新高考數(shù)學一輪復習講練測專題7.6數(shù)學歸納法（講）原卷版

專題7.6數(shù)學歸納法新課程考試要求1.了解數(shù)學歸納原理，會用數(shù)學歸納法證明簡單的數(shù)學命題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象等.考向預測1.數(shù)學歸納法原理；2．數(shù)學歸納法的簡單應用.3．利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列相關問題.【知識清單】知識點一．數(shù)學歸納法1.證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立．(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．2.數(shù)學歸納法的框圖表示【考點分類剖析】考點一利用數(shù)學歸納法證明不等式【典例1】（2021·浙江高三專題練習）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中項，數(shù)列SKIPIF1<0滿足：數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通項公式；（2）數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0【典例2】（2020屆浙江湖州、衢州、麗水三地市高三上期中）已知數(shù)列滿足.(1)求，并猜想的通項公式(不需證明)；(2)求證:.【例3】（2021·全國高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的取值范圍（2）若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)（3）在（2）的條件下，證明：SKIPIF1<0【總結(jié)提升】數(shù)學歸納法證明不等式的適用范圍及關鍵(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法．(2)關鍵：由n＝k時命題成立證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用均值不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化【變式探究】1.（2021·浙江高三專題練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0證明：當SKIPIF1<0時，（I）SKIPIF1<0；（II）SKIPIF1<0；（III）SKIPIF1<0.2.（2020屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學期第一次聯(lián)考）已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項，數(shù)列的通項公式，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：，.3.（2020屆浙江省溫州市11月適應測試）已知等差數(shù)列的首項，數(shù)列的前項和為，且，，成等比數(shù)列．（1）求通項公式；（2）求證：（）；考點二歸納、猜想、證明【典例4】（2021·全國高三專題練習）設數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）計算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【典例5】（2021·全國高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導數(shù)，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）猜想SKIPIF1<0的表達式，并證明你的結(jié)論．【總結(jié)提升】(1)“歸納——猜想——證明”的一般步驟①計算(根據(jù)條件，計算若干項)．②歸納猜想(通過觀察、分析、綜合、聯(lián)想，猜想出一般結(jié)論)．③證明(用數(shù)學歸納法證明)．(2)與“歸納——猜想——證明”相關的常用題型的處理策略①與函數(shù)有關的證明：由已知條件驗證前幾個特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學歸納法證明．②與數(shù)列有關的證明：利用已知條件，當直接證明遇阻時，可考慮應用數(shù)學歸納法．【變式探究】1.（2019·浙江高二期末）數(shù)列的前項和為，且滿足．(Ⅰ)求，，，的值；(Ⅱ)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論．2.給出下列不等式：1>11+11+11+11+1（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.考點三利用數(shù)學歸納法證明等式【典例6】已知a，b，c，使等式1?22+2?（1）猜測a，b，c的值；（2）用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.【典例7】證明：eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(n,2n＋1)．(n∈N*)【總結(jié)提升】數(shù)學歸納法證明等式的思路和注意點(1)思路：用數(shù)學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少．(2)注意點：由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設的證明，就不是數(shù)學歸納法．【變式探究】1.數(shù)學歸納法證明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．【答案】見解析【解析】[錯解](1)當n＝3時，左邊＝2＋22＝6，右邊＝2(22－1)＝6，等式成立．(2)假設n＝k時，結(jié)論成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比數(shù)列的前n項和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝SKIPIF1<0＝2(2k－1)．所以當n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)可知，等式對任意n>2，n∈N＋都成立．[辨析]錯解中的第二步?jīng)]用到歸納假設，直接使用了等比數(shù)列的求和公式．由于未用歸納假設，造成使用數(shù)學歸納法失誤．2.（2018·江蘇高考模擬（理））在正整數(shù)集上定義函數(shù)y=f(n)，滿足f(n)[f(n+1)+1]=2[2?f(n+1)]，且f(1)=2．（1）