路的電壓為?U=U∠0°,由元件VCR的相量形式可確定各支路的電流,然后根據(jù)KCL,得

解法二用相量圖求解。

設電壓的初相位為零,即?U=U∠0°,稱為參考相量(或稱以?U為參考)。因電阻上的電流?I1與電壓?U同相,而電容上的電流?I2超前電壓?U90°,見圖9-12(c),所以由相量圖的幾何關系,得

可見,用相量圖中各相量之間的關系同樣可以求出電流表的讀數(shù)。

9.4阻抗和導納

9.4.1阻抗和導納的定義

圖9-13無源一端口的阻抗和導納

如果一端口N0的內部僅含單個R、L、C元件,則對應的導納分別為

9.4.2阻抗和導納的等效變換

圖9-14例9-9圖

9.5阻抗(導納)的串聯(lián)和并聯(lián)

9.5.1阻抗的串聯(lián)

圖9-15(a)所示電路為n個阻抗Z1,…,Zk,…,Zn的串聯(lián)電路,由于阻抗串聯(lián)時,每個阻抗中流過同一個電流?I,所以用電流法可以求得a－b端口的等效阻抗Zeq。

圖9-15阻抗的串聯(lián)

9.5.2阻抗(導納)的并聯(lián)

n個阻抗并聯(lián)連接的電路如圖9-16(a)所示,圖中Y1,…,Yk,…,Yn

分別是n個并聯(lián)阻抗所對應的導納。導納并聯(lián)時,所有導納兩端的電壓?U相同,用電壓法可以求得等效導納

Yeq。

在圖9-16(a)所示電路中應用KCL,有

圖9-16阻抗的并聯(lián)

例9-10圖9-17(a)所示電路為一端口網絡,已知C1=2mF,C2=10mF,R1=3Ω,R2=8Ω,L=0.2H,ω=50rad/s,求端口的等效阻抗。圖9-17

本章討論了正弦量的相量表示方法以及正弦量時域基本運算到相量域的映射關系,R、L和C三種基本元件VCR的相量形式以及電路定