【數(shù)學】等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及應用課件-2023-2024學年高二上數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.2.1等差數(shù)列的概念

第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)人教A版（2019）

選擇性必修第二冊復習回顧1.定義:如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。2.通項公式:an=a1+(n-1)d

4.圖象:直線上均勻排開的一群離散的點.3.等差中項：a,A,b成等差數(shù)列2A=a+b.{an}為等差數(shù)列

5.等差數(shù)列的判斷an-an-1=d

(n≥2)或an+1-an=d

(n∈N*).或2an+1=an+an+2或an=pn+q(p、q是常數(shù))例3某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值會減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢.請確定d的范圍.解:設使用n年后，這臺設備的價值為an萬元，則可得數(shù)列{an}.由已知條件，得an＝an－1－d(n≥2)，∴數(shù)列{an}是一個公差為－d的等差數(shù)列，且a1＝220－d.∴

an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.

由題意，得a10≥220×5％=11，a11<220×5％=11，等差數(shù)列的性質(zhì)設{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么性質(zhì)1an

=am+(n-m)d(n>m)證明：∵an

=a1+(n-1)d①am

=a1+(m-1)d②由①-②得，an

-am=(n-m)d∴an

=am+(n-m)d變形

3.已知{an}是一個等差數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當?shù)臄?shù).a1a3a5a7d－782－6.50.515.53.7515－11－24課本P15《同步導練》9頁“初試身手”第3題和例23.在等差數(shù)列{an}中，a3=2，d=6.5，求a7?

性質(zhì)2已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p,q,s,t∈N*,若p+q=s+t，則ap+aq=as+at證明：設數(shù)列{an}的公差為d，則as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝2a1＋(s＋t－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因為p＋q＝s＋t，所以ap＋aq＝as＋at.特別地，若m+n=2k，則am+an=2ak課本P17

例5

思考例5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，圖4.2-2是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎?nanO????spqtasapaqatS(s,as)P(p,ap)Q(q,aq)T(t,at)圖4.2-24.已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12.求a4.課本P15答案：3解：變式2.已知等差數(shù)列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;解：由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.練習作業(yè)5.在7和21中插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等差數(shù)列.課本P15

例4已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列{bn}.

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.

(2)b29是不是數(shù)列{an}的項?若是,它是{an}的第幾項?若不是,請說明理由.

例4已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列{bn}.

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.

(2)b29是不是數(shù)列{an}的項?若是,它是{an}的第幾項?若不是,請說明理由.

等差數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)3已知等差數(shù)列{an}，{bn}，公差分別為d,d1,則有①下標成等差數(shù)列的項ak,

ak+m,ak+2m,…組成等差數(shù)列，公差是______；②數(shù)列{λan+μ}(λ,μ是常數(shù))是等差數(shù)列，公差是________；③數(shù)列{λan±μbn}(λ,μ是常數(shù))是等差數(shù)列，公差是____________.特別地，所有偶數(shù)項構成的數(shù)列a2,a4,a6,…,公差是_____；所有奇數(shù)項構成的數(shù)列a1,a3,a5,…,公差是_____.④等差數(shù)列中依次k項之和，即a1+a2+…+ak，ak+1+ak+2+…+a2k，

a2k+1+a2k+2+…+a3k,…是等差數(shù)列，公差是________；md2d2dλdk2dλd±μd14.已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,公差分別為d1,d2,數(shù)列{cn}滿足cn=

an

+2bn.

(1)數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列?若是,證明你的結論;若不是,請說明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求數(shù)列{cn}的通項公式.課本P18性質(zhì)應用5.已知一個無窮等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.(1)將數(shù)列中的前m項去掉,其余各項組成一個新的數(shù)列,這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公差分別是多少?(2)依次取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項,組成一個新的數(shù)列,這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公差分別是多少?(3)依次取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項,組成一個新的數(shù)列,它是等差數(shù)列嗎?你能根據(jù)得到的結論作出一個猜想嗎?課本P18練習

答案：C.

1.某體育場一角看臺的座位是這樣排列的：第1排有15個座位，從第2排起每一排都比前一排多2個座位.你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎?第10排有多少個座位?nanO?1569121518?2????3463課本P173.在等差數(shù)列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.課本P18

觀察歸納法：數(shù)列{2n-1}為：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，……數(shù)列{3n-2}為：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，……觀察可知，兩個數(shù)列的公共項依次為：1，7，13，19，25，31，……，

練習