電路 (第四版) 課件 第14章 非正弦周期信號電路分析

第14章非正弦周期信號電路分析14.1非正弦周期信號及傅里葉分解14.2有效值、平均值和平均功率14.3非正弦周期信號電路的分析14.4對稱三相電路中的高次諧波14.5傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式14.6傅里葉變換簡介

14.1非正弦周期信號及傅里葉分解

周期信號是指在一定周期內(nèi)按照某一規(guī)律重復變化的信號,非正弦周期信號是不按正弦規(guī)律變化的一切周期信號。

14.1.1非正弦周期信號

若用T表示周期,則周期信號f(t)的一般數(shù)學表達式為

非正弦周期信號的典型例子如圖14-1所示,圖14-1(a)所示是方波(或矩形波)電壓周期信號,圖14-1(b)所示是鋸齒波電壓周期信號,圖14-1(c)所示是脈沖電流周期信號,圖14-1(d)所示是半波整流電壓信號。圖14-1非正弦周期信號的波形

14.1.2非正弦周期信號的傅里葉分解

一個周期為T的函數(shù)f(t),若在區(qū)間[-T/2,T/2]上滿足狄里赫利條件:f(t)在[-T/2,T/2]上連續(xù),或只存在有限個第一類間斷點和極值點,則它一定能展開成收斂的傅里葉級數(shù),即

或

在f(t)的傅里葉分解式(14-3)中,Akm表示f(t)中所包含的那些頻率成分以及這些頻率成分所占的比重。也可以將傅里葉級數(shù)看做時域函數(shù)f(t)向不同頻率正弦基(函數(shù))上的投影,稱為f(t)的幅度頻譜(圖),如圖14-2所示。

圖14-2幅度頻譜圖

例14-1求圖14-3(a)所示周期性矩形信號f(t)的傅里葉展開式及其頻譜。圖14-3例14-1圖

表14-1給出幾種常見的非正弦周期函數(shù)與傅里葉展開式。

14.2有效值、平均值和平均功率

14.2.1非正弦周期信號的有效值交流電路常用有效值表示電壓和電流的大小。第9章已經(jīng)指出,如果電流為周期函數(shù),則有效值的定義為式中,T為周期信號的周期。

值得注意,盡管可根據(jù)上式計算出周期電流的有效值,但對線性電路而言,這里關(guān)心的是非正弦周期信號有效值與其各次諧波有效值的關(guān)系。假設(shè)非正弦周期電流i可以展開為傅里葉級數(shù),即

將其代入式(14-5),有

14.2.2非正弦周期信號的平均值

實際工程中常常用到平均值,這里仍以電流為例說明平均值的概念。非正弦周期電流i的平均值定義為

若電流i為正弦電流,則根據(jù)以上定義可以計算出電流的平均值為

14.2.3非正弦周期信號的平均功率

現(xiàn)在討論非正弦周期電路的功率問題。設(shè)一端口電路的電壓、電流分別為非正弦周期信號,它們的參考方向是關(guān)聯(lián)的。由功率的定義知,一端口吸收的瞬時功率為

其平均功率為

14.3非正弦周期電路的分析如上所述,當電路的激勵是非正弦周期信號時,一般情況下響應(yīng)是很難分析計算的。對線性電路而言,可以應(yīng)用傅里葉分解將非正弦激勵信號表示為直流分量和一系列不同頻率的正弦量(各次諧波)之和,然后分別計算直流分量和各次諧波正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),再應(yīng)用疊加定理求出電路的時域響應(yīng)。注意,對于正弦量表示的各次諧波,首先將它們轉(zhuǎn)換到相量域,然后求出相量域的響應(yīng),再將其轉(zhuǎn)換成時域響應(yīng),最后在時域才能應(yīng)用疊加定理。需要指出的是,不同頻率下的響應(yīng)在相量域是不能疊加的。

圖14-4例14-2圖

圖14-5例14-3圖

解先畫出圖14-5(a)電路在直流單獨激勵時的電路圖如圖14-5(b)所示,由圖得

然后畫出圖14-5(a)電路在基波和3次諧波激勵時的相量模型如圖14-5(c)所示,根據(jù)圖得

14.4對稱三相電路中的高次諧波

實際中三相發(fā)電機發(fā)出的電壓不是完全的正弦波形,含有一定的諧波分量;由于鐵芯的非線性特性,變壓器的勵磁電流是非正弦的周期波,含有高次諧波分量;另外,因為現(xiàn)代變流裝置的大量應(yīng)用,也使得電網(wǎng)中電壓或電流的波形發(fā)生畸變。所以,在實際的三相對稱電路中,電壓與電流都含有高次諧波。

由于式(14-9)均為非正弦周期函數(shù),所以利用傅里葉分解可以將它們分解成傅里葉級數(shù)。在三相電路中,一般由于電壓為奇函數(shù)(如例14-1),所以其分解的結(jié)果為奇諧波函數(shù),即

式中k取奇數(shù)。下面通過相位比較討論各次諧波電壓的對稱性。

14.4.2零序諧波激勵下的對稱電路分析

在三相對稱電路中,如果三相電源的電壓為三相對稱的非正弦周期量,則由上述分析可知,電源中就含有正序、負序和零序?qū)ΨQ組的諧波電壓。如果將這樣三相對稱的非正弦

周期電壓的電源連接于三相對稱負載上,對于正序和負序組中的各次諧波分量,就可以利用對稱三相電路中的方法和本章諧波激勵分析方法分別進行計算。但對于零序諧波組,情

況就不同了。

圖14-6YY連接電路

若在圖14-6中,合上開關(guān)S,即構(gòu)成三相四線制系統(tǒng)。由節(jié)點法有

整理得

各相零序電流為

圖14-7三相對稱電源的△形連接圖

14.5傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

傅里葉級數(shù)除了寫成三角級數(shù)的形式外,還可以寫成指數(shù)級數(shù)的形式。重寫式(14-3),即

14.6傅里葉變換簡介

根據(jù)傅里葉理論,非周期性函數(shù)不能直接用傅里葉級數(shù)表示,但對其經(jīng)過周期性延拓后才能用傅里葉級數(shù)表示。另外,如果非周期信號的周期趨于無窮大,那么其極限形式的傅里葉展開式就稱為非周期函數(shù)的傅里葉積分。